递推数列求通项公式的常见类型及方法

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式,an与Sn的关系式等,求出通项公式,是数列中的重要内容,是高考中常见的题目.本文给出常见的类型和方法.

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1,得

a2 a1 f(1)方法:叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加,得an

例1.数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中,a1 1,an an 1 1(n 2),求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积,得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中,a1 2,an (1 1) an 1(n 2),求数列 an 的通项. 2n

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

解: 由题an (1 1(n 1)(n 1))a an 1,令n 1,2, n 1,得 n 122nn

3. 1 3a1222 4a3 2a21 32 4(n 1)(n 1) a a 3n122223n (n 1)(n 1)an an 12n1n 1 a1 2n n 1 .nan 1 pan q(p 1,q 0). a2

方法一:配凑法.

an 1 p(an ).

方法二:待定系数法.

p(an ) 比较已知得

q p q, . 1 p

是方程x px q的根. x px q是特征方程.

an 1anqn 1方程三: 两根同除以p,得n 1 n n 1转化为类型1. ppp令an 1

例3(07.全国) 数列 an 中,a1 2,an (

(2 1)(an 2) 1)(an 2),n 1,2,3, ,求数列 an 的通项. 解法一: an 1

an 1 2 (2 1)(an 2)

数列an 2是以a1 2 2 22 1为公比的等比数列

an

故 2 (2 2)(2 1)n 1 2 (2 1)n an 2 (2 1)n 2

( 1)(an )

2 1) 2(2 1) 解法二:令an 1 (

解得 2

下同解法一.

(2 1)(an 2) (2 1)an 2(2 1)

an 1an2n 1 两边同除以(2 1),得(2 1)n 1(2 1)n(2 1)n

ann令bn (2 1)an n(2 1)

bn 2(2 1)n.

令n 1,2, n 1. 得 则bn 1解法三:an 1 - 2 -

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

b2 b1 2(2 1)1

b3 b2 2(2 1)2

bn bn 1 2(2 1)n 1

bn b1 2(2 1)1 2(2 1)2 2(2 1)n 1

(2 1)[1 (2 1)n 1] 2(2 1) 2 1 (2 1)

2(2 1)n 2

an (2 1)nbn 2 2 ( 1)n.

4. an 1 pan qn,(p 1,q 0).

pn 1方法一:两边同除以,得an 1anqn

n n 1n 1ppp转化为类型一.

方法二:待定系数法.

令an 1

例4.数列 qn p(an qn 1)比较已知得 an 中,a1 1,an 1

n 1q. q p 3an 2n,(n 1),求数列 an 的通项. . an 1an2n

解法一:两边同除以3,得n 1 n n 1333

an2n

令bn n,则bn 1 bn n 1. 33

令n 1,2, n 1.得

2b2 b1 23

22

b3 b2 3 3

2n 1

bn bn 1 n3

2222n 1

bn b1 2 3 n333

12222n 1

2 3 n3333

12[1 ()n] 21 3

2 1 ()n

3

an 3n 2n.

解法二:令an 1

2n 3(an 2n 1) - 3 -

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

2n 3 2n 1 2n

解得 2.

n 1即an 1 2 3(an 2n),

所以数列 a

nn 2n 是以a1 2 3为首项,3为公比的等比数列. an 2 3n,故an 3n 2n.

5. an 1 pan f(n).(p 1).

an 1anf(n)n 1方法:两边同除以p,得n 1 n n 1转化为类型一. ppp

例5. 数列 an 中,a1 1,an 1 3an 2n 2,(n 1),求数列 an 的通项.

an 1an2n 2n 1解: 两边同除以3,得n 1 n 333n 1

2n 2an

令bn n,得bn 1 bn . n 133

利用叠加法及错位相减法,以求得

3n1an n . 22

6.an 1 f(n)an g(n).

方法: 两边同除以f(1)f(2) f(n),得

an 1ang(n)转化为类型一 f(1)f(2) f(n)f(1)f(2) f(n)f(1)f(2) f(n)

例6. (2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)

数列 an 中,a1 1,an 1

f(n) n, n 2n2(n 1)an (n 1),求数列 an 的通项. n 2n 2解: 令

则123n 1n2f(1)f(2) f(n) 345n 1n 2(n 1)(n 2)

两边同除以f(1)f(2) f(n),得

2(n 1)

an 1ann 2 222

(n 1)(n 2)n(n 1)(n 1)(n 2)

