自适应均衡器的设计与仿真

2014届 毕 业 设 计（论文）

摘 要

在移动通信领域中，码间干扰始终是影响通信质量的主要因素之一。为了提高通信质量，减少码间干扰，在接收端通常采用均衡技术抵消信道的影响。由于信道响应是随着时间变化的，通常采用自适应均衡器。自适应均衡器能够自动的调节系数从而跟踪信道，成为通信系统中一项关键的技术。

本篇论文在对无线通信信道进行研究的基础上，阐述了信道产生码间干扰的原因以及无码间干扰的条件，介绍了奈奎斯特第一准则和时域均衡的原理。深入研究了均衡器的结构和自适应算法，在均衡器的结构中主要介绍了4种自适应均衡器结构即线性横向均衡器、线性格型均衡器、判决反馈均衡器和分数间隔均衡器，并对这几种结构进行了比较。对于系数调整算法主要介绍了常用的几种算法，包括LMS算法、RLS算法以及盲均衡常用的恒模算法(CMA)，并讨论了它们各自的优缺点。最后选用线性横向均衡器结构与上述3种系数调整算法，利用MATLAB进行仿真，并对结果进行分析与比较。 关键字：自适应均衡器，LMS，RLS，CMA ，MATLAB

I

Abstract

In the field of mobile communications, the inter-symbol interferences (ISI) is always one of the primary factor which effects transmission. Adaptive equalization is mainly solution of dealing with ISI. Equalizers are often used to combat the influence of channels for improving communication’s quality and decreasing ISI in receivers. Sometimes, channel response varies due to time, the adaptive equalizer is always necessary. Equalizer coefficients can be automatically adjusted to track the channel as a key communication system technology.

On the basis of studying on wireless communication channel, this paper discusses the reasons of resulting inter-symbol interference (ISI) and without conditions, introduces Nyquist first rule and the theory of adaptive equalizers. The equalizer structures and the adaptive algorithm are particularly studied in this paper. Mainly introducing and comparing four adaptive equalizer structures, such as linear horizontal equalizer, line personality type equalizer, decision feedback equalizer, fractionally spaced equalizers. Then we research the algorithms of the adaptive equalizer which are often used, including LMS, RLS, CMA, and discuss their respective advantages and disadvantages. Finally, we choose different adaptive equalizer structures and algorithms, and use the MATALB tool to simulate, at the end of this paper we analyze and compare the results.

Keywords: adaptive equalizer, LMS, RLS, CAM, MATLAB

II

目 录

摘 要 .................................................................................................................................................................... I ABSTRACT............................................................................................................................................................. II 目 录 ................................................................................................................................................................. III 第一章 绪论 ....................................................................................................................................................... 1

1.1引言 .................................................................................................................................... 1 1.2国内(外)研究现状 ............................................................................................................. 1 1.3论文研究的内容及主要工作 ............................................................................................ 2 第二章 信道、码间干扰及均衡技术 ............................................................................................................. 3

2.1 信道 ................................................................................................................................... 3

2.1.1 恒参信道 ................................................................................................................. 4 2.1.2 变参信道 ................................................................................................................. 4 2.2 通信信道模型 ................................................................................................................... 6 2.3 码间干扰 ........................................................................................................................... 7 2.4自适应均衡的原理与特点 .............................................................................................. 10 2.5 本章小结 ......................................................................................................................... 11 第三章 均衡器结构 ............................................................................................................................................ 12

3.1 自适应均衡简介 ............................................................................................................. 12 3.2 均衡器的分类 ................................................................................................................. 12 3.3 线性横向均衡器结构(LTE) ............................................................................................ 13 3.4 线性格型均衡器(LLE) ................................................................................................... 14 3.5 判决反馈均衡器(DFE) ................................................................................................... 15 3.6 分数间隔均衡器(FSE) .................................................................................................... 17 3.7 本章总结 ......................................................................................................................... 21 第四章 自适应均衡算法的理论基础 ........................................................................................................... 22

4.1 最小均衡误差算法(LMS) .............................................................................................. 22 4.2 递归最小二乘算法(RLS) ............................................................................................... 25 4.3 盲均衡算法 ..................................................................................................................... 27 4.4 本章小结 ......................................................................................................................... 30 第五章 均衡器的仿真与实现 ..................................................................................................... 31

5.1 采用线性横向均衡器与LMS算法 ............................................................................... 31 5.2 采用线性横向均衡器与RLS算法 ................................................................................ 31 5.3利用恒模算法和线性横向均衡器 .................................................................................. 32 总 结 ................................................................................................................................................................. 35 参考文献 ................................................................................................................................................................. 36 致 谢 ................................................................................................................................................................. 37 附 录 ................................................................................................................................................................. 38

III

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第一章 绪论

1.1引言

通常信道特性是一个复杂的函数，它可能包括各种线性失真、非线性失真、交调失真、衰落等。同时由于信道的迟延特性和损耗特性随时间做随机变化，因此，信道特性往往只能用随机的过程来进行描述。例如，在蜂窝式移动通信中，电磁波会因为碰撞到建筑物或者其他物体而产生反射、散射、绕射，此外发射端和接收端还会受到周围环境的干扰，从而产生时变现象，其结果为信号能量会不止一条路径到达接收天线，我们称之为多径传播。

数字信号经过这样的信道传输后，由于受到了信道的非理想特性的影响，在接收端就会产生码间干扰(ISI)，使系统误码率上升，严重情况下使系统无法继续正常工作。理论和实践证明，在接收系统中插入一种滤波器，可以校正和补偿系统的特性，减少码间干扰的影响。这种起补偿作用的滤波器称为均衡器。校正可以从时域和频域两个不同的角度来考虑：频域均衡是利用可调滤波器的频率特性来弥补实际信道的幅频特性和群延时特性，使包括均衡器在内的整个系统的总频率特性满足无码间干扰传输条件。时域均衡是从时间响应的角度考虑，使包括均衡器在内的整个传输系统的冲击响应满足无码间干扰的条件。频域均衡满足奈奎斯特定理的要求，仅在判决点满足无码间干扰的条件相对宽松一些。随着数字信号的处理理论和超大规模集成电路的发展，时域均衡器已成为当今高速数字通信中所使用的主要方法。调整滤波器抽头系数的方法有手动调整和自动调整。如果接收端知道信道特性，例如信道冲击响应或频域响应，一般采用简单的手动调整方式。由于无线通信信道具有随机性和时变性，即信道特性事先是未知的，信道响应是时变的，这就要求均衡器必须能够实时地跟踪通信信道的时变特性，可以根据信道响应自动调节抽头系数，我们称这种可以自动调整滤波器抽头系数的均衡器为自适应均衡器。

