高一物理万有引力定律测试题（一）

高一物理万有引力定律测试题（一）

F?G一．定律内容（公式

Mmr2）及适用条件

例1． 如图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后

R的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是2，求球体

剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.

例1．分析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的球补上.

[解析] 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：

F1?GMmGMm? 22(2R)4RR4R4RM1的小球的质量M???()2????()3??M

43823232?R3半径为

补上小球对质点1的引力：

F2?GM?mGMm ?5250R2(R)2GMmGMm23GMm?? 4R250R2100R2因而挖去小球的阴影部分对质点P的引力：

F?F1?F2?

二.综合运用牛顿定律、万有引力和匀速率圆周运动求解天体的运动的问题 （1）星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法 例2．据报道,美国航空航天管理局计划在2008年10月发射“月球勘测轨道器” (LRO),LRO每天在50km的高度穿越月球两极上空10次.若以T表示LRO在离月球表面高h处的轨道上做匀速圆周运动的周期,以R表示月球的半径,求:

(1)LR0运行时的向心加速度a; (2)月球表面的重力加速度g.

4?2(2)例2.解：(1)由a=rω得a?(R?h)2 ①

T(2)设月球质量为M，万有引力恒量为G，LRO的质量为m, 根据牛顿定律ma?GMm ② 2(R?h)Mm ③ 2R由万有引力定律得mg?G

4?2(R?h)3由①②③得g?④

T2R2

此类题型经常以抛体运动出现：

例3．某星球质量约为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，若从地球表面高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球表面上，从同样高度以相同大小的初速度平抛同一个物体，射程应为（ ） A、10m; B、15m; C、90m; D、360m;

例4．在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t，到某高山顶测得物体自由落体下落相同高度所需时间增加了?t，已知地球半径为R，求山的高度。 （2）卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系 例4．解：在海平面，由自由落体运动规律，有 h?12gt （1） 2GMm （2） R21 在某高山顶，由自由落体运动规律，有h?g?(t??t)2 （3）

2 mg? mg??GMm （4）

(R??h)2R?t T 由以上各式可以得出，?h?

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例5．已知地球半径R ＝6.4×10m，地面附近重力加速度g =9.8 m/s，计算在距离地面高

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为h＝2×10m的圆形轨道上的卫星做匀速率圆周运动的线速度v和周期T.

Mmv2例5．分析：根据万有引力提供其做圆周运动的向心力G求解. ?m(R?h)2R?h[解析] 卫星做圆周运动的向心力是它与地球间的万有引力，即

Mmv2知v?G?m2(R?h)R?hGM ○1 R?hMm?mg得 R2由地球表面附近万有引力近似等于重力，即G2 GM?gR2 ○由○1○2两式可得：

v?gR29.8m/s ?6.4?106?66R?h6.4?10?2?10 =6.9×103m/s

运动周期：T?2?(R?h) v2?3.14?(6.4?106?2?106)?s

6.9?103?7.64×103s

点评：在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换GM ＝ g R 2，使计算变得简单，有些教师称其为黄金代换.

例6．我国预计在2007年4月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设“嫦娥1号” 卫星环绕月球做圆周运动，并在此圆轨道上绕行n圈，飞行时间为t。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g。导出飞船在上述圆轨道上运行时离月球表面高度h的公式（用

t、n、R、g表示）

例6．解析：设月球质量为M，探测器质量为m，引力常量为G，在圆轨道上运行周期为T，由万有引力定律和牛顿第二定律得

Mm4?2G?m(R?h)2 ① 2(R?h)Tt ② nMm探测器在月球表面上时 G2?mg ③

R由题意得 T?22gRt由以上各式得，离地面的高度 h?3?R ④ 224n?题后反思：本题是一道天体运动方面的试题。综合了万有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动等考点，均为主干知识。试题中等难度。本题的亮点是以探月卫星“嫦娥1号”为话题引导学生关注科技进展，关注社会进步，是一道很好的试题。

（3）求天体的质量、密度

例7．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t.试计算土星的质量和平均密度。

例7．解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.

GMm2?2

?m(R?h)()T(R?h)2t n由题意T?4?2n2(R?h)3所以：M?．

2Gt又V?43?R 3M3??n2?(R?h)3得 ?? ?23VGtR例8．把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为1.5×10km，已知万有引

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力常量G ＝6.67×10N·m/kg，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？（结果取一位有

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效数字）例8．[解析] 题干给出地球轨道半径：r=1.5×10km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期

T＝365×24×3600＝3.2×107s

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万有引力提供向心力GMm2?2?m()r r2T4?2r3故太阳质量：M?

GT234?3.142?（1.5?1011）?kg 26.67?10?11?（3.2?107）?2×1030kg

[点评] ○1在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用.如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度g ＝9.8 m/s2；

地球自转周期T=24h，公转周期T ＝365天，月球绕地球运动的周期约为27天等.

2本方法利用的是卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，○

而不是卫星本身质量m，同学们应切记这一点.

3本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运○

算时，只要按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用.

（4）“双星”模型

例9．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统．它们运行的原理可以理解为，质量为M的恒星和质量为m的行星（M>m），在它

C 们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如图所示，我们可认为行

a 星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中行星m 没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；

（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v．

例9．解析： (14分) (1)恒星运动的轨道和位置大致如图． (圆和恒星位置各2分)

(2)对行星m F?m?2Rm ① （2分）

2对恒星M F??M?RM ② （2分） 根据牛顿第三定律， F与F′大小相等 恒星M

由①②得 RM?ma ③ （2分） M行星m a C Mv2Mm对恒星M ④ （2分） ?GRM(Rm?RM)2代入数据得 v?mGM ⑤ （2分）

M?ma

（5）关于天体“解体”的的问题

例10．中子星是恒星演变到最后的一种存在形式．(1)有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转．若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大?(2)蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这

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颗中子星的最小密度．(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(2×10 kg)，试问它的最大可能半径是多大?

GMm43?223

例10．(1)=mRω，M=ρπR，带入得：ρ=（ 4分）

3R24?G3?23?(60?)23143（3分）

(2)ρ==kg/m=1.27×10 kg/m ?114?G4??6.67?10（3）M=ρ

43

πR，所以 3（3分）

3M33?2?10305

R=3m=1.56×10 m ?144??4?3.14?1.27?10

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