第29届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第4套(共6套)答案及评分标

第29届复赛模拟赛题 第四套

答案及评分标准

满分160分

第一题（20分）

一个半径为r的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮，某时刻滑轮恰好处于水平位置。在距离滑轮r处有一墙高为2r的墙，一根不可伸长的绳子从墙根连出，绕过滑轮，从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边），某人在墙顶处以速度v匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛，则此刻 ①圆环的角速度?为多少？

②圆环中心相对地面加速度a为多少？

ωvar

【解】：

（1）易知此时滑轮的速度方向与AB垂直，vB?2r?

以滑轮为系，上段绳子的延绳速度为v，因此下段绳子的沿绳速度也为v。 所以?2r?v ???2v（5分） 2rvBB'A

（2）球心的速度为v0?2r，球心加速度为a0，B相对于A的加速度由向心加速度和加速转动加速

?度。记下段绳子为n方向，上段绳子为?方向。轮子的角加速度为??a0/r

?N

?2rBa0?r?a0在地面上看B的加速度：

M第29届复赛模拟赛题 第四套

1

aBn?a02??2r22，aB????2r（3分） 22

地面上看墙角M加速为aM?0，由于下段绳子没有转动，所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加速度为0，所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为

a入?aBn?a02??2r22

（3分）

地面上看墙顶N加速度为aN?0，由于上段绳子转动角速度?'?靠近滑轮的点沿绳加速度为?2?2r2r??，所以上段绳子上

2r（1分）

所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为

a出??22r?aB???2

由于绳子长度不变，所以a入?a出32r（3分） 2

a02??2r232（1分） =?2r22

v2解得a0=2?r?（4分） 只要答案正确，方法没有明显错误给全分

r

2

第二题（20分）

一个长度为l的扁平的水槽与水平夹角为30o，水槽的质量为m，在两端用细线将水槽吊起来。在水槽最下端有一个质量为m的喷水机，从水槽中抽水，以速度v0将水沿着与水槽夹角为??30o的方向喷出，水则刚好能喷到水槽上端，水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响，匀速流到水槽底端，形成稳定的水流。

①重力加速度为g，求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度v0。

②喷水出口的面积为S，水密度为?，水槽中水下流速度为v1，为了保持平衡，两根绳上的拉力各为多少？（两根绳子保持竖直方向）

第29届复赛模拟赛题 第四套

2

T2T1θθ

【解】：

（1）重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为g∥?gsin??12g和g??gcos??32g 沿水槽运动方程：l?v10cos?t?g∥2t2（2分）

垂直于水槽?：0?v?t?10sin2g2?t（2分）

∴v0?32gl?1.22gl（2分） （2）以整体为对象，水的冲量是内部作用，不必计算。 喷出的水在水平方向的分速度不变，故其中心在中间 水槽中的水匀速运动，故其重心也在中间 即：空中的水+水槽中的水+水槽的重心 在两绳中间所在的垂直线上。（3分） 求水的总量

单位时间爱你喷出的水质量为：m0??sv0 水在空中和在水槽中运行的时间分别为： tlcos?l1?v?3lv?2l，t2?0cos2?0gu

1故水的总质量为：M?m2l0(t1?t2)??sv0(g?lu)（3分） 1受力平衡：T1+T2?(M?m?m)g??以水槽中间为参考点，力矩：(Tll（?2分） 1?mg)2cos??T22cos???????T1?M?3m?2g(2分) ???T2?M?m2g(2分)其中M??sv0(2lg?lu) ??s3gl(2llg?u) 121第29届复赛模拟赛题 第四套

3

第三题（20分）

在光滑平面上放有一个质量为m的匀质圆环，内径为r。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为k，三根弹簧连到一个质量为m的质点上。