1.2国内(外)研究现状

均衡技术最早应用于电话信道，由于电话信道频率特性不平坦和相位的非线性引起时间的弥散，使用加载线圈的均衡方法来改进传送语音用的双绞线电缆的特性。上世纪六十年代以前，均衡器的参数是固定的或手调的，其性能很差。Lucky对自适应均衡器的研究做了很大的贡献，1965年，他根据极小极大准则提出了一种“迫零自适应均衡器”。第二年，他又将此算法推广到跟踪方式。Lucky的工作推动了对自适应均衡器的研究。1965年DiToro独立把自适应均衡器应用于对抗码间干扰对高频链路数据传输的影响。1967年，Austin提出了判决——反馈均衡器。1969年，Gersho以及Proakis 和Mille使用最小均方误差准则独立的重新描述了自适应均衡器问题。1970年，Brady提出了分数间隔自适应均衡器方案。1972年，Ungeboeck对采用自适应最小均方差算法的均衡器的收敛性进行了详细的分析。1974年，Godard应用卡尔曼滤波器理论推导出了调整横向均衡器抽头加权系数的一种高效算法——快速卡尔曼算法。1978年，Falconer 和Ljung介绍了快速卡尔曼算法的一种修正，从而将其计算复杂性简化到可与简单的LMS算法比较的程度。Satorius 和Alexander在1979年、Satorius 和Pack在1981年证明了色散信道格型自适应均衡器算法的实用性[1]。

均衡器从结构上可以划分为三大类即线性结构、非线性均衡器和格型均衡器，从延迟

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线抽头间隔上分为码元间隔抽头和分数间隔抽头均衡器。自适应均衡技术主要有三类：线性均衡、判决反馈均衡和最大似然序列估计(MLSE)。许多滤波器结构都使用线性和非线性均衡器，而且每种结构都有许多算法用来调整均衡器。如果判决信号不作为均衡器的反馈信号，这样的均衡器称为线性均衡器；相反，如果判决信号d(k)在输出的同时又被反馈回均衡器的前端，这样的均衡器叫做非线性均衡器。

自适应均衡器本质上是一个能够自动对系数进行调节的滤波器，自适应均衡由于是对未知的时变信道做出补偿，因而它需要有特别的算法来更新系数，以跟踪信道的变化。自适应算法的研究很复杂，从总体上可分为迫零算法、最小均方(LMS)算法、递归最小二乘(RLS)算法和盲自适应算法。其中抽头延迟的线性滤波器结构式均衡器中结构最简单、最常用的模型。

盲自适应均衡（以下简称盲均衡）这一概念最早由日本学者Satk于1975年提出[2]，它不需要知道期望信号是什么。因此，在数字通信系统中可以提高信道效率，同时获得更好的均衡性能。盲均衡从根本上避免了期望信号的使用，收敛范围大，应用范围广，克服了传统自适应均衡的缺点，从而降低了对信道和信号的要求 。

1.3论文研究的内容及主要工作

本论文主要研究的是在数字通信系统中设计一个理想的自适应均衡器，用以补偿信道，从而减少码间干扰。根据均衡器的结构有多种，我们需要根据一定的准则选择一个自适应均衡器，并选择好的自适应算法来调整自适应均衡器的抽头系数，并用MATLAB进行仿真。各章的主要内容如下：

第一章简单介绍了自适应均衡技术，以及其研究现状与发展等。

第二章描述了通信信道的特性，对无线信道做了比较详尽的分析，并且给出了通信信道的仿真模型，介绍了产生码间干扰的原因以及一些减少码间干扰的措施，概述了自适应均衡的原理与特点。

第三章介绍了自适应均衡器的4种结构，包括线性横向均衡器，格型均衡器，判决反馈均衡器以及分数间隔均衡器。

第四章对常用的一些自适应算法做了阐述。主要包括LMS算法、RLS算法和CMA算法。

第五章选择自适应均衡器的结构和算法，用MATLAB对其进行仿真，主要采用线性横向均衡器结构，然后分别采用LMS算法、RLS算法和CMA算法进行仿真，并对LMS和RLS的收敛性能进行了比较。

第六章为全文做了总结与展望。

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第二章 信道、码间干扰及均衡技术

数字信号经过信道的传输到达接收端，而实际上信道是一个特性复杂的函数而且还是时变的。因此接收到的信号已经发生了严重的畸变从而产生码间干扰，自适应均衡器能够补偿信道所产生的畸变，并且根据接收信号的变化自动调节均衡器的抽头系数，以跟踪信道的时变特性。

2.1 信道

从宏观上讲，任何一个通信系统均可视为由发送设备、信道、接收设备三大部分组成。信道是通信系统的重要组成部分，其特性对通信系统的性能影响很大。实际信道都不是理想的，均具有非理想的频率响应特性，同时还不可避免地存在着噪声干扰和其他干扰。信道在允许信号通过的同时又给信号以限制和损害，信道的特性将直接影响通信的质量。研究信道及噪声的最终目的是弄清它们对信号传输的影响，寻求提高通信的有效性与可靠性的方法。

信道，就是信号的通路，分为狭义信道和广义信道两大类。狭义信道是指介于发送设备和接收设备之间的传输媒质构成的信号通路。它可分为有线信道和无线信道两大类。有线信道如双绞线、电缆、光纤、波导等。而广义信道是将信号经过的传输路径都称为信道，不仅包括传输媒质，还包括通信系统中有关部件和电路，如天线与馈线、功率放大器、滤波器、调制器、解调器等。广义信道又分为调制信道和编码信道[2]。

在信道中发生的基本物理过程是电磁波的传播。如果不管电磁波传播的具体方式，则可以发现信道具有以下共同特征：(1)所有信道都具有输入端和输出端，待传信号作用在输入端，而输出信号由输出端送给接收设备；(2)观察表明，绝大多数信道是线性的，亦即输出和输入量得关系满足叠加原理，但在某些情况下信道可能存在非线性效应；(3)信号通过信道后能量被衰减，或者说传播过程中引入了损耗，而且损耗往往是随时间变化的；(4)信号自输入端到输出端要经历一定的时延；(5)所有信道都存在噪声或者干扰，也就是说，即使没有输入信号，信道也有输出。

根据以上描述，可以用如图2-1所示的四端网络来描述信道的模型，其输入信号是

y(t)?f?x(t)??n(t) (2.1)

式中f?x(t)?代表输入信号x(t)的线性或者非线性变换，n(t)代表加性噪声。

信道等效 模型 x(t) y(t)?f?x(t)??n(t)

图2-1 信道模型

在线性条件下，信道的传输特性决定于等效四端网络的传输函数Hc(w)。在一个相当长的时间内Hc(w)保持恒定的信道，称为恒参信道；否则称为变参信道。下面分别讨论他

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们的特性及对数据传输的影响。 2.1.1 恒参信道

恒参信道的传输函数可以表示为

Hc(w)?Hc(w)ej?(w) (2.2)

