高等光学

第一章

1-1试分别解释麦克斯韦方程组（积分式和微分式）中各个表达式的物理意义。

解：?E?dl?????B?d? ①

??t ??E???B?t ② 上式是法拉第电磁感应定律的推广。①式的意义在于磁场能够产生环形的电场。微分式②的意义是电场强度矢量的旋度等于磁感应强度随时间的变化率。

?H?dl?I????D?t?d? ③

??H?j??D?t ④

上式是安培环路定律的推广。积分形式③表明变化的电场产生环形的磁场。微分式④的意义是磁场强度之旋度等于引起该磁场的传导电流密度和位移电流密度之和。

??D?d???????dv?Q ⑤

? ??D?? ⑥

上式是电场高斯定理的推广。积分形式⑤的意义是穿过闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围空间体积内的自由电荷的代数和。微分形式⑥的意义是电位移矢量的散度等于同一处的自由电荷密度。也说明了电场是有源场。

??B?d??0 ⑦

? ??B?0 ⑧

上式是磁场高斯定理的推广。积分式⑦所表示的意义是穿过任一闭合曲面的磁感应通量为0。微分式⑧所表示的意义是磁场中任一一点的磁感应强度之散度恒等于0。也说明了磁场是无源场。

1

麦克斯韦方程组就是以优美的数学组合方式表达了电磁场，这是一种对事物的本质的表达，因此人们在这种数学的确定性中坚信了它的“实际”存在。麦克斯韦方程组所具有的重要的物理学史的意义是，它扩展了人们对物质的认识，形成了新的物质概念和世界观。

1-2 从麦克斯韦方程组出发，导出电磁场在两种电介质分界面处的边值关系。 解：麦式方程组的积分形式为：

?E?dl??ddt?B?dS (1) LS?H?dl?Idf?D?dS (2) Ldt?S?D?dS?Qf (3)

SdS?0 (4)

S?B?1） 在两介质分界面处作一极窄的矩形闭曲线，

把（1）式用于这一闭曲线，

左边??baEcos?dl??cbEcos?dl

??dEcos?dl??acdEcos?dl

?E2?(b?a)?E1?(d?c） ?(E2??E1?)?l

右边??ddt?Bcos?dS?0(设B的方向就S是矩形的围绕方向) 于是，E2??E1?或写成n??(E2?E1)?0 同理，把方程（2）用于这一闭曲线，

左边??Hcos?dl??Hcos?dl??Hcos?dl??Hcos?dl

abcdbcda?1-3 从麦克斯韦方程组出发，导出磁感应强度B在无限大均匀各向同性电介质中所满

足的波动方程。

?H2?(b?a)?H1?(d?c） ?(H2??H1?)?l

???B解：麦克斯韦方程组 ??E???t

右边 If??f?l,于是，H2?dD?dS?0 ?dtS???D??J ??H??t ??D???

?H1???f??(H2或n?H1)??f

2） 在两介质分界面处作一极扁的柱体， 把（3）式用于这一柱体，

??B??0

左边??上底Dcosds??Dcosds??侧下底Dcosds

???D??J出发，给两端同时求旋度 从??H??t????E???J ??(??H)?????t???B将??E???t带入右式得：

=D2n?S?D1n?S =(D2n?D1n)?S

右边 Qf????S,

故得：D2n??(D2?D1)?? ?D1n??或nBcosds??Bcosds??侧同理，把（4）式用于这一柱体，等式左边积分得

???B???J 右边=?? 2?t2?SB?dS??上底下底Bcosds

???2 左边=??(??H)??(??H)??H ????B??H??B?0??H?0 由于且 ?

=B2n?S?B1n?S =(B2n?B1n)?S

推得：B2n

? 左边=??H

2??(B2?B1)?0 ?B1n?0或n2

2波动方程为 ???B??t2???J?=??2H? 1-4 说明电磁场能量密度与能流密度的物理意义，及两者与电场强度矢量和磁场强度矢量的关系。 解：能量密度：单位体积内的电磁场能量，用w表示。

能流密度：单位时间内垂直通过单位横截面积的电磁场能量，方向代表能量的传播方向，又称玻印亭矢量，用S表示。

根据麦氏方程（1.1）和洛伦兹力公式（1.2）可以推导出两者与电场强度矢量和磁场强度矢量的关系。推导如下：

? ???E???B ???t ?? ?D ?????H?J?? (1.1) ??t??????E ??????????B ?0?? F?qE?qv?B (1.2)

根据（1.2）得

f?v???E??v?B??v??v?E?J?E （1.3）

用（1.1）中第二项得

J?E?E????H??E??D (1.4)

?t根据矢量分析公式得

E ????H ??????E ?H ??H ????E ?????E ?H ??H??B ? （1.5） ?t将（1.5）代入（1.4）得

J?E?????E?H??E??D?B （1.6?t?H?）

?t

3

根据能量守恒定律的微分形式

??S??w??f?v （1.7）

?t比较（1.6）与（1.7）， S?E?H (1.8) 以及能量密度变化率 ?w?H??B?E??D （1.9）

?t?t?t在真空中，有H?1?B,D??0E,

0则 S?1E?B (1.10)

?0w?1?212???0E??B2?? (1.11) 0?在线性介质中，有D??E，B??H,则通过对介质中场能量的改变量?w积分，

?w??E??D?H??B? (1.12)

得

w?12?E?D?H?B? (1.13) 式（1.10），（1.11）表示电磁场能量密度和能流密度分别与电场强度矢量和磁场强度矢量在真空中的关系，（1.13）表示电磁场能量密度与电场强度矢量和磁场强度矢量在线性介质中的关系。

1-5 已知电场E和磁场H在直角坐标中的分量分别为：

试求电磁场的能量密度w及玻印亭矢量S。 解：错误！未找到引用源。

电磁场的能量密度错误！未找到引用源。 玻印亭矢量：错误！未找到引用源。

1-6 设某一无限大介质中，ρ=0，σ=0.ε，μ只是空间坐标的函数，是从麦克斯韦方程和物质方程出发证明：?2E?????2E???(ln?)?(??E?)??[E???(ln?)]?0

??证： 由 ???(r) ，

???(r)

D???E??? 及

,B??H

则

??D?????E?????E?????E? ?又麦克斯韦方程 ??D?0

有??E??????E?

????(ln?)?E?

取麦克斯韦方程组微分式第一式的旋度

??(??E?)????

?t(??B)

则 左边 ??(??E?)??2E????[?(ln?)?E?]??2E?

右边 ?????t(???H)

????t(???H?????H?)??????DB?t(??t?????) ??[???2E???t2??(ln?)??B?]???2?t??[E??t2??(ln?)?(??E)]

又 左边=右边 即

??[(ln?)?E?]??2E???[???2E???t2??(ln?)?(??E)]若

E??E??iwt0e 则

?2E?????2E???(ln?)?(??E?)??[?(ln?)?E?]?

0

得证。 1-7 从麦克斯韦方程组出发导出电磁场在有色散的非均匀介质中所满足的亥姆霍兹方程。

解： 对于非均匀各向同性介质，???（r?）?，u?u??0，而D??(r)E

麦克斯韦方程组：

????????tD????????D 其中 ????

?t??D?0J?0????0???????????t 两边取旋度得 ????????????t?0 ????????t 两边取时间的微商得2

???????t???t2?04

???????????2??t2?0

??D??????????????????0根据 ??????????????2?

?

????????1????????2???????????2???????0 （a） ???t2同理:

?????0????0

???????????D?t??2????t?????????t???????????????t????D???