①用一个恒力F沿着x方向作用于圆环，若m与M保持相对静止，则m相对圆心位移为多少？ ②初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为v0?2kr，求之后圆环和质点的运动方程。

ymmx

【解】：

①系统的加速度为：a?F2m 设m相对圆心位移为?x0，设从原点到三个弹簧连接点的矢量为a?,b?,c?，则质点受到的合外力为

F??k(a???xk(b???x???0)?0)?k(c?x0)??3kx0（4分）

等价于一个3k的弹簧 由牛顿第二定律 3kx0?ma

?x0?F6k（3分） ②质心运动方程为：xv0C?t?k22mrt（3分） 由①知沿x轴方向的有效劲度系数为3k。 折合质量为

m2，故振动角频率为??6km（2分）

振幅为：A?v0r??3?r（2分） 故质点，xk1?2mr?t?A2sin(?t?π)（3分） 环的质点：xk2?2mr?t?A2sin(?t)（3分） 其中A?r3

第29届复赛模拟赛题 第四套m4

第四题（20分）

如图一个绝缘的刚性的固定圆筒，沿着轴向有匀强磁场B。有一个电中性的粒子静止在圆筒中心，粒子突然衰变成为两个带电量为?q的粒子，粒子出射方向在平面内，动量大小为P。粒子之间发生碰撞时交换动量，不考虑静电作用，电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的，圆筒

P的半径满足R=

Bq①当衰变的两个粒子质量比为m1:m2?1:1时，求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态经历的时间，并画出粒子轨迹。 ②令m1:m2?1:2重做上一问。

【解】：

虚线：正电荷 实线：负电荷 轨迹如图

B④①②③②③①④

故时间为：t?23T0 T0为粒子转一周的时间

T2?R2?m0?v?Bq（3分）

（2）m1:m2?1:2?v1:v2?2:1

不失去一般性，令正电荷为m1，在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣

负电荷走左下一个花瓣。此时发生正碰，和初始状态相比，粒子速度方向转了60度。第29届复赛模拟赛题 第四套

5

此时时间为：t?4?m12T1? 33Bq之后要重复走6次，粒子状态才能还原，周期 T?8?m1Bq

第五题（20分） 非洲杀人湖

非洲有一个由火山口形成的湖泊，由于其特殊的地质结构而成为杀人湖。调查发现原因在于湖底溶有大量CO2，由于挠动CO2大量集中涌至湖面，造成人畜窒息。为了简单起见，假设温度恒定为T0时，CO2达到溶解平衡时气相中CO2的分压P与液相中CO2的摩尔浓度C满足P=?C。其中P被称为（溶解气体后密度几乎不变） CO2的饱和气压。湖的深度为H，水密度为?。

①在湖底CO2浓度恒定为C0，大气压为P0，假设只要水中压强小于CO2的溶解平衡压强，就有CO2逸出，计算出开始有CO2逸出的深度h。（假设你算出的0?h?H）

②实际上在h的位置并不会有CO2逸出。由于涨落水中可能出现一些半径为r的小气泡，气泡中CO2与溶液保持溶解平衡。（水蒸气的饱和蒸汽压可以忽略）液体的表面张力为?，若外压过大则气泡被压回水中，否则气泡进一步长大，形成CO2集中快速逸出，对人畜构成危险，计算出CO2快出逸出的最大深度h'（假设你算出的0?h'?H）