即(n 2)(n 1)an 1

令bn (n 1)nan 2(n 1)2 (n 1)nan,则

bn 1 bn 2(n 1)2

令n 1,2, n 1.得

b2 b1 2 22

b3 b2 2 32

bn bn 1 2n2 bn b1 2 (22 32 n2)

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

7. n(n 1)(2n 1) 1]6 n(n 1)(2n 1) 32n 1 an . 3an 1an f(n). 2 1 2 [

方法: 由已知an 2an 1 f(n 1),两式相除,得an 2f(n 1). anf(n)

1 ()n,(n 1),求数列 an 的通项. 3

11解: 由题a1a2 ,a1 2,得a2 36

1 an 1an ()n………..① 3

1n 1 an 2an 1 ()……...② 3

an 21② ①得 an3

1 a1,a3, ,a2k 1, 和a2,a4, a2k 都是以为公比的等比数列 3

n 1n 1n 2n 2111当n为奇数时,an a1q2 2 ()2 当n为偶数时,an a2q2 ()2 363

1 1n

2 2 (),n为奇数 3. an n 2 1 (1)2,n为偶数 63

8.an 2 pan 1 qan. 例7. 数列 an 中,a1 2,an 1an

方法一: 配凑法.

an 2 an 1 (an 1 an)

an 1 (an 1 an),比较已知得 方法二: 待定系数法. 令an 2

p 得出 , q

22其中 , 是方程x px q的两根,方程x px q是特征方程.

例8. 数列 an 中,a1 1,a2 5,an 2 5an 1 6an,(n 1),求数列 an 的通项.

解: 令an 2 an 1 (an 1 an)比较已知得

5 得出 3, 2 6

an 2 3an 1 2(an 1 3an)

数列 an 1 3an 是以a2 3a1 2为首项,2为公比的等比数列.

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

9.an 1 3an 2n,即an 1 3an 2n.下同例4. ca d n,(ac 0). aan b则an 1

令x方法: 不动点法. cx d………(*) ax b

1 若(*)有两重根,x1 x2 x0,则 为等差数列. a x0 n

an x1 若(*)有两根,x1 x2,则 为等比数列. a x2 n

例9.(08,洛阳三练)

数列2

1解:令x ,得x 1. 2 x

1111 1, 1an 1 1an 1an 1 12 an an 中,a1 1,an 1 12 an,求数列 an 的通项. 1 11 2为首项,-1为公差的等差数列. 是以1a 1a 11 n 12

1 2 (n 1) ( 1) n 1 an 1

n an . n 1

3b 4例10.(07.全国)数列 (n 1),求数列 bn 的通项. bn 中,b1 2,bn 1 n

2bn 3

3x 4解: 令x ,解得x1 2,x2 2, 2x 3

3bn 4 22bn 3

bn 1 23bn 4 2bn 1 22bn 3则 (2 1)4 bn 2bn 2

bn 2

bn 数列 bn

b n

bn bn 2b1 22 22 4 是以为首项,(2 1)为公比的等比数列. b1 22 22 22 2 (2 1)4(n 1) (2 1)4n 2 22 2

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

故bn

2 (2 1)4n 2 1(2 1)4n 2 1.

10. an与Sn的关系.

Sn,n 1 方法: an S S,n 2n 1 n

可以向an转化,也可以向Sn转化.

例11. 数列 an 的前n项和,2Sn an 1(n 1),求数列 an 的通项公式. an

解法一: n 1时,2S1 a1 1 2a1,解得a1 1 a1

2Sn an

1an

2Sn 11 an 1 ,(n 2)an 1

an an 1 两式相减得 2an11 anan 1,

11 (an 1 ). anan 1

1122平方得 (an ) (a ) 4. n 122anan 1an

1 1 2 2数列 an 是以a 2为首项,4为公差的等差数列。 12 2 an a1

12 an 2 2 4(n 1) 4n 2an

1(an )2 4nan

又 an

2 0 , an 1 2n anan 2nan 1 0

an n n 1

11 an (an 1 ) 0 anan 1

0 an 1

an n n 1.

解法二: 同法一,a1 1. 当n 2时,2Sn an 11 Sn Sn 1 anSn Sn 1

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针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

Sn

数列2 S 是以S2

n

2 Sn 1 1. 212 a1 1的首项,1为公差的等差数列. 2 Sn

又an

当n 1 (n 1) n. 0,Sn 0,Sn n. 2时,an Sn Sn 1 n n 1

当n 1时,也成立.

故 an n 1.

以上是递推数列求通项常见的十种类型及求法,其他类型请具体分析。需要指出的是,都可以用数学归纳法.

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本文来源:https://www.bwwdw.com/article/k45j.html

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