??????t????????D?t????2??????????2??t2??????t2 得：

?2H????(??H)?????2H?t2?0 (b)

或 ?2?????(???)?????2??t2?0

E?对于色散介质，(r?,t)?E?(r?)e?i?t，?(r,t)??(r)e?i?t，分别代入（a），（b）式并消去时间

因子，可得

5

?2E?r???(???E?r??)??u?2E?r??0

?2E?r???(???E?r??)??2E?r??0?2B(r)????(??B(r))??k2B(r)?0

综上，电磁场在有色散的非均匀介质中所满足的亥姆霍兹方程为

?2E?r???(???E?r?2?)??E?r??0

?2B(r)????(??B(r))??k2B(r)?0

第二章

2-1:一个平面电磁波表示为Ex=0，E??1014??z??y=2cos??2??c-t????2?，E?z=0，问：（1）电磁波的频率、波长、振幅、原点初相位各是多少？ （2）电磁波的传播方向和电磁场强度矢量的振动方向如何？ （3）与电场相联系的磁场B是多少？ 解：

（1）平面电磁波E=Acos[2?v??z?c-t?????] 对应A=2，v=10

14Hz，???2，??3?10-6m。

（2）波传播方向沿Z轴，电矢量振动方向为y轴。 ?（3）B与E?垂直，传播方向相同，

?By?Bz?0

B???E??z???xy?CEy?6?108cos??2??1014??c-t???2?

?2-2 有一矢量光波，其电场强度表达式为

?^ E?????x^02?y?02?^z0???exp??2i??3?104t?10?x?y?z???试求其偏振方向、行进方向、相位速度、振幅、频率及波长。?? 解：沿r方向传播的平面波 E=E-i??t-kr?0e

?偏振方向：

???1,?1? 行进方向：（1，1?，12）

2,1?? 相位速度：v=

?6??1043k??20??2?3?10?m?3s?

22 振幅：

??1??2?????1?6v?2???1?2?m?

频率：?2??2??3?1042??3?104Hz 波长：

2??2?k??2?20??2?320?3?330m 2-3 已知一单色平面波可以表示为：

E(x,y,z,t)?100exp??i2???16?103t??2x?3y?4z????试求该平面波的单位波矢量k?0。 解：已知平面波的电场强度矢量可表示为：

E(r,t)?E0exp??i??t?k?r???E0exp??i2???tT??fxx?fyy?fzz????

与E(x,y,z,t)?100exp??i2???16?103t??2x?3y?4z????比较，

可得：fx?2,fy?3,fz?4

?cos?于是??fx???2,fy?cos???3,fz?cos???4

??cos2??cos2??cos2??1解上面的方程组，得：cos??429,cos??929,cos??1629

故平面波的单位波矢量为 k?0?cos?i??cos??j?cos?k? ?429i??929?j?16?29k

2-4 单色平面波的振幅为A,波长为633nm，方向余弦为

cos??13,cos??23，

cos??23，试求其空间频率及在平面z?0上的复振幅分布。

解：1）求空间频率

已知 ??633nm,cos??13,cos??23,cos??23

可求得

f13cos?23cosx?cos???633nm,f?23y???633nm,fz???633nm

6

所以

f??f223?109x?fy?f2z?1/2?1899m?1?1.6?106m?1

2）平面z?0上的复振幅分布

复振幅可表示为

E(x,y,z)?E0exp?i2??fxx?fyy?fzz?? ?E0exp?i2??fxx?fyy?? …….....z?0

??1092?109? ?Aexp?i2?????1899x?1899y????????

?Aexpi2?5?105x?1?106y??2-5 波长为500nm的单色平面波在xy平面上的复振幅分布为

E(x,y)?exp[i2?1013?(x?1.5y)]（空间频率的单位为mm?1），试确定平面波的传播方向及

空间频率和空间圆频率。 解：E(x,y)?exp[i2?1013?(x?1.5y)]

=cos[i2?1013?(x?1.5y)]

?cos??2??1013x?1013?1.5y??? （1）

对照波函数的空间表示为：

E?r,t??E0cos??2??fxx?fyy?fzz?vt???0?? （2）

得出空间频率：

f13x?1?10mm?1 ，

fy?1.5?1013mm?1，

fz?0

所以，方向为：（1，1.5，0）

7

? 空间频率：

f?(i?1.5j)?1013mm?1

所以空间频圆率为： w?2??f??12.56i?18.84j??1016mms

2-6 推导单色平面光波的平均能流密度表达式，说明光强度的物理意义。 解：介质中的振幅比

将上式（1）带入错误！未找到引用源。得：

错误！未找到引用源。 （2）

将错误！未找到引用源。代入上式(（2）得瞬时能量密度

错误！未找到引用源。 （3）

推出

错误！未找到引用源。（4）

又将错误！未找到引用源。带入错误！未找到引用源。得： 平面光波的能流密度：

错误！未找到引用源。 （5）

将（4）代入（5）得：平面光波的平均能流密度：

光强度的物理意义：光源在某一方向立体角内之光通量大小。

2-7 证明：柱面波的振幅与柱面波到波源的距离的平方根成反比。

证：当介质均匀时，场矢量在柱坐标系（一个振幅相同且无限长的线光源发出的光波场，其等相面和等振幅面均为对称于轴线的圆柱面，故研究柱面波宜采用圆柱面坐标）

??下与垂直于z轴的平面上的各r的方向相同，故横向关系仅与r有关而与θ

无关。

由圆柱对称下的拉普拉斯表达式：

??2??2?r?1??2 ?2?r??r???z2

代入亥母霍兹方程：

?E?(r?,z)?k2?? E(r,z)?0

即：(?2?r?2?1?r???2??2??r???z2)E(r,z)?kE(r,z)?0

?2E?(?r,z) 由于振幅E0 是沿z轴缓慢变化的，略去

?z2项，(P21)则亥母霍兹方程化为： ?2??1?E(r?)???r?2E(r)?r??r??k2E(r)?0

当r?足够大时，其解有如下两种可能形式：

E??(r?)?E0ik?r re

E??(r?)?E0e?ik?r?[E??(r?)]? r

E0 从中可以看出，振幅r与

r成反比关系，得证。

2.8 设激光辐射的能流密度为1w/cm2

，问辐射波的电场强度矢量的振幅为多少？ 解：瞬时能量密度为：

w?r,t?????r,t?2?12??20?1?cos??2??t?k?r???? (1)

相应的在一个周期内的平均值为：

TTw?r,t??1T?w?r,t?dt?12T??2?1?cos?2?t?k?r??dt?1??20000?????2 (2)

平面光波的能流密度的表达式为：

S?1?????k??? 应用??1??k?? ???k, 得：

S?W?1211?2??2?E0???2?E0 (3)

对于光频波的及非铁磁介质：?2r?1，?r?n，

通常把平均能流密度称作光波强度，并以I表示

I?S?12c?nE2?E200 (4) 0在同一介质中只关心光强度的相对分布时，上式中的比例系数可以不予考虑，此时，往往把光的强度I以相对强度表示，即写成电场强度振幅的平方:

I?E20 E0?1cm 2-9.已知空气在电场强度E≈360V/cm时开始电离。假设平面电磁波的频率足够低，问波的能流密度达到什麽值时，空气开始电离？

S?1??E??12k解：平面光波的能流密度表达式：??E????E，其中k

又??2??，由题知电磁波的频率足够低，所以??2??可以忽略不计。

???0?r，在非铁磁质中：?r?1，?0?4π?10 -7H/m

由题知E?360V/cm，得出s=1.03?10-7

J/m2?s

??488nm8

z?z1 2-10一个氩离子激光器输出的波长为 的高斯激光束总功率为 ， 在 带入数据得： P?100mWout平面上光束半径及波面曲率半径分别W 1?1mm和R1?5m。试求：该高斯光束束腰的位置，束腰半径及z?z2(z 12?2m)处的E2?R2?表达式。

解：在高斯球面波中

2R?z?z?1??z1??1?0?W?z1??W?0?z21???1??z2z2?0??1????z?z1??W21??arctan??z0n?z?0?0???

