2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国模拟卷2

引领强者之路 2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷

数学 模拟试题（Ⅱ）

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第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集U＝R，A＝{x| x(x＋3)<0}，B＝{x| x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x| x>0} B．{x|－3

42为直角三角形，则这样的点P有( ) A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 5. 已知数列{an}是递减等比数列，a2＝2，a1＋a3＝5，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N)的取值范围是( ) *A．[12,16) B．[8, 16) C. ??8，32??16，32? D. ?33?3?6. (2011·泉州模拟)执行如图所示的程序框图，若输出y的值为2，则输入的x应该是( )

A．2或3 B．2或±3 C．2 D．2或－3

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引领强者之路 7. (2011·温州检测)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为( )

A．2π B．4π C．6π D．8π 8. 一个正三角形的三个顶点都在抛物线y＝4x上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是( ) 2163163A．483 B．243 C. D. 799. (2012·临沂模拟)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图像不可能是( ) 10. 对于定义域为R的函数f(x)，给出下列命题： ①若函数f(x)满足f(x－1)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于y轴对称； ②若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数； ③若函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，则函数f(x)的图像关于x＝1对称； ④若函数y＝f(1＋x)与y＝f(1－x)在同一坐标系中，图像关于y轴对称． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11. P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PB＝22，PC＝17，PD＝13，则四棱锥P-ABCD的体积等于( ) A．2 B．4 C．6 D．12 f(x)

12. 函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上

x一定( )

A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第24题，考生根据要求作答。

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引领强者之路 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

m

13. (2011·衡阳联考)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.

n14. 在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是________．

15. (2012·淄博模拟)某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，则该女生来自北京的概率是________． 116. 数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝S n (n≥1)，则an＝________. 3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分） 1设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a＝1，b＝2，cos C＝. 4(Ⅰ)求△ABC的周长； (Ⅱ)求cos(A－C)的值．

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18.（本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

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20.（本小题满分12分）

x2y2→→

椭圆2＋2＝1(a>b>1)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．

ab11

(1)求证：2＋2为定值；

ab(2)若椭圆离心率e∈

21.（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5. 2(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))的切线斜率为3，且x＝时，f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；

3(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．

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?32?时，求椭圆长轴长的取值范围． ，?32?

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请考生在第22,23, 24三个题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。 22.（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.

23.（本小题满分10分） (2011·辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x＝cos φ，???y＝sin φ， (φ为参数)，

??x＝acos φ，曲线C2的参数方程为?(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极?y＝bsin φ，? 轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离π为2，当α＝时，这两个交点重合． 2(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； ππ(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为44A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

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24.（本小题满分10分） 设c＞1，m＝c＋1－c，n＝c－c－1，求证：m＜n.

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2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷

数学 模拟试题（Ⅱ）学生答案

第Ⅰ卷

一、选择题

1. 【解析】 C 图中阴影部分表示的集合是A∩B，而A＝{x|－3＜x＜0}，B＝{x|x<－1}，故A∩B＝{x|－3

∴x＝2，综上所述，x＝2或－3. 7. 【解析】 C 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其表面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.

8. 【解析】 A 如图，设AB所在的直线方程为y＝3

x， 3

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??y＝3x，

3由?得B点坐标为(12,43)， ??y2＝4x，

1∴S△ABC＝2S△ABD＝2××12×43＝483. 29. 【解析】 D 选项A中函数的最大值小于2，故0＜a＜1，而其周期大于2π，故选项A中图像可以是函数f(x)的图像．选项B中函数的最大值大于2，故a>1，其周期小于2π，故选项B中图像可以是函数f(x)的图像．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应选项C中图像．对于选项D，可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图像中的周期大于2π，故选项D中图像不可能为函数f(x)的图像． 10. 【解析】 D ①函数f(x)为偶函数；②函数周期为1；③点(x＋1，y)，(1－x，y)连线的中点是(1，y)；④y＝f(x＋1)的图像由y＝f(x)左移1个单位得到，y＝f(－x＋1)的图像由y＝f(－x)右移1个单位得到，而y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称，则y＝f(1＋x)与y＝f(1－x)关于y轴对称．故4个命题均为真命题． 11. 【解析】 B 由勾股定理得，AB＝DC＝2，AD＝BC＝3， 1∴PA＝2，∴V＝×6×2＝4. 312. 【解析】 D 由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1.g(x)＝增函数． f(x)aa＝x＋－2a，则g′(x)＝1－2.易知在x∈(1，＋∞)时g′(x)>0，所以g(x)为xxx

第Ⅱ卷 二、填空题 13. 【解析】 ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，

－1)． 2m－n3m＋2n由于ma＋nb与a－2b共线，则有＝， 4－1m1∴n－2m＝12m＋8n，∴＝－. n21

【答案】 － 2

14. 【解析】 如图，输出的点的轨迹是以原点为圆心，以

2为半径的圆周及其内部，面2

π

π2π积为；可行域内所有的点构成的轨迹是边长为2的正方形，面积为2.所以概率为＝. 224

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【答案】

π 4

15. 【解析】 设事件A＝“任选一人是女生”，B＝“任选一人来自北京”，依题意知，来自北京的女生有8人，这是一个条件概率，问题即计算P(B|A)． 408由于P(A)＝，P(AB)＝， 1001008PAB1001则P(B|A)＝＝＝. PA405100【答案】 1 516. 【解析】 ∵3an＋1＝Sn(n≥1)，∴3an＝Sn－1(n≥2)． 两式相减，得3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2) 可得an＋14＝(n≥2)， an34∴n≥2时，数列{an}是以a2为首项，为公比的等比数列， 3?4?n－2. ∴n≥2时，an＝a2·?3?1令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1?a2＝， 31?4?n－2∴an＝×(n≥2)， 3?3?1,n?1,??n?214?????,n?2.?3?3??故an＝? 1,n?1,??n?2?1?4???,n?2?3??3?【答案】 ?

三、解答题

1

17. 【解析】 (Ⅰ)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－4×＝4，

4∴c＝2，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋2＋2＝5. 1

(Ⅱ)∵cos C＝，

4

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