式中：w?2?f，代表角频率；Hc(w)是信道的幅度特性；?(w)是信道的相位特性。

另外，群时延定义为

d?(w) (2.3) dw任何一个现实的信号都将占据某一定的频带，即它是由许多不同频率的分量构成的。

?(w)?如果在信号频带内，信道的幅度响应Hc(w)不是常数，信号的各频率分量将受到不同的衰减，在输出端叠加后将发生波形的畸变或失真，这种失真称为幅度失真。

如果在信号频带内，?(w)不是频率的线性函数，即?(w)不是常数，那么信号的各个频率分量通过信道后将产生不同的时延，从而引起波形失真。这种失真称为相位失真或群时延失真。

一般来说，信道的带宽总是有限的。这种带限信道对数字信号传输的主要影响是引起码元波形的展宽，从而产生码间干扰。为了使码间干扰减少到最少的程度，就需要采用自适应均衡技术。 2.1.2 变参信道

信道的传输特性一般都是随时间变化的。这些变化可以分为慢变化（或称长期变化）和快变化（又称短期变化）。慢变化和快变化没有明显的分界，但一般认为在5分钟或者更长时间内才显现的变化属于慢变化，而在分秒间显现的变化属于快变化。

这两种变化的原因截然不同的。慢变化是与传播条件（如对流层气象条件、电离层的状态等）的变化相关联的。而快变化，又称为快衰落，表现为接收信号振幅和相位的随机起伏，起源于电波的多径传播。 (1)两条射线的多径

为了便于明确多径传播效应，首先讨论双射线多径信道。设第二条射线相对于第一条射线的时延为?(t)??0???(t)，这里?0是?(t)的平均值，??(t)是?(t)中随时间变化的部分。一般来说??(t)是细微的，但它足以引起射频相位的显著变化。如果不考虑信道的固定衰减，则可以得到如图2-2所示的信道等效模型，图中1表示第一条射线，2表示第二条射线，?是第二条射线相对于第一条射线的幅度比。显然信道等效模型的传输函数为

Hc(jw,t)?1??e?jw?(t)?1??e?j[w?0??(t)] (2.4)

式中?(t)?w'??(t)，w?2?f。

由式(2.4)，经过一些代数运算可得信道的振幅特性和群延时特性分别为

A(w,t)?1?2?cos[w?0??(t)]??2 (2.5)

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T(w,t)???0输入 ??cos[w?0??(t)] (2.6)

1?2?cos[w?0??(t)]??2输出 1 +? ?(t)

时延 2 图2-2 双射线信道等效模型

由式(2.5)可以看出，当w?0??(t)?(2n?1)?时，出现幅度谷点。响应有

Amin?1?? Tmin???0 1??当w?0??(t)?2n?时，出现幅度峰值，相应有 Amax?1?? Tmin???0 1??因为?(w)是随时间变化的，故峰值和谷点在频率轴上的未知也是随着时间不断移动的。信道的这种时变特性对信号传输的影响可分为下列两种情况：

(a)窄带信号：这是指信号频带B<<1/?0的情况。窄带信号通过信道后，则频率分量的幅度和相位一致的（或相关的）随时间变化，因为波形不会失真，这种情况称为平坦衰落。主要问题是信号电平随机起伏，在某些时间下降到指定的门限以下，甚至导致通信暂时中断。此外，衰落引起的相位随机抖动对于某些传输系统也是必须考虑的因素。

(b)宽带信号：当信号带宽与1/?0可相比较时，信号的各频率分量将经受不相关的衰落，这就是所谓的频率选择性衰落。它的主要影响是引起信号波形失真。对于数字通信来说，其主要危害是造成码间干扰。

由前面的分析可以知道，引起快衰落的主要原因是路径时延差??(t)。因

?(t)?w*??(t)，??(t)的细小变化就会使射频信号变化2?弧度，两条射线时而同相相加，时而相反抵消，故合成信号的幅度发生大起大落。但衰落的深度即频率选择性决定于幅度比?与时延差的均值?0。?越接近1，衰落深度越大。?0越大，色散（各频率分量传播速度不同）越严重，信道允许通过的信号频带越低。 (2)N条射线的多径

设信道输入为x(t)?ejw?（幅度为1的正弦波），则信道的输出为

?jw?(t) y(t)?[?aiei]ejw? (2.7)

iN式中ai,?i分别是第i条射线的幅度和相位。

考虑到

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?i(t)?????i(t)

1 ??N??iNi

且有理由假定?是与时间无关的常数，式(2.7)可变成

y(t)?[?aie?j?i(t)]ejw(i??) (2.8)

iN式中，?i(t)?w*??i(t)，而?对信号传输是无影响的，故可得信道传输函数为

NiHc(jw,t)??aie?j?i(t)iN (2.9)

?xc(t)?jxs(t)这里xc(t)??aicos?i(t),xs(t)??aisin?i(t).而

iN A(w)?|Hc(jw,t)|?xc2(t)?xs2(t) (2.10a)

x(t) ?(w)?Arg[Hc(jw,t)]?arctasn (2.10b)

xc(t)从某一时刻去观察xc、xs均为N个零均值独立的随机变量之和。当N很大，由中心极限定定理，xc、xs将服从一维正态分布。由概率论知识可知，在这种情况下信号的幅度A将服从锐利分布，相位将服从均匀分布，即有

fA(y)?

yy2?2e2?,y?0 (2.11)

2|?|???21?，f?(?)??0,其他 (2.12)

?上式中fA(y)、f?(?)分别代表信道输出信号幅度和相位的概率密度，而?2等于正态随机变量xc、xs的方差，即?2=?xc=?xs。

许多信道（例如散射信道、移动信道）都包含大量的传播路径，因此接收信号的幅度往往服从瑞利分布。这种快速衰落常常称为瑞利衰落[3]。

222.2 通信信道模型

前面讨论了恒参信道和随参信道传输特性以及对信号传输的影响。除此之外，信道的加性噪声同样会对信号传输产生影响。加性噪声与信号独立，并且始终存在，实际上只能采取措施减少加性噪声的影响，而不能彻底消除加性噪声。各种加性噪声都可以认为是一种起伏噪声，且功率谱密度在很宽的范围内都是常数。因此，通常近似认为通信系统的噪声是加性高斯白噪声(AWGN)，其双边功率谱密度为

Pn(w)?n0(w/HZ) (2.13) 26

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自相关函数为

Rn(?)?n0?(?) (2.14) 2式(2.14)说明，零均值高斯白噪声在任意两个不同时刻的取值是不相关的，因而也是统计独立的。

通信信道模型如图2-3所示，发射端发送的信号s(t)经过信道传送时，首先受信道传输的影响，再经由加性高斯白噪声(AWGN)恶化，便成为接收端收接收到的信号。

s(t) r(t) 信道 + AWGN图 2-3 通信信道仿真模型

信号s(t)经过这样一个信道滤波器，再和加性高斯白噪声(AWGN)相叠加，AWGN采用均值为0的随机复数序列形式，经过叠加的信号可以认为是接收端得接收信号r(t)，接下来就是对接收信号r(t)进行均衡，其目的是恢复发送端的发射信号s(t)。