将

??488nmw1?1mmR1?5m代入上式得：

z3.11mz2.41mw?41?0?0?6.12?10m

z2?z1?2?5.11m则高斯光束的束腰位置z=0处，束腰半径为 w?0?6.12?10?4m高斯球面波中表达式为： 其中

A?r?,z??A0W?z?exp?????r2?W2?z??????exp?i??kr?2???2R?z????z?????R?z?z20?2??z2??W?z2??W???1?z2??z202???6.24m?1?2??3z2????1.43?10m0??z2??arctan???z2???z??1.1320?P??out??0Sd??1E2d???0高斯光束总功率为 2c?0????A204c?exp ?2r??w2?z?|00又 A0?6.93得

Pout?100mw2-11 已知某介质对几种单色光的折射率分别为：1.517（656.3nm）、1.511（486.1nm）、1.509（589.3nm），试由柯西公式计算该介质的色散曲线方程。

解：由柯西公式：

9

解出A、B、C即可

2-12 证明：光波在折射率为n的色散介质中传播时，其群速vg?cn??(dnd?)。证明：由（2.3.40）式，即 cnv?g1???dn?n??dnd? nd?得: v?ccgn??dn?dnd? d?n??d??d?

根据圆频率?、波数k（波长?）及相速度vp之间的关系：

??kv2?cp?2??vp??n

d?d???12?c2?c?2?n??n?2 所以

vcg?n??dn2?c1

d??n(??2)

?cn??2?cdn

n?2d??c

n??dnd?得证。

2-13 试计算下列各种情况下光波的群速度： (1) n?A?BC?2??4 (正常色散介质中的希色散公式)；

(2) w2?w22c?c2k （波导中的电磁波，wc为截止圆频率）；

(3) v??p?2???g?4?2T??2?? (v?p为液面波的相速度，g为重力加速度，T为表面张力，?为液体密度)。

解：（1）由n?A?B?C?2?4可知，

dnd???2B4C?3??5 将上式代入公式：vc?g?n??1??n?dn?d???

有，vc?g?n??1?2Bn?2?4C?n?2?? （2）由w2?w22c?ck2可知，

dw?c2kdkw222 c?ck

10

将上式代入公式：vg?dwdk 有：vg?c2kw2?c22

ck (3) 由v??p?2??g?4?2T??2??可知， ??v?g2?p?

2??T??dv

pd??g2??2?T?2? 将上式代入公式： vdvpg?vp??d?

有，vg?v?g2?Tp?2??4?T?????

2-14 设有两个同频率、振动方向正交且相位差为错误！未找到引用源。的平面偏振光波沿同一方向传播，其瞬时振幅矢量大小分别为错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 。证明：两光波叠加所得的合振动矢量末端的轨迹满足方程：

解：错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。分别除以错误！未找到引用源。

得：

错误！未找到引用源。 ①

②

①式乘以错误！未找到引用源。减去②式乘以错误！未找到引用源。得：

错误！未找到引用源。 ③

同理，①式乘以错误！未找到引用源。减去②式乘以错误！未找到引用源。得：

错误！未找到引用源。 ④ 三式的平方加上四式的平方得：

上式中，右式错误！未找到引用源。 左式

2-15设有一强度为I0的平面偏振光波先后通过一λ/4波片和一偏振片，已知其入射

时的偏振面与波晶片的快轴夹角为45°，偏振片的透振方向平行与波晶片的慢轴，试

用琼斯矢量求出透射光波振幅、强度以及该系统的琼斯矩阵。

解：假设入射光是一个偏振面与水平方向夹角为45°的归一化线偏振光，则其琼斯矢量为：(P33)

E?1?1?i?

2??1??

那么再假设波片的快轴与x轴平行（快轴沿竖直方向），则透射光琼斯矢量为（P34-(5)及2.4.23式）：

E??E?i?1?10??1?1i??1?t1?J1i?e4??e4

2?0?i????1???2???i?? 这时有偏振片的透振方向与y轴平行(竖直方向起偏)，最终透射光琼斯矢量为（P34-(2)及2.4.23式）：

11

???1i?E?00??1?1i??0?t2?J2Et1?e4??e4

2?01?????i??2???i??

1它的振幅为

21，强度为2，系统的琼斯矩阵为：(P34：

J??J???NJN?1???J1)

J??J??i??10??00?i??00?1J2?e4?

?0?i????01???e4??0?i??

2.16 说明琼斯矢量分别为??1??i??1?i?3的光波的偏振态，??，????1?，???1?i?求出相应矢量的正交琼斯矢量，?并描述其偏振态。 解：光振动矢量??t?沿两个坐标方向的投影分量分别为?x?t?和?y?t?，则以琼斯矢量表示即

??t???x?t?x?t?y???x?t??0??y?0?????

?y?t???振动矢量与x轴的夹角为?，tan???y??3 x所以其偏振态为与x轴夹角为60度的线偏振光

其正交琼斯矩阵为???3??1?，其偏振态为与x轴夹角为150度的线偏振光

?由:ei??cos??isin?

12

知 ?i??ei?2????1???? ，所以其为左旋圆偏振光。其正交琼斯矩阵为?1?????e????i?

i??其为右旋圆偏振光。

??1?i????2?e?i?4??e?i?4???，其为左旋圆偏振光。其正交琼斯矩阵为??1?i???i???i?? ?e4????e4??为左旋圆偏振光

2-17.解：设入射光偏振态E1???A?1??，出射光偏振态?BE?A2?2??1????B?2? ?（1）各向同性相位延迟器

A?2?A1eiBi?2?B1e ，偏振器的特性可用2*2的矩阵即琼斯矩阵来表示，所以E?Ai?2??e0??A1??ei?0?2????B?2??????0ei??????B?即J??1???0ei??

??（2）透光轴与x方向成?夹角的起偏器： ①首先将A

1B1投射在透光轴上得：A1cos??B1sin?②

再投

射

到

x

、

y轴

上得：

AoB2122??A1c??1ss??ic?no?A1cs?o?2Bs1s?i n

B2??A1cos??B1sin??sin??1sin2?A221?sin?B1

?1?Acos2?1sin2??2?????cos2?③E2sin2???2???B????2?A11??1???所以J???

2?sin2?　sin2???B1??1?2????2sin2?sin2????(3)快轴与x方向成夹角时的1/4波片：

设波片快轴与x轴成角，产生相位差为?，则入射偏振光在波片快慢轴上的分量为：

??A??A1cos??B1sin?，即?B???A1sin??B1cos???A???cossin????B????????sin?cos????A1??B?

1?从波片出射时，考虑快慢轴上分量的相对相位延迟，则

???A'??A??即??B'i??A'???10??A????B?e??B'????0ei??，将两分量在x轴y轴投影，得 ???????B????''?A'?A2?A?cos??B?sin?2??cos??sin???A????B2?A'?sin??B' ?????cos??B2??sin?cos??????B'?,

?????A2??cos??sin???sin???A1??B???2??sin?cos????10??cos??0ei??????sin?cos?????B? 1??1?itan?cos2??itan?sin2??所以，I?cos??22?i?2?e2在题中，??? ???45????itan?sin2?1?itan??，22cos2??2?I?1?1?i?i?21?i?2?1?i???i1??e?2???i1?

