04184-线性代数（经管类） - 2007-2011历年真题版

全国2011年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

?1．设A??10?1??350?，则AAT=（ ）

?041????A．-49

B．-7 C．7

D．49

2．设A为3阶方阵，且

A?4，则?2A?（

）

A．-32 B．-8 C．8 D．32

3．设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT

=B，则下列命题正确的是（ ）

A．（A+B）T=A+B B．（AB）T

=-AB

C．A2是对称矩阵 D．B2

+A是对称阵 4．设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（ ）

A．若A2=0，则A=0 B．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，则X=Y D．若A+X=B，则X=B-A

??1131?5．设矩阵A=?02?14???0005??，则秩（A）=（ ）

?0000??A．1 B．2 C．3

D．4

?kxz?06．若方程组???2x?ky?z?0仅有零解，则k=（

）

??kx?2y?z?0A．-2 B．-1 C．0 D．2 7．实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的维数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

?8．若方程组?x1?2x2?x3???1?3x2?x有无穷多解，则?=（?3???2??x2?x3?(??3)(??4)?(??2)A．1

B．2 C．3

D．4

?100?9．设A=??010? ）

??002?，则下列矩阵中与A相似的是（ ???100??A．??020??? B．?110??001??010?

??02??0?? ）

?100???C．011 ????002??2210．设实二次型f(x1,x2,x3)?x2?x3，则f（

?101???D．020 ????001?? ）

A．正定 B．不定

C．负定 D．半正定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

TTT

11．设A=(-1,1,2)，B=(0,2,3),则|AB|=______.

12．设三阶矩阵

A???1,?2,?3?，其中?i(i?1,2,3)为A的列向量，且|A|=2，则

?10??0c?，且秩(A)=3，则a,b,c应满足______.

1?0?2?31???22?的逆矩阵是______. 13??22???1??2,?2,?1??2??3??______.

??0?13．设A??a??b???14．矩阵Q?????15．三元方程x1+x3=1的通解是______.

??10???，则|A-E|=______. ??02??001???17．矩阵A?010的特征值是______. ????100???12?18．与矩阵A???相似的对角矩阵是______.

21??16．已知A相似于??100???4

19．设A相似于??0?10，则A______.

????001??20．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是______.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

123421．计算4阶行列式D=

234134124123.

?101???2

22．设A=020，而X满足AX+E=A+X，求X.

????161??

?1??2??5??3???2??1??0???1?????????23．求向量组：?1??3?,?2??2?,?3??7?,?4??5?的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，

?????????1?2?5????????3??????2????3????4????1??同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.

?x1?2x2?2x3?0?24．当?为何值时，齐次方程组?2x1?x2??x3?0有非零解？并求其全部非零解.

?3x?x?x?0?12325．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量?1?(1,1,1)T、?2?(2,2,1)T是A的对应于

?1??2?1的特征向量，求A的属于?3??1的特征向量.

26．求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.

四27．设?1，?2，?3线性无关，证明?1，?1?2?2，?1?3?3也线性无关.

全国2011年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

T*

说明：A表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（ ） A．C．5

B．3D．

=

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ） A．

B．

C． D．

3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=A．C．

，则C是（ ）

B．D．

*

*

-1

4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A的秩r (A)=（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．设向量A．a=-1, b=-2 C．a=1, b=-2 6．向量组

，若有常数a,b使B．a=-1, b=2 D．a=1, b=2

，则（ ）

的极大线性无关组为（ ）

A．C．

B．D．

，那么矩阵A的列向量组的秩为（ ）

B．2 D．0

是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵

7．设矩阵A=A．3 C．1 8．设A．

有一个特征值等于（ ） B．

C． D．

9．设矩阵A=A．（0，0，0）

T

C．（1，0，-1）

T

，则A的对应于特征值的特征向量为（ ）

B．（0，2，-1）

T

D．（0，1，1）

T

10．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x1x2?x2的矩阵为（ ） A．

B．

22C． D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．行列式

__________.

312．行列式

013410010中第4行各元素的代数余子式之和为__________.

150?1?22，B=（1，2，3），则BA=__________.

13．设矩阵A=

14．设3阶方阵A的行列式|A|=

13

，则|A|=__________. 2-1

-1

2

15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________. 16．已知3维向量=（1，-3，3），

（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________. 19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为

2

111,,，则行列式|B-1|=__________. 234

20．设A=是正定矩阵，则a的取值范围为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A=

求：（1）AB；

T

（2）|AB|. 22．设A=23．求向量组

关组.