2.3 码间干扰

由前面的讨论可知，大多数物理信道不仅是带限，而且还会使信号产生失真，而失真对于数字通信来说最大的危害是产生码间干扰，使得判决器发生误判，从而系统的误码率上升。在加性高斯白噪声(AWGN)信道中实现信号的全通或者非色散几乎是不可能的。根据图2-3，可以得出常用的信道数学模型为

r(t)?s(t)*hc?n(t) (2.15) 式中s(t)是传输信号，hc(t)是信道冲击响应，n(t)是功率谱为N0/2的加性高斯白噪声。实质上，我们是将信道的色散特性建模为一个线性滤波器hc(t)。最简单的色散信道是冲击响应为理想低通滤波特性的带限信道，传输信号经过低通滤波器会在时域波形的边缘产生模糊使一个码元扩展到邻近的码元从而产生码间干扰(ISI)，结果会恶化通信系统的误码性能

[4]，一个点对点的数字通信系统可以简化为如图2-4所示的模型。

C(w) 信道 + n(t) 接收滤波器 图示2-4 数字通信系统等效模型

?an? GT(w)GR(w) 抽样判决器 发送滤波器 ?n} {a 图中，?an?为发送滤波器的输入符号序列，在二进制情况下，an取值为0,1或-1,+1。为了便于分析方便，假设用冲击脉冲序列d(t)来代表数据序列，间隔为Ts，则送入发送滤波器的波形d(t)可写成

d(t)???n????a?(t?nT) (2.16)

ns7

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时域均衡器 线性均衡器 非线性均衡器 判决反馈均衡器 最大似然序列估计 横向滤波器 格型滤波器 横向滤波器 格型滤波器 信道估计 迫零、LMS 迫零、LMS 迫零、LMS

梯度RLS

RLS、快速RLS RLS、快速RLS 梯度RLS RLS、快速RLS 均方根RLS 均方根RLS 均方根RLS

图3-1 时域均衡器的分类

3.3 线性横向均衡器结构(LTE)

线性横向均衡器是自适应均衡方案中最简单的形式，它的基本框图如图3-2所示，它是由多级抽头延迟线、可变增益电路以及求和器组成的线性系统。其抽头间隔为码元的周期T，它把所收到的信号的当前值和过去值按滤波器系数做线性迭加，并把生成的和作为输出。

Ts x(n)… Ts Ts …….. x(n?L)x(n?L) Ts w?L …………… wL w0 …………….. ………... ……….. ∑ y(n)

图3-2 线性横向均衡器

令w(n)表示图3.3中线性均衡器中滤波系数的矢量，也就是 w(n)?[w?L w1?L(n) ... w0(n) ... wL?1(n) wL(n)]T，

x(n)表示均衡器输入信号矢量，也就是

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x(n)?[x(n?L) x(n?L?1) ... x(n) ... x(n?L?1) x(n?L)]T， 则输出信号y(n)可以表示为

y(n)?式中上角“ T”表示矩阵的转置。

由(3.1)式可以看出，输出序列的结果与输入信号矢量x(n)和均衡器的系数矢量w(n)有关，输入信号经过信道后发生畸变成为x(n)；均衡器系数矢量w(n)应根据信道的特性的改变进行设计的，使x(n)经过线性横向均衡器后使输出的信号在抽样点无码间干扰。经过推导可得线性均衡器系数矢量完全由信道的传递函数来确定[6]，如果信道的特性发生了变化，相应的系数矢量也随之变化，这样才能保证均衡后在抽样时刻上无码间干扰。

假设期望信号为d(n)，则误差输出序列为e(n)为 e(n)=d(n)-y(n)

=d(n)-wT(n)x(n) (3.2) 显然，自适应均衡器的原理是用误差序列e(n)按照某种准则和算法对其系数w(n)进行调整，最终使自适应均衡器的代价（目标）函数最小，达到最佳均衡的目的。实际应用中，均衡系数可通过迫零准则或最小均方准则（MMSE）获得。对于迫零准则，调整均衡器系数使稳定后的所有样值冲击响应具有最小的码间干扰；而MMSE准则的均衡器系数调整是为了使期望信号d(n)和均衡器输出信号y(n)之间的均方误差最小。无论是基于MMSE准则还是迫零准则无限抽头的线性横向均衡器在无噪声情况下直观上都是信道的逆滤波器，如果考虑两种准则间会有差别[4]。在MMSE准则下，均衡器抽头对加性噪声和信道畸变均进行补偿，补偿包括相位和幅度两个方面；而基于迫零准则的LTE忽略噪声的影响。

线性横向均衡器最大的优点是其结构非常简单，容易实现，因此在各种数字通信系统中得到了广泛的应用。但是其结构决定了两个难以克服的缺点：一是噪声的增强会使线性横向均衡器无法均衡具有深度零点的信道——为了补偿信道的深度零点，线性横向均衡器必须具有高增益的频率响应，然而同时无法避免也会放大噪声；二是线性均衡器与接收信号的幅度信息关系密切，而幅度会随着多径衰落信道中相邻码元的改变而改变，因此滤波器抽头系数的调整不是独立的。由于以上两点线性横向均衡器在畸变严重的信道和低信噪比环境中性能较差，而且滤波器的抽头调整相互影响，从而需要更多的抽头数目。

Li??L?w(n)x(n?i)?wiT(n)x(n) (3.1)

3.4 线性格型均衡器(LLE)

格型滤波器(Lattice Filter)最早是由Makhoul于1977年提出的[5]，所采用的方法在当时被称为线性预测的格型方法，后被称为格型滤波器。这种格型滤波器具有共轭对称的结构：前向反射系数是后向反射系数的共轭。格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模块化结构。格型系数对于数值扰动的低灵敏型，以及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相对惰性，使得其算法具有快速收敛和优良数值特性。

因为实际中，信道特性无法知道，所以也就难以估计需要的滤波器阶数。而用格型滤波器作为自适应均衡器的结构时，可以动态的调整自适应均衡器的结构以满足实际的均衡

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需求而不必重新设定均衡器的阶数和重新启动自适应算法。

如图3-3所示为格型均衡器的结构框图，输入信号x(n)被转换成一组N阶的前向和反向误差信号，fi(n)(i?0,1,...N?1)用作加法器的输入，bi(n)(i?0,1,...N?1)用于计算更新系数，格型滤波器的每一步可用下面的式子表征[11]：

f0(n)?b0(n)?x(n) (3.3) fi(n)?fi?1(n)?Ki?1(n)bi?1(n?1) (3.4) bi(n)?bi?1(n?1)?Ki?1(n)fi?1(n) (3.5)

f0(n) K x(n) 1 ××∑ ….. ∑ × ×fN?1(n) Kn?1 ∑ Z-1 b0(n)b0(n?1)b0(n?1 w0 b1(n) bN?1(n) …. Z-1 ∑ w1 wN?1 …… ∑ y(n)