?

第三章

13

3-1 单色平面光波以30°角入射到空气和火石玻璃（n2=1.7）的分界面，试求电矢量垂直于入射面和平行于入射面分量的强度反射率Rs和Rp。 解： 根据斯涅耳定律

n1sin?1=n2sin?2

代值计算得?2?17.1°

再根据菲涅耳定律

rs?-sin???1-?2?sin??-0.3

1??2?r1-?2?p?tan??tan???0.2

1??2?R2s?rs?0.09

Rp?r2p?0.04

3-2. 设光波自两种不同介质分界面两侧垂直入射时的振幅反射比分别为r与r’,证明：r与r’及振幅透射比t与t’分别满足关系：r=r’,tt’=1-r2。

证明：

?光波垂直入射介质 ?rn22-n1s?n1-n r’s?n

1?n2n2?n1rn1n1-n2p?n2-n r’p?n

1?n21?n2 t2n1s?n t’2n2s?

1?n2n1?n2 t2n1p?n t’2n2p?1?n2n

1?n2

?r-r’’ ?r?-r’s?s rp?-rp

又t’4n1n2sts=

?n?2

1?n221-r2?n1-n2????1-n21-2n1n2?n22s?1-???n1?n2?n2?4n1n2

?1?n2??n1?n2?2?t2st’s?1-rs

同理可证tt’pp?1-r2p

得证t?t’?1-r2

3-3 有两种不同介质，其介电常数?1、?2和磁导率?1、?2各自相等，即?1=?1，?2=?2且

?1?1，?2?1。试证明：当光波垂直自介质1向介质2入射时，其振幅反射比等于零。

证明：设两种介质的分界面为z?0(即xy)平面，光波入射面为y?0(即xz)平面，入射角（反射

角）和折射角分别为?1和?2。将电场强度矢量E和磁场强度矢量H各分解成两个正交分量，即振动方向垂直于入射面的s分量和平行于入射面的p分量。

14

根据课本中已推导出的反射波与入射波的电场强度矢量振幅比（3.1.20a）、

E'1sa1cos?1?aE?2cos?2（3.1.20b）式：

1sa1cos?1?a2cos?2E'

1p?1?a1cos?2E?a2cos1pa2cos?1?a1cos?2其中 a1??1?1,a2??2?2

由题知光波垂直入射时入射角（反射角）??1=0，

折射角??2=0，a1?1,a2?1。

代入上面两式中计算可得： E'1sE?0,E'1p?0 1sE1p故可证其振幅反射比等于零。

3-4 一单位振幅的单色平面波，垂直入射到两种折射率分别为n1和n2的透明介质组成的分界面上。

（1）利用边界条件，求出振幅反射系数r与振幅透射系数t； （2）由能量守恒写出联系r与t的关系式。

解：（1）根据电磁场的边界关系，有

??n??(E?1?E1')=n??E2 （1） ??n??(H1?H1')=n??H2分别以x?0、y?0、z?0表示3个坐标轴方向单位矢量，则n??z?0，于是上式可化为 ??'?'?(E1x?E1x)y0?(E1y?E1y)x?0?E2xy?0?E2xx?0??(H'1x?H1x)y?'（2） 0?(H1y?H1y)x?0?H2xy?0?H2yx?0??E?E?1x1'x?E2x?E1y?E'即：??1y?E2y （3）

??H1x?H1'x?H2x???H1y?H1'y?H2y根据平面光波电磁矢量振幅间关系 H?(??)E，并根据s分量和p分量与场坐标分

量之间的投影关系，将上式化为：

????'?cos??E1p?E1p???1?E2pcos?2??E?E'?1s1s?E2s （4） ??a1(E1s?E'1s)cos?1?a2E2scos?2???a1(E1p?E'1p)?a2E2p始终参数a1??1?1,a2??2?2 解此方程组可得如下反射波、折射波与入射波的电场强度矢量振幅比：

rE'acos??acos?E'1pas?1s11222cos?1?a1cos?2E?1sa1cos?,r1?a2cos?2p?E? 1pa2cos?1?a1cos?2tEs?2s2a1cos?1E2p2a1cos?1E?1sa1cos?1?a2cos?,t2p?E?1pa2cos? 1?a1cos?2a对于一般非磁性介质，???0，因而

1a?n1，由已知条件：有?2n21??2?0

代入上式有，

15

r?n1?ns2n?n

n,r1?n2p?21n1?n2 ts?2n12nn1?n,t?12pn1?n2即，

振幅反射系数：r?r2ns?r2?np?212 n1?n2 振幅透射系数：t?ts2?tp2?22n1n 1?n2（2）以RS和TS分别表示s分量的强度反射率和强度透射率，RP和TP表示p分

量的强度反射率和强度透射率，由菲涅耳公式和光强度的定义可得：

????Tn22s?R2??s?rs?nts1?Tp?n2t2p ??Rp?r2p ??n1 （1）

其中，

???Rws?Rs???Tws?Ts ??Rwp?Rp ??Twp?Tp（已知光波垂直入射） （2）

光能流反射率与透射率满足能量守恒定律，即

???Rws?Tws?1??R （3） wp?Twp?1

n2nt2s?r2s?1整理得，

1n

2t22n11p?rp?n即，

2t2?r2n?2 1

3-5 一单色平面波以30度角从空气射入K9玻璃（n=1.52）。如果换成ZK9玻璃（n=1.63），欲使其与K9玻璃的折射角相等，问应以多大角度入射？

解：因为两个折射角相等，所以设折射角为错误！未找到引用源。，入射角为错误！未找到引用源。。在K9玻璃中 错误！未找到引用源。① 在ZK9玻璃中 错误！未找到引用源。② 将一式与二式联立整理化简，

于是解出入射角为错误！未找到引用源。。

3-6 振动面位于入射面内的线偏振光，以30°角从空气投射至一块K9玻璃板（n=1.52）上，试求在

玻璃表面上的振幅反射系数与振幅投射系数。

解:由于入射光为线偏振光，则反射光波和透射光波也为线偏振光。已知空气折射率n1=1,K9玻璃

16

板的折射率n2=n=1.52,线偏振光入射到这两介质交界面时，其布儒斯特角：

?n2B?arctan()?57? n1

若振动面位于入射面内的线偏振光以布儒斯特角入射，则反射光强度为零，即全部透射。

而以?1?30?入射时，由于

?1小于?B,可知此时反射光的强度并不为零，n1sin?1?n2sin?2且入射光、反射光及折射光满足折射定律：

和菲涅尔公式：

'r1s?n1cos?1?n2cos?2sin(?1?s?EE1sn???2)1cos?1?n2cos?2sin(?1??2)

rE'1pp?E?n2cos?1?n1cos?2tan(?1??2)1pn?cos??2cos1?n12tan(?1??2)

E2s2n1cos?12sin?2cos?1ts???E1Sn1cos?1?n2cos?2sin(?1??2) E2p2n1cos?12sin?2cos?1tp???E1Pn1cos?2?n2cos?1sin(?1??2)cos(?1??2)

?x??2x?1x??1?y??2y?1y??1?x??2x?1x??1?y??2y?1y??1

将?1?30?，及查表得出的??2?19代入，查表得此线偏振光的振幅反射系数与振幅透射系数分别为：

rs??sin11?sin49???0.25r49??0.17

p?tan11?tan

t?s?3sin19sin49??0.75tp?3sin19?sin49?cos11??0.76

3.7 从菲尼尔公式出发，讨论自然光自光密介质

1进入光疏介质2时，在分界面上的反射和透射规律，

已知两种介质的折射率分别为n1?1.5，n2?1，画出振幅反射比与振幅透射系数随入射角的变化

曲线。

由边界条件可知；

17

考虑到平面光波电磁矢量振幅间的关系???????，并根据s分量和p分量与场

的坐标分量之间的投影关系，?1x??pcos?1,??1x???pcos?1,?y??s 可将上式化简为：

??1p???1p?cos?1??2pcos?2?1s???1s??2sa1??1s???