，B==（1, 2, 1, 0），

T

T

，B=，

，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.

T

=（1, 1, 1, 2），=（3, 4, 3, 4），

T

=（4, 5, 6, 4）的秩与一个极大线性无

T

?x1?x2?3x3?x4?1?24．判断线性方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解，有解时求出它的解.

?x?4x?5x??134?1

25．已知2阶矩阵A的特征值为

=（7，1），求矩阵A.

，求行列式|A-E|的值.

T

=1，=9，对应的特征向量依次为=（-1，1），

T

26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=

四、证明题（本大题共6分）

27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明： （1）AB-BA为对称矩阵； （2）AB+BA为反对称矩阵.

全国2011年1月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题课程代码：

04184

2010年10月高等教育自学考试

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2A|=( ) A.-8 C.2

2.设矩阵A=??A.0 C. ??T

B.-2

D.8

?1???,B=(1,1),则AB=( ) ?1??B.(1,-1) D. ???1??? ?1??1??1?? ?1?1??3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )

A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA 4.设矩阵A的伴随矩阵A=??3?*

?12?-1

?,则A= ( ) 4??

?4?3????21?? ??1?12??C. ? ?? 342???A.?1 2?1?2????34?? ??1?42??D. ? ?? 312???B. ?1 25.下列矩阵中不是初等矩阵的是( ) ．．

?1?A.?0?0??1?C. ?0?0?01??10? 00??00??30? 01???0?B. ?0?1??1?D. ?0?2?01??10? 00??00??10? 01??6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有( )

A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( ) A. α1, α2,β线性无关

B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

?2x1?x2?x3?0?9.设齐次线性方程组?x1?x2?x3?0有非零解,则?为( )

??x?x?x?023?1A.-1 B.0

C.1 D.2

T

10.设二次型f(x)=xAx正定,则下列结论中正确的是( )

T

A.对任意n维列向量x,xAx都大于零 B.f的标准形的系数都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

0112的值为_________.

?12???,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________. 23???1?3??11?3

???13.设矩阵A=?,P=,则AP=_________. ??24??01?????12.已知A=??14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|AB|=_________.

15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.

-1

?1??3?????2???5?16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且?1???,?1??3???,则该线性

37?????4??9?????方程组的通解是_________.

?1??1?????17.已知P是3阶正交矩,向量???3?,???0?,则内积(P?,P?)?_________.

?2??2?????18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.

?12???相似的对角矩阵为_________. 03???1?2?T

20.设矩阵A=???2k??,若二次型f=xAx正定,则实数k的取值范围是_________.

??19.与矩阵A=??三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

012021.求行列式D=

101221010210的值.

?0?10???1?20?????22.设矩阵A=?100?,B??2?10?,求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量组?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩为2,求k的值.

?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.设矩阵A??1?10?,b??1?.

??121??0?????(1)求A;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.

2

25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A+2A-E,求 (1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.

-1

?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换?x2?2y1?2y2?y3所得的标准形.

?x?2y3?3四、证明题(本题6分)

2

27.设n阶矩阵A满足A=E,证明A的特征值只能是?1.

全国2010年7月高等教育自学考试

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12

3 0 ?2 0 2.计算行列式

2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3=( )

A.-180 C.120

-1

3.若A为3阶方阵且| A |=2，则| 2A |=( ) A.

B.-120 D.180 B.2 D.8

1 2C.4

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( ) A.A与B相似 B.| A |=| B | C.A与B等价 D.A与B合同 7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3 D.24 8.若A、B相似，则下列说法错误的是( ) ．．A.A与B等价 B.A与B合同 C.| A |=| B | D.A与B有相同特征值 9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

?3 ?2????2 1 ?1?11.设A=?0 1?,B=??，则AB=_________________.

0 ?1 0???2 4???12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A |=______________.

13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________. 16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

-1

1-1

，1，则| 5A |=______________. 217.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

? 2 ?1 0???18.实对称矩阵??1 0 1 ?所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

? 0 1 1????1???1?????19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.

?3?? 3??????1???T

20.设α=?2?，则A=αα的非零特征值是_______________.

?3???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 121.计算5阶行列式D=

0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 2

22.设矩阵X满足方程

0 ? ?1 0 0??1 ?4 3??2 0?????? ?0 ? 1 0 ? X?0 0 1?=?2 0 ?1? ?0 0??? 2 ? ????0 1 0??1 ?2 0?

求X.

23.求非齐次线性方程组

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4的通解. ?x?5x?9x?8x?0234?124.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

? 2 ?1 2???T

25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1），求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特

??1 b ?2???征值的全部特征向量.