图3-3 线性格型均衡器结构框图

其中，Ki是格型滤波器第i步的反射系数。反馈误差信号bi用作衡量均衡器的抽头系数。

令均衡器抽头系数矢量为w(n)?[w0(n) w1(n) ... wN?1(n)]T，b(n)为反馈误差信号矢量，即b(n)?[b0(n) b1(n) ... bN?1(n)]T，则均衡器的输出表达式为：

y(n)??wi(n)bi(n)?wT(n)b(n) (3.6)

i?0N?1同时可得调整自适应算法的误差序列为

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-wT(n)b(n) (3.7) 格型均衡器由于在动态调整阶数的时候不需要重新启动自适应算法，因而在无法大概估计信道特性时非常有利，可以利用格型均衡器的逐步迭代而得到最佳的阶数，另外格型均衡器有着优良的收敛特性和数值稳定性，这些都有利于在高速的数字通信和深度衰落的信道中使用格型均衡器。但是如前面所讨论的那样，格型均衡器的结构比较复杂，实现起来困难，从而限制了格型均衡器在数字通信中的应用。

3.5 判决反馈均衡器(DFE)

诸如LTE的线性均衡器为了补偿信道的深度零点而增大增益从而也放大了噪声，因此

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在有深度零点的带通信道中线性均衡器性能不佳。然而，对于这样的恶性信道，判决反馈均衡器由于存在着不受噪声增益影响的反馈部分因而性能优于线性横向均衡器[7]。

判决反馈均衡的基本方法是一旦信息符号经检测和判决以后，就可以在检测后续符号之前预测并消除由这个信息符号带来的码间干扰。判决反馈均衡器既可以直接由横向滤波器实现，也可由格型滤波器实现。

判决反馈均衡器的结构示意图如图3-4所示。包括两个抽头延迟滤波器：一个是前馈滤波器(FFF)，另一个是反馈滤波器(FBF)。FFF的输入是接收滤波器的输出，其作用和原理与前面讨论的线性横向均衡器类似；FBF的输入是判决器的先前输出，其系数可被调整减弱先前符号对当前符号的干扰[6]。均衡器的前馈滤波器抽头系数的个数为L，而后馈滤波器抽头系数的个数为M。 x(n?L) 输入信号 w?L w?L?1 w0 Ts …… Ts x(n?1) x(n) Ts Ts ?d(n) d(n?1) d(n?M) Ts …. Ts ?? w1 w2 wM ∑ y(n)判决器 图3-4 判决反馈均衡器

令FFF的抽头系数矢量为w1(n)?[w?l(n) w?L?1(n) ... w0(n)]T，FBF的抽头系数矢量为 w2(n)?[w1(n) w2(n) ... wM(n)]T，两滤波器组合抽头系数矢量w(n)?[w1(n)

Tw2(n)]T，则

T?同时再令FFF的输入信号矢量为x(n)?[x(n?L) x(n?L?1) ... x(n)]T，d(n)为

???判决器的输出信号，则FBF每级延迟得到的信号矢量为d(n)?[d(n?1) d(n?2) ...

?T?TT~d(n?M)]。因此可定义FFF和FBF联合的信号矢量为x(n)?[x(n) d(n)]T,则

??x(n)=[x(n?L) x(n?L?1) ... x(n) d(n?1) ... d(n?M)]T ~由图3-4可得判决反馈均衡器的输出为

LM?y(n)??w?i(n)x(n?i)??wid(n?i)

i?0i?1 w(n)=[w?L(n) w?L?1(n) ... w0(n) w1(n) ... wM(n)]T

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?TT=w1(n)x(n)?w2(n)d(n) =[w1(n) w2(n)]TTT??

x(n)?d(n)=wT(n)~x(n) (3.8)

于是误差序列为

e(n)=d(n)-wT(n)~x(n) (3.9) DFE通过使用FFF和FBF分别补偿由信道将来和过去时刻的冲击响应产生的信号畸变。FFF通过使用未来时刻的码元消除ISI，具有M个抽头的FBF则通过使用过去时刻的码元从当前估计值中消除ISI，即FFF抑制前向干扰，而FBF抑制后续干扰。

判决反馈均衡器的结构具有许多优点，当判决差错对性能的影响可忽略时DFE优于线性均衡器，显而易见相对于线性均衡器加入判决反馈部分得到性能上相当大的改善，反馈部分消除了由先前被检测符号引起的符号间干扰，例如相对于LTE较小的噪声增益和MSE、相对于MLSE和格型结构的低运算复杂度、相对于横向结构更容易达到稳定性能等等[10]。

然而DFE结构面临的主要问题之一是错误传播，错误传播是由于对信息的不正确判决而产生的，错误信息的反馈会影响FBF部分从而影响未来信息的判决，在小信噪比(SNB<12B)条件下，DFE通过FBF会产生错误传播现象，而且反馈部分的硬判决直接造成了DFE的错误传播；另一个问题是移动通信中的收敛速度。考虑到如何降低错误传播和解决收敛速度问题，可以采用可靠性更高的软判决和收敛速度更快的快速启动估计等。

3.6 分数间隔均衡器(FSE)

在前面讨论的各种均衡器结构中，均衡器抽头之间的间隔为码元间隔Ts（也称波特间隔），故常称为波特间隔均衡器。换而言之，这种均衡器使用码率为1/Ts（波特率）对输入和输出信号采样，所以又称为码率均衡器。但是，波特间隔均衡器性能并理想。相比之下，抽头间隔为波特间隔分数倍的均衡器（简称为分数间隔均衡器）其特性要比码元间隔均衡器优越。

从频域角度看，我们很容易分析码元间隔均衡器的局限性。这种均衡器对输入和输出信号都是以1/Ts速率采样。因此均衡器输入信号的频谱可写成[4]

1 X(w)=

Ts2?nj(w?Ts)?0 (3.10) R(w?)e?Tsn2?n由于对输入信号的采样速率为1/Ts，小于奈奎斯特采样速率2/Ts，所以上式中X(w)为折叠或混叠频谱，折叠频率为1/2Ts。，码元均衡器输出端的信号频谱为

Y(w)?W(w)X(w) (3.11)

式中

W(w)=

Li??L?we?jwTs (3.12)

显然，由这些关系可以看出：码率均衡器只能补偿接收信号混叠的频率响应特性，不

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可以补偿R(w)e?jw?0中固有的信道畸变。

与码元间隔均衡器不同，分数间隔均衡器则采用不低于奈奎斯特速率的采样速率对输入信号进行采样。例如，若发射信号具有升余弦频谱（其跌落因子为?）的脉冲组成，其频谱将扩展到Fmax?(1??)/Ts。这一信号在接收机端即可用速率

Fmax?(1??)/Ts (3.13)

采样，然后通过抽头间隔Ts/(1??)的均衡器。例如，若??1，则得到Ts/2间隔的均衡器；若??0.5，则得到2Ts/3间隔均衡器，等等。数字实现的分数间隔均衡器的抽头间隔一般可以表示为MTs/N，其中M和N为正整数，且有N>M。在许多实际应用中，经常使用Ts/2间隔的均衡器。

分数间隔均衡器的频率响应为

W'(w)??wie?jwiT (3.14)

式中T'?MTs/N。则均衡后的频谱为

'Y'(w)?W'(w)X'(w)

2?n)?01 =W'(w)'T2?nj(w?T'R(w?')e?Tn

)?0N =W'(w)MTs2?nNj(w?MTsR(w?)e?MTns2?nN (3.15)

由于当w?2?N时,R(w)?0,所以式(3.15)可以表示为 MTs

Y'(w)?W'(w)X'(w)

， w?

