概率论与数理统计及其应用第二版课后答案

概率论与数理统计及其应用习题解答

1 第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。

（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；

（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___

___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

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2 解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为

72.0900

648=

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为

48.0100

48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为

48.0100

48=

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。

（2）4只中至少有2只红球。

（3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为338412

131425=C C C C ；

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3 （2） 所求概率为16567495201412

4418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为165

74953541247==C C 。

6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。

解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法

有n M 种，某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有k n k n M C --)1(种，所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为

n

k n k n M M C --)1(。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。

（1）求3只球至少有1只配对的概率。

（2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以

（2）没有配对的概率为3162=；

（1）至少有1只配对的概率为32311=-。

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4 8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?, )|(),|(AB A P B A AB P ?.

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，所以

313.01.0)()()|(===B P AB P B A P ， 5

15.01.0)()()|(===A P AB P A B P ， 7

5)()()()]([)|(=?=??=?B A P A P B A P B A A P B A A P ， 71)()()()]([)|(=?=??=

?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ， 1)

()()()]([)|(===AB P AB P AB P AB A P AB A P 。 （2）设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ，它的概率为（根据乘法公式）

)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =

0408.020592

840124135127116==???=

。 9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ，“另一只

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5 也是红球”记为事件B 。则事件A 的概率为

6

5314232422)(=?+??=A P （先红后白，先白后红，先红后红） 所求概率为

5

16

53142)()()|(=?==A P AB P A B P

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）)(),(B P A P ；（2）)|(A B P ；（3）)|(A B P ；（4）)|(B A P ；（5）)|(B A P 。 解：（1）根据题意可得

%50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ；

%15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ；

（2）根据条件概率公式：1.0%50%5)()()|(===

A P A

B P A B P ； （3）2.0%501%10)()()|(=-==

A P A

B P A B P ； （4）179%151%45)()()|(=-==

B P B A P B A P ； （5）3

1%15%5)()()|(===B P AB P B A P 。

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6 11，在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger 的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g ，2个i ，3个n ，3个e ，1个r 。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

924013326403661738193102112==?????；或者92401611

111311131212=A C C C C C C 。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求

（1）该人两种症状都没有的概率；

（2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---；

（2）至少有一种症状的概率为%60%401=-；

（3）已知该人有症状B ，表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为

41%10%30%10=+。

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7 13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

通讯线

通讯量的份额 无误差的讯息的份额 1

0.4 0.9998 2

0.3 0.9999 3

0.1 0.9997 4 0.2 0.9996

解：设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有 9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(4

1?+?+?+?==∑=i i i A B P A P B P

=0.99978

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。根据全概率公式有

%1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为

%06.17%

1.121%)851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==A P B A P B P A P A B P A B P 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

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8 15，计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有

025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025

.001.06.0)()|()()|(111=?==M P N M P N P M N P ， 60.0025

.005.03.0)()|()()|(222=?==M P N M P N P M N P ， 16.0025.004.01.0)()|()()|(333=?==

M P N M P N P M N P 。

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式，所要求的概率为

%9947.99%

1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=?+??=+==B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P

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9 17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C 分别记事件“第一次得H ”，“第二次得H ”，“两次得同一面”。试验证A 和B ，B 和C ，C 和A 分别相互独立（两两独立），但A,B,C 不是相互独立。

解：根据题意，求出以下概率为

21)()(=

=B P A P ， 2

121212121)(=?+?=C P ； 412121)(=?=AB P ， 412121)()(=?==CA P BC P ，412121)(=?=ABC P 。 所以有

)()()(B P A P AB P =，)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P =。

即表明A 和B ，B 和C ，C 和A 两两独立。但是

)()()()(C P B P A P ABC P ≠

所以A,B,C 不是相互独立。

18，设A,B,C 三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C 各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(=i N i 。

（1）设恰有一人进球的概率为1p ，则

}{}{}{3213213211N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0??+??+??=

29.0=

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10 （2）设恰有二人进球的概率为2p ，则

}{}{}{3213213212N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0??+??+??=

44.0=

（3）设至少有一人进球的概率为3p ，则

}{13213N N N P p -=)()()(1321N P N P N P -=4.03.05.01??-=94.0=。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少？因为

第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24；

第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144；

第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864；

所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

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11

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。

解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为

)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??

