2003年广西大学硕士研究生入学考试数分与高代试题

广西大学2003年硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、系统分析与集成 考试科目：《数学分析与高等代数》

1f(x)?tanx一、（15分）设f(x)连续，lim?1,又F(x)??f(tx)dt.（1）求0x?0xF(x);（2）讨论F(x)的连续性''。

二、（15分）设f(x)在[a,b](a>0)上连续，在（a，b）内可微，且

f(x)?0,试证：存在点'使得 ?，?，??（a，b），f（?）??'f(?)?‘ 三、（20分）设u?z?y22

为新的自变量，变换方程

?x?2y,y?x?2y,以u，v?y?z?y22?1?z2?y(y?0),并求解该方程。

四、（15分）设f(x)在x=0点的某个领域内具有连续的二阶导数，且

limf(x)x?0,求证：级数1f(?n)绝对收敛n?1?x?0。

五、（15分）计算积分

I???（x?R）dydz?(y?2R)dzdx?(z?3R)dxdyx?y?z222333

其中s是上半球面z?六、（20

?-5 6?分）设A???-4 5??

??R2?x?y22的下侧。

（1）求A的特征值，特征向量。 （2）试求使C?1AC为对角矩阵的C，求A（n为正整数）。2n

n?n七、（20分）设A，B，C，D?Pn?n，若A：X?n?n证明：（1）A为P的线性变换AXB?CX?XD，?X?P,

,。（2）当C?D?0时，A，B可逆?A可逆。

八、（20分）已知：

?2 -2 0???A??2 1 -2????0 -2 0??，求一正交矩阵T，使T‘AT成对角形。

九、（10分）证明：n维欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。

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