③某人插了一根管子到水底，不断向内鼓气，解决了杀人湖的问题，解释这个原理。 【解】：

①P0??gh??C0（5分） ?h??C0?P0（2分） ?g2?r

②单层薄膜：?P?P0??gh'?2???C0（6分） r?h'??C0?2??P0r（2分） ?g第29届复赛模拟赛题 第四套

6

即达到h'之前溶液是过饱和的。到达h'的深度时，一旦出现一个气泡半径超过r，则附加压强变小，气泡进一步变大，多溶解的CO2就会集中冒出。

③用管子鼓的气泡半径较大，产生的附加压可以忽略不计，故一但水中溶解的CO2溶度较大，就会持续析出，而不会如第二问中集中冒出。（5分）

第六题（20分）

如图，用八根单位长度电阻为r的电阻线焊接成两个正方形（焊接点电阻为零）。大正方形边长为

l。在正方形区域中有垂直于纸面向内随时间均匀变化的磁场

?B?k。 ?t①求AC、AB导线上的电流

②求AC两点电势差UA?UC和AB两点电势差UA?UB。

ACB

【解】：

大正方形的感应电动势为：?1?l2k（以逆时针为正方向）（3分）

l2小正方形感应电动势为：?2?k（3分）

2由对称性知外圆电流相等，内圈电流也相等，没有电流从内圈到外圈。

?lk故：AC上电流：i1?1?（3分）（逆时针为正方向）

4rd4r?lk（3分） AB上电流为：i2?2?22rl42r?l②UAC??1?i1r?0（4分）

82?lUAC??2?i2r?0（4分）

42

第七题（20分） 井底之蛙 在一个圆柱形的井底中心有一只青蛙。当水注满整个井的时候，青蛙刚好能看见全部天空，水的折射为n?1.33。

①若此时月亮位于天顶，则青蛙看见的月亮和此时地上的人看到的月亮的大小之比为多少？

②当水漏掉一半的时候，青蛙看到的星星数目和此时地上的人看到的星星数目之比约为多少？（认为星星很多，均匀的分布在天空中） ③接上一问，青蛙的视野中，“天空”的边缘与“天空”的中心，星星的密度之比为多少？

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：

地上的人看到的月亮的角宽度为?，则青蛙看到的月亮的角宽度为?'满足：?'n????'??n?34?（3分） 故青蛙看到的月亮与地面人看到月亮的大小之比为3:4（2分）

iγhR

②设井半径为R，则可得井深h满足： sini?nsinr ?1?nRh2?R2?h?79R

水漏掉一半时青蛙能看到的最大角度?C满足：

??sin?C?nsin?C??h?2tan?C?h2tan?（2分） C?R第29届复赛模拟赛题 第四套

8

【解】

3sin?C64?tan?C??

971?sin2?C16数值解列表（2分）

数值解得：?C?55.9o（2分） 星星数之比值为立体角的比值： 2π(1?cos?C):(2π)=0.44:1（2分）

③ 令入射角为?，折射角为i，

令青蛙从0到i角度为看到的星星数为Nf(i) 令人从0到?角度为看到的星星数为Nh(?) 显然Nf(i)?Nh(?)， 令密度为?f(i),?h(?) 则有?f(i)d?i??h(?)d??

（2分）

其中?为立体角，d???2?sin?d? （1分） 因此?f(i)??hnd?cosi??hn2 dicos?（3分）

（1、人看到的密度是不变的，2、用了正弦定理） 由此i?0时

?f??hn2

由此i?38.4?时

?f?1.40?hn2 （3分）

第八题（18分）

两面平行放置的镜子A、B分别以0.6c和0.8c的速度相向运动，在地面参照系中某时刻两镜相距

l，此时从A镜面向着B发出一束激光，在A镜参照系中，激光频率为f0，激光在两面镜子间来回反

射。

l①在地面看来，当A、B间距变为时，激光走过的路程为多少？

8②从A镜为参照系，从激光发出到第一次被A镜面反射，经过了多长时间？

③以A镜为参照系，激光先被B反射，之后第一次被A镜面反射后的频率为多少？

A0.6cl0.8cB

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【解】：

地面系中A、B走过的路程之和（不是相对速度！！！）：(0.6c?0.8c)t?78l（2分）

故激光走过的路程为：ct?58l（3分）

②注意：AB之间不是相对静止的，不能用尺缩！！

在地面参照系看，经过tll2l1?5(1?0.8)c?5l9c，此时AB距离l'?l?9c(0.6c?0.8c)?9

再次回到A，进过时间t12l2?(1?0.6)c9?5l36c 从A出发，回到A，因而可以利用钟慢效应t'?(t25l1?t2)1?0.6?9c（7分） 利用其它做法得到正确答案给全分。 ③

地上看A发射频率为f1?0.61?f01?0.6 在B上看A发射频率f1?0.82?f11?0.8

在地上看B反射频率f1?0.83?f21?0.8 在A上看B反射频率f1?0.64?f31?0.6 计算得到f4?36f0（6分）

利用其它做法得到正确答案给全分。

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