)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +--- )()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++= )()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-

534322p p p p p p p +---++=

543222p p p p p +--+=

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得

)|()()|()()|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

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12 又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以

384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P 故，

9046.01698

.01536.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P

（第1章习题解答完毕）

第2章

随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。

解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k

个人都不是A 型血，因

此有 116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ， （ ,3,2,1=k ）

上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X 只能取值0，1，2。设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==

)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=， 类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，

416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美

国人，以X 表示15

个人中无任何健康保险的人数（设各人是

概率论与数理统计及其应用习题解答

13 否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

15,2,1,0,8.02.0)(1515 =??==-k C k X P k k k 。

（1）,2501.08.02.0)3(123315=??==C X

P （2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；

（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤

X P X P X P X P ； （4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P

0611.0)0()1(==-=-X P X P

4，设有一由n 个元件组成的系统，记为][/G n k ，这一系统的运行方式是当且仅当n 个元件中至少有k )0(n k ≤<个元件正常工作时，系统正常工作。现有一][5/3G 系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X

服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为 99144

.01.09.0)(535553=??==∑∑=-=k k k k k C

k X P

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）

解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

∑=-?=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k

k k C X P X P

3134.0!8!)001.08000(608

60001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e （查表得）。

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π，求}15{>X

P （2）已知随机变量X~)(λπ，且有5.0}0{=>X

P ，求}2{≥X P 。 解：（1）0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X P ；

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14 （2）根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X P ，得到2ln =λ。所以

1534

.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数

)2(~πX 。 （1）1353.0}0{2≈==-e X P ；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

00145

.0)1353.01(1353.0}4{445=-?==C Y P 。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为 ()∑∑∞=-∞=-???? ??=???? ??051005

2

!32!2k k k k k e k e

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为???≤≤=他其100)(2x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3

1{≤X P ；（3）求}2141{≤≤X P ；（4）求}3

2{>X P 。 解：（1）根据3)(11

2k dx kx dx x f ===

??+∞∞-，得到3=k ； （2）271313}31{33/10

2=??? ??==≤?dx x X P ； （3）64741213}2141{332/14/12=??

? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ； （4）27193213}32{313

/22=??? ??-==>?dx x X P 。

9，设随机变量X 的概率密度为

???≤≤=他其1000003.0)(2x x x f ，求t 的方程0

4522=-++X Xt t 有实根的概率。

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15 解：方程04522=-++X Xt t

有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即0452≥+-X X ，从而要求4≥X 或者1≤X 。因为

001.0003.0}1{1

02==≤?dx x X P ， 936.0003.0}4{104

2==≥?dx x X P

所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

??

???≥=-他其00100)(200/2x e x x f x

（1） 求寿命不到一周的概率；

（2） 求寿命超过一年的概率； （3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）00498.01100}1{200/11

0200/2≈-==<--?

e dx e x X P x ； （2）000001.0100}52{200/270452

200/2≈==>-+∞-?e dx e x X P x ； （3）25158.0100100}20{}26{}2026{200/27620200/26

200/22≈==>>=>>-∞+-+∞

-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。

11，设实验室的温度X （以C 计）为随机变量，其概率密度为

??

???≤≤--=他其210)4(91)(2x x x f （1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y 表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。

（3） 求}2{=Y P ，}2{≥X P 。

解：（1）?=-=>2

1

2275)4(91}1{dx x X P ； （2）根据题意)27

5,10(~B Y ，所以其分布律为

概率论与数理统计及其应用习题解答

16 10,2,1,0,2722275)(1010 =??? ?????? ???==-k C k Y P k

k k

（3） 2998.02722275)2(8

2210=???

?????? ???==C Y P ，

5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。

12，（1）设随机变量Y 的概率密度为

?????≤<≤<-+=他

其1

00

102.02

.0)(y y Cy y f

试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。

（2）设随机变量X 的概率密度为

?????≤≤<

<=他

其4

22

008/8/1)(x x x x f

求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）根据24.0)2.0(2.0)(11

01C

dy Cy dy dy y f +=++==???-+∞∞-，得到2.1=C 。 1

1

00

11

)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(011

00101≥<≤<≤--

++==

??????---∞-y y y y dy y dy dy y dy dy

dy y f y F y y y

1

100

11

12.02.06.0)1(2.002≥<≤<≤--

25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；

概率论与数理统计及其应用习题解答

17

7106

.0226

.0145

.01)1.0(1)5.0(1}1.0{1}5.0{1}1.0{}5.0{}1.0|5.0{=--=--=≤-≤-=>>=

>>F F Y P Y P Y P Y P Y Y P

（2）44220088188181

0)()(2042202

0≥<≤<≤

x

442200116/8/02≥<≤<≤

3()

1()3(}3{}31{}3|1{=-=≤≤≤=

≤≥F F F X P X P X X P 。

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X 表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X 和Y 的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X 和Y 的联合分布律。 解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

)

1(1

},{-=

==n n j Y i X P ，（j i ≠，且n j i ≤≤,1）

当n 取3时，

1

},{=

==j Y i X P ,（j i ≠，且3,1≤≤j i ）,表格形式为 14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A 是加油站的工作人员操作的，设备B 是有顾客自己操作的。A ，B 均有两个加油管。随机取一时刻，A ，B 正在使用的软管根数分别记为X ，Y ，它们的联合分布律为

（1） 求}1,1{==Y X

P ，}1,1{≤≤Y X P ；

（2） 求至少有一根软管在使用的概率； （3） 求}{Y X

P =，}2{=+Y X P 。

解：（1）由表直接可得}1,1{==Y X

P =0.2，

概率论与数理统计及其应用习题解答

18

}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P

（3）}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X

P =0.1+0.2+0.3=0.6

28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P

15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

?