1s?cos?1?a2?2scos?2a1??1p???1p??a2?2p式中取参数a1??1?1，a2??2?2，对一般非磁性介质，???0，因而，a1a2?n1n2。解此方程可得如下反射波，透射波与入射波的电场强度矢量振幅比：

r??1sn1cos?1?n2cos?2sin??1??2?s???n?? 1s1cos?1?n2cos?2sin??1??2?r?1p??p?n2cos?1?n1cos?2tan??1??2??1pn? 2cos?1?n1cos?2tan??1??2?t?2s2n1cos?12sin?2cos?1s????

1sn1cos?1?n2cos?2sin??1??2?t2p12sin?2cos?p????2n1cos?1pn??1? 1cos2?n2cos?1sin??1??2?cos??1??2上述四式就是反射光波电场强度矢量，透射光波电场强度矢量与入射光波电场强度矢量之间的振幅比及相位关系。

3-8从菲涅尔公式出发，讨论光波在两种介质分界面处发生反射和投射时的相位变化特性。 解：由公式3.1.21菲涅耳公式：

??E'1ssin(?1??2)?E'?r1ss??sin(?1??2)??E'1ptan(??E?r??1??2)'1pptan(?1??2)?E2s2sin? 2cos?1??E?ts?1ssin(?1??2)?E2sin??2p2cos??E?t1p?1ssin(?1??2)cos(?1??2)（1） 外反射时（即由光疏介质进入光密介质时的反射）

18

① 任意的入射角?1，rs＜0，而ts，tp＞0，即s分量在反射过程中出现半波损失，透

射过程中没有半波损失。p分量在透射过程中没有半波损失，其反射情况的相位变化较为复杂。

②掠入射、垂直入射时，s分量、p分量在反射过程都有半波损失。 （2） 内反射时（即由光密介质进入光疏介质时的反射）

在较小入射角时，内反射时的反射光波的相位特性与外反射时相反，而透射光波的相位特性与外反射时相同，即反射过程、透射过程s分量、p分量均没有半波损失。 3-9说明单色平面光波在两种介质分界面上反射和透射时，透射光波的强度透射率和能流透射率的意义及关系。

答：透射光波的强度透射率：即透射光强与入射光强的比值，s分量和p分量分别表示

透射s为：

Ts=II入射s,

Tp=I透射pI入射p。

透射光的能流透射率：即透射光能流与入射光能流的比值，s分量和p分量分别表示为：

TI透射wsws=I入射ws,

T透射wpwp=II入射wp。

二者关系：由于透射光束与入社光束的横截面积比等于折射角的余弦与入射角的余弦之

比

cos?2

cos?，所以光的强度透射率等于光的能流透射率属于折射角的余弦与入射角的余

1

弦的比值。

即：Tws?cos?2cos?Ts， Twp?cos?2?Tp 1cos13-10 一束波长为500nm的平面光波，以45度角入射到空气与相对介电常数为2+i0.6的介质的分界面上，试求：

（1）光波在该介质中的方向（折射角） （2）介质的消光系数和衰减系数 （3）该光波能否通过10μm厚的介质层 解：知负折射率的形式：

由题可知： 所以：

折射率

(1)由几何光学中的折射定律：

将

带入得：

(2)所以K=0.147 （3）由穿透深度：

当垂直入射时，入射光波电场 的振幅将衰减到入射点e-1倍，所以：

所以，不可穿过。

19

3-11 下图是一个偏振分光束器，它是由两块高折射率的指教玻璃棱镜胶合而成，胶合面上交替镀有两种不同折射率的薄膜多层。当自然光从棱镜一边垂直入射时，器两个正交分量将在胶合面处被分开，这样便可获得两束振动方向正交的平面偏振光，试分析其分光原理。

解：由于胶合面处是由两种不同折射率的玻璃棱镜胶合而成，当自然光从光疏介质射到光密介质时，根据布儒斯特定律知道，自然光以布儒斯特角入射时，反射光是垂直于入射面的线偏振光，折射光是部分偏振光，并且两者垂直。折射出的部分偏振光在多层薄膜上经过多次反射和折射之后，最终反射光是垂直于入射面的线偏振光，折射光式平行于入射面的线偏振光，且两者垂直。

3-12 讨论全反射时倏逝波的穿透深度与古斯-汉斯位移的关系。

解：倏逝波的存在表明发生全反射时，入射波的能量并非在严格的界面上反射，而是穿透到介质2一定深度后逐渐反射的，对于有限截面电磁波入射，发生全反射时，反射波相对于 在距离界面z?dz?K?1处，在距离dz作为倏逝波存在的介质层厚度，称为倏逝波

的穿透深度，其大小可表示为

d11z?K???1，

k1sin2?1?n2122?sin2?1?n212S分量和p分量的古斯-汉森位移大小：

??1tan?1s???sin?2

1?n21??1?tan?1p?n2?n2??s? 21sin2?121n21根据倏逝波穿透深度的定义，可以将以上两式化简为：

?s?2dztan?1

?dzp?2ntan?1 21由上式表明，古斯-汉森位移与倏逝波的穿透深度有关，或者说两者之间存在这内在的联系。实际上，如果我们假设发生全反射时，光波的反射点不是在两种介质的分界面上，而是在介质2中距离界面dz处的一个假想平面上，则相应的反射光波在界面处相对于入射光波将有一个大小为：

??2dztan?1

3-13 试设计一个观察全反射倏逝波的实验装置光路。

解：全反射： 光由光密（即光在此介质中的折射率大的）介质射到光疏（即光在此介质中折射率小的）介质的界面时，全部被反射回原介质内的现象。

全反射时，光波不是绝对在界面上被反射回第一介质，而是透入第二介质大约一个波长的深度，并沿着界面流过波长量级距离后重新返回第一介质，沿着反射光方向射出。这个沿着第二介质表面流动的波称为倏逝波。倏逝波离开表面的衰减是呈指数形式的。

20

全反射光路图

我的设计是：在此半圆镜面上刻上精细的刻度（以中线为九十度，直径方向左右均为零度），然后将光沿半径方向入射，由于全反射出射角度与入射角度是一样的，由于倏逝波的出现，出射角度与入射角度会出现差别，这样就可以确定倏逝波的存在了。

??

3-14 证明：当入射角1?45时，光波在任何两种介质的分界面上反射都满足

rr2

p?s

证：rp,rs分别为反射波电场强度垂直入射面和平行入射面的分量与入射波的振幅比，已

知?1?45?，则

sin?21?cos?1? 2

根据折射定律

?2?z?t????2??? ?1?1T2?0?t?T??t2??