?W'(w)R(w)ejw?0?T' (3.16)

可以看出，分数间隔均衡器避免了因欠采样引起的频谱混叠，因而可用于补偿接收信号中的信道畸变。这正是分数间隔均衡器对输入信号用(1??)/Ts速率进行采样的目的所在

[4]。

在输出端，分数间隔均衡器和码元间隔均衡器一样，也是用码率对均衡器输出信号采

样。由(3-15)易知，分数间隔均衡器输出信号的频谱由下式给出：

?i2?i2?ij(w?Ts'W(w?)R(w?)eTsTs2?i)?0 (3.17)

综上所述，最佳分数间隔均衡器等价于由匹配滤波器后接波特间隔均衡器的最佳线性接收机。线性调制系统的最佳接收滤波器时级联于实际信道的一个匹配滤波器。对时变信道系统的最佳接收是采用匹配滤波器，而FSE是以不低于奈奎斯特速率采样，可以达到匹配滤波器和Ts间隔均衡器特性的最好组合，即FSE可以构成一个最好的自适应匹配滤波

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器，且FSE在较低噪声环境下可以补偿更严重的时延和幅度失真。FSE对采样器噪声不敏感，这也是由于没有频谱重叠现象而产生的优点。

具有同样抽头系数的FSE性能优于或相同于Ts间Ts间隔均衡器与Ts/2的FSE相比较，

隔均衡器。Ts/2的FSE不需要接收形成滤波器。在严重延时失真的信道，Ts间隔均衡器明显差于Ts/2的FSE。

另外，分数间隔均衡器的必要性也可从完全均衡解的两个要求进一步佐证。完全均衡的要求之一是：均衡器必须有足够的自由度。对于码元间隔均衡器和一个FIR信道而言，这就要求均衡器具有无线冲击响应(IIR)。然而，对于Ts/2间隔的分数间隔均衡器，均衡器响应长度只要超过或达到信道的响应长度即可。完全均衡的另一个条件是：描述均衡的方程组必须是唯一确定的，即描述线性方程组的矩阵必须满秩。对于码元间隔均衡器，这一满秩条件不允许信道频率响应等于零（这意味着FIR信道的零点不能位于单位圆上）。这一条件称为码元间隔均衡器的“可逆性”条件。但是对于一个Ts/2的间隔的分数间隔均衡器，满秩的条件意味着子信道之间没有公共根，此条件常称之为“子信道差异”条件。这两个条件也说明，分数间隔均衡性能要比码元间隔均衡器性能更好[6]。

考虑图3-5所示的单信道模型，Ts间隔的码元序列?an?通过一脉冲形成滤波器发射，然后被调制到传输信道，最后被解调。假定发射和接收之间的所有处理都是线性时不变的，因而可以用连续时间冲激响应c(t)来描述线性时不变信道和脉冲成形滤波器的组合冲激响 应。用n(t)表示基带加性信道噪声过程。于是，由接收机收到的信号波形可以用连续时间的基带信号表示为

r(t)??n????ac(t?nTns??0)?n(t) (3.18)

式中?an?为发送的码元序列，Ts为码元间隔，?0为任意延迟。

an r(t)yn c(t) ∑ n(t) fk ↓2 图3-5 具有Ts/2间隔接收机的单信道基带模型

现在，接收信号r(t)以Ts/2的“分数间隔”采样，则采样后的接收机序列为

r(t)?n????ac(t?nTn?s??0)?n(t) (3.19)

在以上两式及后面的各式中，用n标识波特间隔，用k标识分数间隔。接下来，接收序列被一个Ts/2间隔的有限冲激响应(FIR)均衡器滤波，为简记，假定均衡器具有偶数长度

2N，则均衡器输出xk可以看作是被采样的序列与均衡器系数fk之间的卷积，即有

2N?1 xk??fir(k?i)i?0Ts (3.20) 219

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最后，分数间隔均衡器输出xk被一个抽取因子2抽取，得到Ts间隔的输出序列。抽取是通过二中取一（全部取偶数或奇数序号）实现的，得到的是码元间隔的“软决策”输出?yn?。假定只有奇数编号的分数间隔均衡器输出样本即xk(k?2n?1,其中n?0,1,,2......)被抽取，则有

?k?dyn?x2n?12N?1 ???i?0fir(nTs?iTsTs?)22 (3.21）

2N?1Ts??fr(n?i)T??s?2r2i?0????f2i?1r(n?i)Ts??故输出误差序列e(n)可表示为

e(n)?a(n)?y(n)?? (3.22） Ts???????a(n)???f2ir?n?iTs???f2i?1rn?iTs?2??i?0??下面给出一个带判决反馈以Ts/2间隔采样的分数间隔均衡器作为本章的总结，如图

2N?1

3-6所示，图中FFF有4个抽头系数，以Ts/2为抽样间隔，而FBF有2个抽头系数。

Ts/2 Ts/2 Ts/2 Ts Ts x(nTs?3Ts) x(nTs?TS) x(nTs?Ts) x(nTs) 22?d(n?2) ?d(n?1) × × × × × × w?3 w?2 w?1 w0 w1 w2 ∑ yn ?d(n) 判决器 … ∑ 图3-6 带判决反馈以Ts/2间隔采样的分数间隔均衡器

根据前面的讨论可以得出，整个均衡器的输出为

iTs?2? y(n)??wix?nTs????wid(n?i?1) (3.23)

2??i?1i??30于是用于更新均衡器系数的误差序列为

e(n)?d(n)?y(n)

iTs?2? =d(n)-y(n)?d(n)?[?wix?nTs????wid(n?i?1)] (3.24)

2?i?1?i??3020

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3.7 本章总结

本章开始简单介绍了均衡器的几种分类方法，然后主要依次介绍了横向均衡器、线性格型均衡器、判决反馈均衡器以及分数间隔均衡器，给出了它们的结构框图，分析了其均衡前后信号的表达式。

横向均衡器结构简单，易于实现，但是对于畸变比较严重的信道却无能为力。线性格型均衡器对于无法大致估计信道从而对均衡器的阶数多少难以判断的时候是非常适用的，但是这种均衡器的结构复杂，难以实现。判决反馈均衡器结构稍微复杂一些，而且对于畸变严重的信道也具有很强的补偿能力，因此在信道畸变严重的情况下得到了广泛的应用，但是判决反馈均衡器存在错误传播的问题，这也是在设计判决反馈均衡器时必须要考虑的问题。分析了码元间隔均衡器存在的局限性，介绍了分数间隔均衡器的结构，分数间隔均衡器波形成形滤波器，在严重畸变的信道下均衡能力明显优于码元间隔均衡器。最后本章给出了一个实际的均衡器结构作为本章的总结，其中FFF有4个系数，FBF有2个系数，且FFF的抽头间隔是码元间隔的一半，可见这种结构的均衡器是分数间隔均衡器和判决反馈均衡器结合而成的。