?

?>>=+-他其，，0

,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。

解：根据

1),(0

,0=??>>y x dxdy y x f ，可得

8

),(10

40

20

)

42(0

,0C

dy e dx e

C dy Ce

dx dxdy y x f y x

y x y x =

===

??????+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>>，

所以8=C

。

404220)

42(2

2

428),(}2{-+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>====

>??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f X P y x

y x x ；

3

2)1(2428),(}{0

420

40

20

)42(0

=

-====

>???????+∞

---+∞

-+-+∞

>dx e e dy e dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x x

y x x

y x y

x 2210

41

210

)

42(1

1

)1(428),(}1{-----+-<+-====

<+??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x

x

y x y x 。

16，设随机变量（X ，Y ）在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。

（1） 求（X ，Y ）的概率密度； （2） 求边缘概率密度

)(),(y f x f Y X 。

解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度

),(y x f 必定是一常数，故由

),(61

),(),(12

22

/1

y x f dy y x f dx

dxdy y x f x x G

=

==?

???，得到?

??∈=他其，0),(,6),(G y x y x f 。

概率论与数理统计及其应用习题解答

19 （2）?????<<===??∞+∞-他其，,01036),()(22/2

2x x dy dy y x f x f x x X ； ?

????<<-<<-=?????

??????<≤<<==???∞+∞-他

其，，，他其，，，015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(12y y y y y y dx y dx dx y x f y f y y

y Y

18，设Y X ,是两个随机变量，它们的联合概率密度为

?????>>=+-他

其，，0,002),()

1(3

y x e x y x f y x ，

（1） 求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ；

（2） 求条件概率密度)|(|x y f X Y ，写出当5.0=x 时的条件概率密度；

（3） 求条件概率}5.0|1{=≥X Y P 。

解：（1）?????>===

??+∞-+-∞+∞-其他

,00

,22),()(0

2

)1(3x e x dy e x dy y x f x f x

y x X 。 （2）当0>x 时，

???>==-其他

,00

,)()

,()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。

特别地，当5.0=x 时

???>==-其他

,00

,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。

（3）5.01

5.01|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞

-+∞=====≥??e dy e dy x y f X Y P y

X Y 。

19，（1）在第14题中求在0=X 的条件下Y 的条件分布律；在1=Y 的条件下X 的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ，)5.0|(|x f Y X 。

概率论与数理统计及其应用习题解答

20 解：（1）根据公式}

0{}0,{}0|{======X P X i Y P X i Y P ，得到在0=X 的条件下Y 的条件分布律为

类似地，在1=Y 的条件下

的条件分布律为

（2）因为???∈=他

其，0),(,6),(G y x y x f 。

?????<<==?他其，,01036)(22/2

2x x dy x f x x X ；?????<<-<<-=他

其，，，015.0)1(65

.00)2(6)(y y y y y y f Y 。

所以，当10<

<<==其他

,02/,2

)(),()|(2

22|x y x x x f y x f x y f X X Y ；

当5.00<

,02,21

)(),()|(|y x y y y y f y x f y x f Y Y X ；

当15.0<≤y 时，?????<<-==其他

,01

,11)(),()|(|x y y y f y x f y x f Y Y X ；

当5.0=y 时，?????<<-=其他

,01

5.0,5

.011

)|(|x y x f Y X 。

20，设随机变量（X ，Y ）在由曲线x y x y ==,2所围成的区域G 均匀分布。

（1） 写出（X ，Y ）的概率密度；

（2） 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；

（3） 求条件概率密度)|(|x y f X Y ，并写出当5.0=x 时的条件概率密度。

概率论与数理统计及其应用习题解答

21 解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度),(y x f 必定是一常数，故由

),(31),(),(1210y x f dy y x f dx dxdy y x f x

x G ===????，得到???∈=他其

，0),

(,3),(G y x y x f 。 （2）?????<<-===??∞+∞-他

其，,01

0)(33),()(22x x x dy dy y x f x

f x

x X ；

???

??<<-=????

???

??<<==??∞+∞-他

其，，他其，，01

0)(301

03),()(22y y y y dx dx y x f y f y

y

Y 。

（3）当10<

,0,1)(),()|(22|x

y x x x x f y x f x y f X X Y 。

特别地，当5.0=x 时的条件概率密度为

?????<<-

=其他

,02

/24/1,1224

)5.

0|(|y y f X Y 。

21，设),(Y X 是二维随机变量，X 的概率密度为

?????

<<+=他

其，,02

062)(x x

x f X

且当)20(<<=x x X 时Y 的条件概率密度为

?????

<<++=其他

,01

0,2/11)|(|y x xy x y f X Y ，

（1） 求),(Y X 联合概率密度；

（2） 求),(Y X 关于Y 的边缘概率密度；

（3） 求在y Y =的条件下X 的条件概率密度)|(|y x f Y X 。

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