对上式做傅里叶变换，其常数部分为： a1T21111 0?T??Tz?t?dt????1?2T2T2余弦函数部分为：

a2T21? T??Tz?t?cosn?0tdt2计算得： a?2T2? T?02??1?2Tt?1??cosn?0tdt 即： ?4n?n2?2sin22 ?4 a?n?1,3,5,L1?? ?n2?2?0n?2,4,6,L得到： z?t??14?12????cos?1?20t?32cos3?0t?52cos5?0t?L??

6-17 设某光源发出的两条谱线均为洛仑兹型，谱线宽度分别为△

v1和△v2。求和谱线的线型及宽度。 洛仑兹线型的功率谱密度函数为：

g?v??2???v?-1??v1???2v-v20??2??1???v?2 （1）??v??2????v-v20?对其做傅立叶变换得到其自相干函数

46

?11????u?p1，t???u??p1，t???g?v?exp?-i2?v??dv

（2）

其复相干度为

?????exp?-??v??exp?-j2?v0?? （3）

对于谱线宽度为△v1和△v2，其自相干函数分别为：

?11?????g?v?exp?-i2?v??dv （4） ?22?????f?v?exp?-i2?v??dv （5）

根据傅立叶变换公式：

F??1??-at?x2?a2???ae （6） 得：

F?g?v???exp??-?v1t??2??

F?f?v???exp???vt??-22??

则：

????v1??v2?t?? F?g?v???F?f?v???exp????-??2????对其作傅立叶逆变换得：

????v1??v2?t???v1??v21 h?v??F-1?exp?-????222???????v1??v2?2????v-v0?2??可见，合谱线的线型依然为洛仑兹线型，谱线宽度为两者之和。

47

n1sin?1?n2sin?2

得：

n1sin?2sinn???2?2sin?22sin?12

2

由菲涅尔公式，并将 sin?1?cos?21?

2

代入，化简 可得:

r?E '1sncos?1?n2cos?E?12s1sn1cos?1?n2cos?2?(n1cos?1?n2cos?2)2n221cos2?1?n22cos?2(n1cos?21?cos?2)?n2(n1n)2cos2?21?cos?2

2(sin?2?cos?2)2?sin2?22?cos?2?1?sin(2?2)cos(2?2) r2[1?sin(2?2s?2)]

cos2(2?2)

rE'1p2cos?1?n1cos?2p?E?n1pn2cos?1?n1cos?2?(n2cos?1?n1cos?2)2n2cos2??n22211cos

?2(cos?n121?cos?2)?n2cos2?n121?(n)2cos?22(2?2sin?2cos?2)2?21

2?2sin2?2cos2?212?2sin?2cos?2?2sin2?2cos2??212(1?4sin2?2cos2?2)1?2sin(2?2?2)?sin(2?2)1?sin2(2?2)[1?sin(2?2?2)]cos2(2?2) 由此可得

r2p?rs得证。

21

3.15 证明，全反射时倏逝波沿界面法线方向的平均能流密度Sz?0，而沿界面方向的平均能流密

度

Sx?0

倏逝波：

????i?0ee?i?

??e?i?pe?i?x??pcos???0pcos

??i?y??s??0sese?i? ??i?pz???psin????0psin?ee?i?

??x???pcos????0scos?e?i?se?i?? ??p?i?y????is??0p?ee ?z??psin????0ssin?e?i?se?i?? 其中 ???t?k?r ?为全反射发生时，透射光电矢量的平行分量，垂直分量的相移。

ijkS??????x?y?z????y?z??z?y??i???z?x??x?z?j????x?y??y?x??k?x?y?z

S2x?c1cos??t?kxsin???1?

22

Sz?c2cos2??t?kxsin???2?

c1，c2为与时间无关的量，它由描述光波的参数确定。?为与时间无关的相位项。

求平均能流密度为：

S1Tx?T?0c1cos2??t?kxsin???1?dt?0 S1Tz?T?0c2cos2??t?kxsin???2?dt?0

3-16为把光束引入光波导，常采用棱镜耦合器。在棱镜底面与作为波导的薄膜上表面之间保持很薄的空气层，其厚度约为?/8~?/4。若使激光束到达棱镜底边时发生全反射，则由于倏逝波的存在，激光束的能量可进入薄膜中。已知

np?2.30，no?2.21，?3?68。，问棱镜的?角必须大于多少？

解：设从空气入射到棱镜斜边的入射角为i，空气中的折射率为： n1?1

npsin?1?n0sin?3 ①由题知：np?2.03,n0?2.21,?3?68o代入①式得：

?1?63o ②??90o?r?(90o??o1)?180?a??1?r ③npsinr?n1sini?1?r?26o ④将②④代入③得出：

??37o

即：棱镜的?角必须大于37o

3-17有一光学系统由两片分离的透镜组成，两透镜的折射率分别为1.5和1.7，求系统的反射光能损失。如果透镜表面镀有增透膜，使反射率降为%1，问该系统的光能损失又为多少。 解：此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为：

R???n?1?2?1.5?1?211??n1?1??????1.5?1???0.0422?1??R??n1?1?2???n???1.51?1?1??????0.04?1?1.5?1???R3?R4?0.067

得出光能损失为： ???1?R1??1?R2??1?R3??1?R4??0.802损失为20%

若反射率降为1%，则 ?'??1?0.01?4?0.96损失为4%。

3-18在折射率为1.5的玻璃上镀折射率为2.0的单层膜，入射光波长λ=500nm，求正入射时能给出最大透射率和最小反射率的膜厚 布儒斯特角：

若入射光振动面与入射面平行，则反射光强度为0，即全部投射

当入射角接近临界角时，穿透深度最大。 3-19 试求由折射率nL?1.4和nH?2.8的8层高低折射率材料（每种四层）组成的多层高反膜的

峰值反射率。

23

解：分析：依次求出膜系中各层介质膜的特征矩阵，并将其按自然顺序依次相乘，得到整个膜系的特征矩阵，再将膜系的特征矩阵元素代入（3.4.29a）式或（3.4.29b）式，即可求出该膜系的反射系数r，进而由（3.4.30）式得到膜系的反射率R。高反膜的镀膜方式为G?HL?2mHA,G表示基片，A表示入射介质为空气，m表示基本周期数，

2m+1是多层膜的层数。在空气中垂直入射，其峰值反射率为R。 解题过程：1、由式（3.4.15）得：单层膜的特征矩阵

?iMcos?1-?sin??11???? （1） ?-?1isin?1cos1??1?其中?1??0?n1cos?2i，n1为介质薄膜的折射率； 02、由式（3.4.24）得：整个膜系的特征矩阵

M?M31 （2）

3、由式（3.4.29a）得：膜系的反射系数为

r?E?1r?A?B?G??0-?C?D?G?E?? （3） 1i?A?B?G??0??C?D?G?，其中??00??n??00cos1i，?G?nGcos?N?1,i，其中n0是平面波初始所0?0在介质的折射率，这里指空气的折射率，nG是基片的折射率；

?1-?n2mH/n?24、由式（3.4.30）得：R?r?r????L?nH/nG??21??n/n?2mn2HLH/n??? ??G?（4）

当

?n2m2H/nL??nH/nG?》1时，有

?nLR?1-4??n?H5、将nL????2m?nG??2? （5） ?n??H?故对于任一z处，应有：

n(z)sin?(z)?n0sin?0 =常数 (2)

另，对于光线径迹上（z,x）处的一段曲线元，其弧长ds的大小可表示为：

?1.4，nH?2.8和nG?nL代入（5）式得R=98.84%。

且

第四章

(ds)2?(dx)2?(dz)2 (3)

dx?sin? (4) 3-20（不会）

（4-1不会）设非均匀光纤的折射率分布为错误！未找到引用源。

入射光线的初始条件为：错误！未找到引用源。，光线与x，y，z轴的夹角为错误！未找到引用源。。试求： （a） 光线弯曲轨迹方程之解； （b） 积分常数A，B，C，D的值；