21

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第四章 自适应均衡算法的理论基础

在自适应均衡器中，可以使用不同的自适应算法。在满足一定的准则前提下，这些算法对均衡器系数进行调整。两个准则在均衡系数最佳化中得到了广泛使用，一个是迫零准则，另一个是均方误差(MSE)准则。对于迫零准则，调整均衡器系数使稳定后的所有样值冲击响应具有最小的码间干扰；而MMSE准则的均衡器系数调整是为了使期望信号d(n)和均衡器输出信号y(n)之间的均方误差最小。无论是基于MMSE准则还是迫零准则无限抽头的线性横向均衡器在无噪声情况下直观上都是信道的逆滤波器，如果考虑两种准则间会有差别[6]。在MMSE准则下，均衡器抽头对加性噪声和信道畸变均进行补偿，补偿包括相位和幅度两个方面；而基于迫零准则的LTE忽略噪声的影响。

在均衡器优化设计中，可以考虑采用某种最小代价函数或者某个性能指标来衡量，一般有下列几种选择： (1) 估计误差的均方值； (2) 估计误差绝对值期望值；

(3) 估计误差绝对值的三阶或高阶期望值；

选项(1)由于容易进行数学处理而优于其他两项。实际上，选择均方误差准则导致均衡器中滤波器冲击响应未知系数代价函数的二阶相关性。而且。该代价函数有一个独特的最小值能唯一地定义滤波器的优化统计设计，因此在本文主要介绍MSE准则[4]。

自适应算法比较经典的算法有最小均方误差算法(LMS)、递归二乘法(RLS)、CMA算法等。下面将详细介绍这几种常用的算法。

4.1 最小均衡误差算法(LMS)

LMS(Least Mean Square)算法最早于Widrow于1960年建立。采用最小均方差的均衡器比迫零算法均衡器要稳定一些，它的依据是最小均方误差，即理想信号d(n)与滤波器实际输出y(n)之差e(n)的平方的期望值E{e2(n)}最小，并且根据这个依据来修改权系数wi(n)。为了使期望值E{e2(n)}最小，采用最广泛的自适应算法形式“下降算法”：

wi(n)?wi(n?1)??(n)?(n),?(n)是第n次迭代的收敛因子, ?(n)是第n次迭代的更新方向。最常用的下降算法是梯度下降法，常称为最陡下降法[2]。

考虑如图4-1所示的自适应FIR滤波器。

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x(n)Z?1x(n?1)Z?1x(n?2)?Z?1x(n?N?1)w0(n)w1(n)w2(n)wN?1(n)?????y(n)

图 4-1 自适应FIR滤波器

令N阶FIR滤波器的抽头系数为wi(n)，滤波器的输入和输出分别x(n)为和y(n)，则FIR横向滤波器方程可以表示为

y(n)??wi(n)x(n?i) (4.1)

i?0N?1令d(n)代表“所期望的响应”，并定义误差信号

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-

?w(n)x(n?i) (4.2)

ii?0N?1采用向量形式表示权系数及输入，可以将误差信号e(n)写作

e(n)=d(n)-wTx(n)=xT(n)w (4.3) 则误差平方为

e2(n)?d2(n)?2d(n)xT(n)w?wTx(n)xT(n)w (4.4) 上式两边取数学期望后，得均方误差

E{e2(n)}?E{d2(n)}?2E{d(n)xT(n)}w?wTE{x(n)xT(n)}w (4.5) 定义互相关函数向量

Rxd?E{d(n)xT(n)} (4.6)

自相关函数矩阵

Rxx?E{x(n)xT(n)} (4.7)

则(4.5)式可表示为

E{e2(n)}?E{d2(n)}?2Rxdw?wTRxxw (4.8) 这表明均方误差是权系数向量w的二次函数，它是一个凹的抛物型曲面，具有唯一的最小值的函数，调节权系数使均方误差最小。将(4.8)式对权系数w求导，得到均方误差函数的梯度

?(n)??E{e2(n)}?[?E{e2(n)}/?w1 ,…, ?E{e2(n)}/?wn]T (4.9)

令?(n)=0，即可求出最佳权系数向量

?1 wopt?RxxRxd (4.10)

将wopt代入(4.8)式得最小均方差值

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E{e2(n)}?E{d2(n)}?Rxdwopt (4.11) 利用(4.11)式求得最佳权系数向量的精确解需要知道Rxx和Rxd的先验统计知识，而且还需要进行矩阵求逆等运算。Widrow和Hoff提出了求解wopt的近似方法。习惯上称之为

Widrow-Hoff LMS算法。正如前面所介绍的，这种方法是根据最优化理论方法中的最速下

降法。根据最速下降法，“下一时刻”权系数w(n?1)应该等于“现在时刻”权系数w(n)加上一个负均方误差梯度-?(n)的比例项，即

w(n?1)=w(n)-??(n) (4.12)

其中?是一个控制收敛速度与稳定性的常数，称之为收敛因子，LMS算法与梯度?(n)和收敛因子?有关。

精确计算梯度?(n)是十分困难的，一种粗略的但是却十分有效的近似计算方法是直接取e2(n)作为均方误差的估计值E{e2(n)}，即

?(n)??[e2(n)]?2e(n)?[e(n)] (4.13)

其中

?[e(n)]??[d(n)?wTx(n)]??x(n) (4.14)

将(4.14)式代入(4.13)式中，得到梯度估计值

?(n)??2e(n)x(n) (4.15) 于是，Widrow-Hoff LMS算法为

w(n?1)=w(n)+2?e(n)x(n) (4.16)

?是LMS算法的步长，通常是个常数，即：

1 0

s s??E[|x(n?i)|2] (4.17)

i?0N?1式(4.17)用?E[|x(n?i)|2]?xT(n)x(n)来估计[1]。

i?0N?1LMS算法有它自身的优点，但是，由于LMS算法采用梯度矢量的瞬时估计，有大的方差，以至于不能获得最优滤波性能。为此人们为了适应各种应用，以提高LMS算法的性能，对LMS算法进行了改进，主要的改进有：部分归一化最小均方误差(PNLMS)算法、归一化最小均方误差(NLMS)算法、混合LMS(HLMS)算法。这几种算法的改变都是基于对迭代步长?的改变而改变的：