（c） 当错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。时光线的轨迹曲线。

解：光线方程的通式为错误！未找到引用源。，而折射率分布如上所示，代入通式解得：

4-2如果介质折射率变化只与变量z有关，与x,y无关，即n(x,y,z)=n(z),试写出普遍的光线轨迹方程和傍轴近似下的光线轨迹方程。（参考P70）

解：如图所示，已知波导介质的折射率变化只与变量z有关，与x,y无关，即n(x,y,z)=n(z),也就是在z=0处，有n=n0,设光线与z方向夹角为θ=θ0，则在任一z处有：n=n(z),θ=θ(z)

该波导层可以看成是由一系列厚度和折射率分别为dzi和ni的介质薄膜沿z方向叠置构成，且各膜层厚度dzi趋于0.根据折射定律，在分层介质的每一分界面处，光线应满足关系：

n0sin?0?n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3???? (1)

24

ds将（4）代入（3）式可得：

(ds2dz21n2(z)dx)?(dx)?1?sin2??n20sin?

0 即：

dz (dx)2?n2(z)n2?1 0sin?0

将上式两端分别对x求导，得：

2dzd2z1dn2(z)dzdxdx2?n? 0sin20dzdx d2z1dn2(z)dx2?2n2 0sin?0dz （6）

由于d2 zdx2代表曲线的斜率，

当n(z)=常数时，d2 zdx2?0 ，光线径迹为一直线； 5） （2 当

dn2(z)dx?0时，dzdx2?0 ，光线径迹为一曲线。 以上表明，光线在非均匀介质中的径迹形状取决于介质折射率n随纵向坐标z的变化关系。若n(z)已知，则由（6）式即可求出波导介质中光线坐标z随x的关系，从而得出光线在非均匀介质中的径迹。

在傍轴条件(即发射角

???2??0很小)下， ?0??2 ，即sin?0?1,则（6）式可化为：

d2z1dn2(z) dx2?2n 0dz同理，若已知n(z),即可求出光线径迹方程。

4.3 利用傍轴近似下的光线轨迹方程，试求介质折射率和初始条件分别为n?z??neaz

（0?a??1，z?0时，n0为常数），x?0??x0，y?0??y0，x??0??x0?，y??0??y0?时，光线的轨迹x?z?和y?z?

z?n23?n11n0y?0x

25

假设光线平行

yz平面入射，入射角为?0，由折射定律，有以下关系：

n0sin?0?n1sin?1?n2sin?2?

在任意Z处均有：n?sin???n0sin?0?常数

光线轨迹上的任意一段弧长可表示为：

?ds?2??dy?2??dz?2

而

dyds?sin?， 则： ?22?dz??ds?nn22az0e?dy?????dy???1?12sin2??1?zn20sin2??1?22?1 0n0sin?0傍轴近似时，?0?90?，sin?0?1

2由于0?a??1，e2az取Taylor展开一级近似e2az?1?2az, 则??dz??dy???2az显然

dzdy1dy取正值，则

dz?2az

积分得：

y?z???12azdz?2za?C

代入初始条件

y?0??C?y0，则:

y?z??2za?yo 同理可得：

2zx?z???xo

a4-4.设有一对称型平面光波导，n?3.6，

当?i当?i，厚度

??c时，?1?0，?2?0 ??c时，?1,?2?0

n0?ng?3.5h?5?m，??0.8?m，试确

定其传输模式的最高阶数和相应的传播常数。

解：(1)光波能在波导内形成稳定的传需要满足全反射条件和谐振条件。

????arcsin??n0?ic1?n??①

?i??c2?arcsin??n??g??n?② ?2nhk0cos?i??1??2?2m?③

其中分别表示光波在上下界面处反射时的相位突变

??tan?1??sin2?i?(n0/n)2对s波：??2cos?i④

???sin2?22i?(ng/n)?tan2??cos?i?222???n?sin??(n0/n)对p波：?tan1?2???0?n??cos?i⑤

??tan?2?n2sin2??(n/n)2?2????g??n?g??cos?i其中

k0?2?/?表示真空中的波数，题中n?3.6,n0?ng?3.5,h?5?m,??0.8?m，因此m的取值仅与?i有关:

所以，当?i??c，m的取值大，因此传输模式的最高阶数由?i??c时得到。

由公式③知m?nhk0cos?inhcos?i????2???2nhcos?i?⑥

2 cos?i?1?sin2??n0?c?1???n???0.235⑦

将代入得m?10.575，取整值m?10

(2) 传播常数β是描述光纤中各模式传输特性的一个参数，光纤中各模式的传输或截止

都可以由该参数决定。 传导模的传播常数受到限制：

k0n0???k0n?2.75?107m?1???2.83?107m?1

若：??k0n此时传播膜不能集中于光纤纤芯中传播。

??k0n传播模式处于临界截止状态，光线在纤芯和包层的界面略射。

4-5 用厚度为h=4μm的对称型平面波导单模传输波长为λ=0.8μm的TE0模式时，其波导层与覆盖层和衬底材料的折射率差应有何要求？

解：

由题目可知为对称型薄膜波导，由书中(4,2,16)式可知，对于波长为λ的光波，其在薄膜波导中的单模传输条件可表示为：

???'?2hn2?n2c1g给出了

将数据代入上式，得需满足条件为：

1?n2?n2g其中，覆盖层折射率n0，导光层折射率n，衬底折射率ng

26

4-6 试说明为什么对称型平面波导中的基模不存在截止波长，而非对称型平面波导中基模存在截至波长？

解：对称型平面波导，由上题知：

m=0 n0=ng 所以 λ

co

→ ∞ 故不存在截止波长

非对称型平面波导：m=0 n0 ≠ng

2?hn2?n2g

?co?n2?n2?0

arctang0n2?n2g故 存在截止波长。

4-7今欲在发射

1.3?m波长辐射的双异质结激光器中得到基模，已知波导中导光层的折射率为

n?3.501，覆盖层和衬底的折射率为n0?ng?3.220，问导光层的厚度应满足什么条件？

解：由题目知，覆盖层和衬底的折射率相同，为对称型薄膜波导,其截止波长为

?2h22cm?mn?ng 根据基模（m?0的波导传输模式）传输条件,由上式得TE截止波长为

0?c0??

说明对称型薄膜波导的基模没有截止波长。任何波长的基模光波可在对称型薄膜波导内传输。 对于波长为λ的光波，其在对称型薄膜波导中的单模传输条件为

???2hn2?n2c1?g 将题目中给出数值?c1?1.3?m、n?3.501、n0?ng?3.220带入计算，

得h1?0.4730?m 所以导光层厚度应大于0.473μm。

27

4-8 一对称型带状波导，宽度和厚度分别为a和b，导光层的折射率为n，覆盖层和衬底的折射率为n0。证明：波导的基模传输条件为a?b。

解：设有一沿z方向延伸的矩形波导，电磁波沿?z方向传播，则在一定频率下，波导内电磁场波满足亥姆霍兹方程：

?2E?k2E?0 （1）

以及边界条件：

?????E?0 （2） ??n?E?0考虑到在z方向电磁场无界，故亥姆霍兹方程的解中沿z方向的传播因子应具有平面

波形式，即可将（1）式的解表示为：

E(x,y,z)?E(x,y)exp(ikzz) （3）

代入方程（1）式得：

?????x2????y2??E(x,y)?(k2?k2z)E(x,y)?0 （4） 设函数u(x,y)表示E(x,y)的任一分量，并取如下形式：

u(x,y)?X(x)Y(y) （5）

代入（4）式便可表示得到两个标题的定态波动方程：

d2Xdx2?k2xX?0 （6a） d2Ydy2?k2yY?0 （6b） 并且 k2?k2x?k2y?k2z（7）

方程（6a）式和（6b）式的解可分别表示为：

X(x)?C1cos(kxx)?D1sin(kxx) （8a） Y(y)?C2cos(kyy)?D2sin(kyy) （8b）

式中C1、C2、D1、D2均为任意常数，于是E(x,y)的分量解可表示为：

u(x,y)?[C1cos(kxx)?D1sin(kxx)]?[C2cos(kyy)?D2sin(kyy)] （9）

显然，C1和D1，C2和D2不能同时为0，假设波导内壁分别位于x?0、a和y?0、b平面，

下面根据边界条件分别对分量Ex、Ey和Ez确定4个常数。

对于E?Exx，在x?0和y?0界面上分别有：?x?0，Ex?0。由此得：D1?0，C2?0。代入（9）式，并取

A1?C1D2，得：

Ex?A1cos(kxx)sin(kyy)exp(ikzz) （10）

同理，对于Ey，在x?0和y?0界面上有：

Ey?A2sin(kxx)cos(kyy)exp(ikzz) （11）

对于Ez，有Ez?0（12）

这样就解出了矩形波导中电磁波电场强度矢量的3个坐标分量表达式。 现在在进一步讨论波导边界条件对波矢量分量取值范围的限制。 由（10）式、（11）、（12）式及边界条件，在界面x?a处，

?Ex?x?0，Ey?0，Ez?0 由此得： k?x?ma m?0,1,2,3, （13）

28

在界面

y?b处，

?Ey?y?0，Ex?0，Ez?0

由此得： ky?n?b n?0,1,2,3, （14）

进一步，由条件??E?0得：

kxA1?kyA2?ikzA3?0 （15）

显然m和n分别等于波导沿x和y方向的半波数目。

要在此波导内基模传输，则应讨论TE10和TE01，

??c10??a??，?c10?2a，?c01?b??，?c01?2b

使TE10和TE01的截止频率（波长）相同，则满足基模传输条件为：

a?b

4-9 以节约型光纤的纤芯和包层的折射率分别为n1=1.55，n2=1.50，求光纤在空气中的数值孔径和最大入射孔径角。若将该光纤放入水中（设水的折射率为1.33），问光纤的数值孔径是否会改变？如果改变，则改变量是多少？

解：设自端面外侧以入射的光线到达芯茎与包层分界面时的入射角错误！未找到引用源。，全反射临界角为错误！未找到引用源。。当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。不满足全反射条件。因此，错误！未找到引用源。是入射光进入光纤芯茎后形成稳定传输的最大孔径角。

数值孔径表征允许进入光纤芯茎且形成稳定传输的入射光束的最大孔径角范围，用错误！未找到引用源。表示。

在空气中，数值孔径错误！未找到引用源。 最大孔径角 错误！未找到引用源。

光纤放入水中 数值孔径仍为错误！未找到引用源。 n1 ，n2是不变的，所以数值孔径不变，但是最大孔径角发生了改变，此时的错误！未找到引用源。

4-10 一阶跃型光纤的纤芯和包层的折射率分别为n1=1.52, n2=1.51, 现欲使该光纤作单模传输，问当工作波长分别为

?0?1.2?m和?0?0.8?m时，光纤的最大芯茎应为多少？

解：阶跃型光纤（参考P76图4.4.2（a））可看成一薄膜波导，其作单模传输的条件（P65）为： 存在截止波长

?22c1?2hn1?n2

且必须满足?0?1.2?m及?0?0.8?m同时小于?c1。

故取

?c1??0?1.2?m

代入上式，并将数据n1=1.52, n2=1.51也代入可得：

h??c12n22

1?n2

?3.45?m即光纤的最大芯茎应为

3.45?m。

4-11 一单模光纤的纤芯传输的波段分别为5?m，包层的折射率为1.62，工作波长为1.3?m，求纤芯的最大折射率。 解：光纤的归一化频率为

v?2?an2?1-n22 归一化频率v的范围0—2.405时为单模传输。 为求纤芯最大折射率，我们取v=2.405Hz

v?2?2?an21-n2

2?n?v??21???2?a???n2

=1.6

29

4-12.如果光纤传输的波段分别为

0.8~0.9?m和1.2~1.3μm，每个话路的频率

宽度为4kHz，每套彩色电视节目的频率宽度为10kHz，问该光纤在理论上可以分别传送多少对话路或多少套电视节目？

解：??c?????c??c?2??11??c?2?1?

2（1）对于0.8?m~0.9?m的波段

???4.16?1013Hz

每个话路的频带宽度为4kHz，传送的话路数目N?1???1.04?10104kHz

每套彩色电视频带宽度为

10kkHz，传送的电视节目套数

N?92??10kHz?4.16?10

（2）对于1.2?m~1.3?m的波段

由（1）同理可得???1.9?1013Hz，N1'?4.57?109，N2'?1.9?109

4-13 说明梯度折射率光纤的自聚焦特性和成像特性并设想其可能的应用。

答：梯度折射率光纤是指介质的折射率n沿垂直于传播方向（即横向）呈梯度变化的光纤。

光在二种均匀介质的光滑分界面上传播时，其折射光遵守折射定律。若有一系列折射率均匀的介质被分成若干层，其折射率分别为n1>n2>n3，光 线在第一种介质中以入

射角u1入射在第一和第二种介质的分界面上时将发生折射，折射光在第二和第三、第

三和第四…等介质的分界面上时也将发生折射。折射光 线的轴迹为一折线，且折射光线的方向与各层介质的折射率大小有关。当各层介质的厚度趋于零时，折射光线的轨迹变成一曲线。

梯度折射率光纤中的光线传播

由T?2?n0n=常数，知进入光纤层的所有光线均具有相同的振荡周期，从而能够以相同的时间

2从波导的一端到达另一端。传输过程中光脉冲的增宽极小，因而能够传输的光波信息量将变得很大，此为自聚焦特性。

由于梯度折射率光纤具有端面准直、耦合和成像特性，加上它圆柱状小巧的外形特点，可以在多种不同的微型光学系统中使用更加方便。并在集成光学领域如微型光学系统、医用光学仪器、光学复印机、传真机、扫描仪等设备有着广泛的应用。

○

1应可应用于要求聚焦和准直功能的各种场合，被分别使用在光耦合器、准直器、光隔离器、光开关、激光器等方面。

30

○

2光通信中的光学耦合器、准直器和隔离器等。 ○

3医用超细梯度折射率内窥镜和工业缺陷光学探测器等。 4-14如何测量一个阶跃型带状波导或光纤的横向折射率分布，能否设计出一个实验光路图

原理：干涉法：

两束相干光中的其中一束由于传播路径上放了被测样品，从而与另一束光产生光程。光

通过光纤所走的路不一样，由于光纤径向不同从而导致光的相位发生变化

测得条纹改变量与相位之间变化关系为：

第五章

5-1 从麦克斯韦方程组出发，导出电磁场在均匀各向异性介质中的电位移矢量D与电场强度矢量E的关系并说明其物理含义。 解：麦克斯韦方程组

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