(1) ?=常数，为基本LMS算法。 (2) ?(n)=(3) ?(n)=

?var(x(n))，其中??(0,2)，为部分归一化LMS算法。 ，其中??(0,2)，为归一化LMS算法。

?var(x(n))24

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(4) ?(n)=

??Sgn(x(n))x(n)，为混合LMS算法，其中Sgn为一符号函数[8]。

以上四种算法具有各自的特点。从算法的简洁性而言，HLMS算法最简单，而PNLMS算法或NLMS算法就比较复杂。从算法对输入x(n)的适应性而言，NLMS算法最好，LMS算法最差。从算法的稳定性与速度而言，当四种算法的迭代步长都取成各自允许的最大迭代步长小同样的倍数时，4种算法的收敛时间是相同的。根据对算法的不同要求，选取一个恰当的算法，对提高自适应滤波器的性能是很有益处的。

4.2 递归最小二乘算法(RLS)

梯度LMS算法的收敛速度是很慢的，为了实现快速收敛，可以使用含有附加参数的复杂算法。RLS算法是一种递推的最小二乘算法，它用已知的初始条件进行计算，并且利用现行输入新数据中所包含的信息对老的滤波器参数进行更新，因此，因此所观察的数据长度是可变的，为此将误差测度写成J(n)，其中n是观测数据的可变长度。另外习惯上引入一个加权因子(又称遗忘因子)到误差测度函数J(n)中去，它可以很好的改进自适应均衡器的收敛性。RLS的设计准则是使指数加权平方误差累积的最小化[7]。即

J(n)???n?ie(i) (4.18)

i?0n2式中加权因子0

式(4.18)中的估计误差定义为

e(i)=d(i)-wTx(i)=xT(i)w (4.19)

因此，加权误差平方和的完整表达式为

J(n)???n?id(i)?wTx(i) (4.20)

i?0n2为了获得J(n)的最小值，可使J(n)的梯度为0，即：

可得Rxx(n)w(n)?rxd(n),其解为

?1 w(n)?Rxx(n)rxd(n) (4.22)

?J(n)=0 (4.21) ?w(n)其中w(n)是RLS均衡器的最佳抽头增益向量。rxd是输入向量x(n)和期望输出d(n)之间的确定互相关矩阵。

Rxx(n)???n?ix(i)xT(i) (4.23)

i?0nn rxd(n)???n?ix(i)d(i) (4.24)

i?0下面考虑它的自适应更新。

根据式(4.23)和(4.24)易得递推公式

25

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Rxx(n)??Rxx(n?1)?x(n)xT(n) (4.25) rxd(n)??rxd(n?1)?x(n)d(n) (4.26)

?1对(4.25)使用著名的矩阵求逆引理，可得逆矩阵Pxx(n)?Rxx(n)的递推公式为：

Pxx(n?1)x(n)xT(n)Pxx(n?1)?1?Pxx(n)??Pxx(n?1)??

????xT(n)Pxx(n?1)x(n)?1 =[Pxx(n?1)?K(n)xT(n)Pxx(n?1)] (4.27)

?式中K(n)称为增益矢量，定义为

?1 Pxx(n)?Rxx(n) (4.28)

K(n)?Pxx(n?1)x(n) (4.29) T??x(n)Pxx(n?1)x(n)利用式(4.27)不难证明：

1Pxx(n)x(n)=[Pxx(n?1)x(n)?K(n)xT(n)Pxx(n?1)x(n)]

?1 ={[??xT(n)Pxx(n?1)x(n)]K(n)?K(n)xT(n)Pxx(n?1)x(n)}

? = K(n) (4.30) 另一方面，由式(4.22)又得

?1w(n)?Rxx(n)rxd(n)=Pxx(n)rxd(n)

1 =[Pxx(n?1)?K(n)xT(n)Pxx(n?1)][?rxd(n?1)?x(n)d(n)]

?将(4.30)代入后，上式可以写成

w(n)?w(n?1)?d(n)K(n)?K(n)xT(n)w(n?1)

将上式化简后得

w(n)?w(n?1)?K(n)e(n) (4.31) 综上所述，可得如下RLS算法操作步骤： 步骤1：初始化：w=[0 …… 0]T,n=0,Pxx(0) =?矩阵；

步骤2：当n?n?1时，更新

e(n)=d(n)-wTx(n), (4.32)

-1

I,其中?为正则化参数，I为N*N单位

K(n)?Pxx(n?1)x(n) (4.33)

??xT(n)Pxx(n?1)x(n)1[Pxx(n?1)?K(n)xT(n)Pxx(n?1)] (4.34)

Pxx(n)?? w(n)?w(n?1)?K(n)e(n) (4.35)

在方程(4.34)中，?是一个可以改变均衡器性能的抽头系数，如果信道是非时变的，那么?可以设为1。而通常?取值为0.8

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均衡器的跟踪能力。?值越小，均衡器的跟踪能力越强。但是?太小，均衡器将会不稳定。递归最小二乘算法，又称卡尔曼RLS算法[8]。

4.3 盲均衡算法

普通的均衡器需要训练和跟踪两个阶段，在训练阶段，需要已知信号的一些特性参数来训练均衡滤波器，或者直接周期地发送训练序列。由于训练序列并不包含用户的数据，而占用信道资源，自然会降低信道的利用率。另外，在跟踪阶段，不发送训练序列，如果信道特性是快速变化的，均衡器的性能将迅速恶化[10]。

盲均衡技术是一种不需要发射端发送训练序列，仅利用信道输入输出的基本统计特性就能对信道的弥散特性进行均衡的一种特殊技术。由于这种均衡技术可以在信号眼图不张开的条件下也能收敛，所以称为盲均衡。它和前面所述的自适应算法的根本区别在于误差产生的不同。

根据盲自适应算法的理论基础分类，可以将已经推出的自适应盲均衡算法分为3种不同的类型[4]：

1、基于随机梯度的盲均衡算法，也称Bussgang算法； 2、基于高阶或循环信号统计的盲均衡算法； 3、基于最大似然准则的盲均衡算法。

基于最大似然准则的盲均衡算法在三种算法中最佳，但是ISI涉及的符号数多时，复杂性会急剧上升。另外，基于高阶统计的盲均衡算法对计算的要求也比较高。所以，当ISI涉及的符号数多且信道不是十分恶劣时，一般采用随机梯度盲均衡算法，且它与传统使用的LMS算法容易融合在一起，有利于算法的实现[11]。下面将详细介绍Bussgang算法。

Bussgang盲均衡算法的基本原理是先建立一个目标函数或代价函数，使得理想系统对

应于该代价函数的极小值点，然后采用某种自适应算法寻求代价函数的极值点。当代价函数达到极值点，系统也就成为期望的理想系统。Bussgang盲均衡器的原理框图如4-2所示

[4]。

s(n)传输信道h(n) x(n)+ y(n) 滤波器 非线性函数g(.) - LMS算法 误差信号e(n) + ~x(n)

n(n) + 图4-2 Bussgang类盲均衡器的原理图

x(n)来代替。在盲均衡器中，因无训练序列，s(n)是未知的，一般用发送序列的估计值~x(n)的误差信号；x(n)为均衡器的输入信号。图4-2中e(n)为均衡器的输出相对估计信号~x(n)为 估计信号；g(.)为非线性无记忆估计函数[10]。 y(n)为均衡器的输出信号；~27

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