1 1 ?2???2 ??26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.

? 1 1 ?2 2???四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

1.已知2阶行列式

a1b1a2b2=m ,

b1c1b2c2=n ,则

b1b2a1?c1a2?c2=（ ）

A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n） 2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（ ） A.-8 B.-2 C.2 D.8

?100??100??a11a12a13??a113a12a13?????????4.已知A=?a21a22a23?，B=?a213a22a23?，P=?030?，Q=?310?，则B=（ ）

?????aaa??a3aa?????001001?313233??313233?????A.PA B.AP

C.QA D.AQ 5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误的是（ ） ．．

A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出 D.β必能由α1,α2,α3线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（ ） A.小于m B.等于m C.小于n D.等于n 9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） T2A.A B.A -1*C.A D.A 10.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ）

222

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

2007200820092010的值为_________________________.

?1?13????,B=?20?,则ATB=____________________________. 12.设矩阵A=??01??201?????TT

13.设4维向量??（3,-1,0,2）,β=（3,1,-1,4），若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.

1-1

14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?,则|A|=___________________________.

n15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________. 16.齐次线性方程组??x1?x2?x3?0的基础解系所含解向量的个数为________________.

?2x1?x2?3x3?0?1?12?17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A?必有一个特征值为_____________.

?3????1?2?2???18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

?????200????1??0??a2????119.已知A=?b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

?2????001?????20.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a21.计算行列式D=

bb2b?b3Tcc2的值。 c?c3T

2

a2a?a322.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BC；（2）A。

),?4?(1,1,1,1),求向量组的秩及一个极大线23.设向量组?1?(2,1,3,1),?2?(1,2,0,1),?3?(-1,1,-3,0性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

TTT??1??24.已知矩阵A=?0??0??210???3???14???????2?，B=?25?.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。 ????1?3?1???????

?x1?2x2?3x3?4??2x2?ax3?2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多25.问a为何值时，线性方程组????2x1?2x2?3x3?6解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

??200?????10??26.设矩阵A=??03a???的三个特征值分别为1，

2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1

AP=?02??0a3???????00四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1

。

全国2010年1月高等教育自学考试

xyz2x2y2z1.设行列式403?1,则行列式401?（ ） 1113111A.

23 B.1 C.2

D.

83 2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1

=（ ）

A. A-1C. C-1B-1A-1C-1-1-1-1B-1 B. C D. A-1BA

C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（ ） A.-32 B.-4 C.4 D.32 4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（ A.1 B.2 C.3 D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m≥n B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解 C.r（A）=m D.Ax=0存在基础解系

?4?52?8.设矩阵A=??5?73?，则以下向量中是A的特征向量的是（ ） ???6?94??A.（1，1，1）T

B.（1，1，3）T

C.（1，1，0）T

D.（1，0，-3）T

?9.设矩阵A=?1?11??13?1?的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ） ???111??A.4

B.5 C.6

D.7

10.三元二次型f （x1，x2，x3）=x12?4x1x2?6x1x3?4x22?12x2x3?9x32的矩阵为（ ）

0???0??。 5??? ）

?1?A.2???3?1?C.2???023?46?? 69??26?46?? 69???143???B.046 ????369???123???D.240 ????3129??

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1211.行列式439=_________.

56713?5?212.设A=??0??0200?100??，则A-1=_________. 021??011?3

2

-1

13.设方阵A满足A-2A+E=0，则（A-2E）=_________.

14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

T

16.设A是m×n实矩阵，若r（AA）=5，则r（A）=_________.

?a11??x1??1???????17.设线性方程组1a1x2?1有无穷多个解，则a=_________. ????????11a????x3?????2??18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________. 20.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩为_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

22234521．计算4阶行列式D=

345645675678.

?2?31???-1

22.设A=4?52，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A.

????5?73??23.设向量α=（3，2），求（αα）.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

T

101

?x1?x2?2x4?0?25.求齐次线性方程组?4x1?x2?x3?x4?0的基础解系及其通解.

?3x?x?x?0123??32?2???-1

26.设矩阵A=0?10，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵.

????42?3??四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

全国2009年10月自学考试线性代数(经管类)试题

01．行列式

10?11?110?11?110B．-1 D．2

第二行第一列元素的代数余子式A21=（ ）

?11?1A．-2 C．1

2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A?（ ）

1 B．1 24C． D．2

3?13．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?（ ） A．AB B．BA

?1?1?1?1C．AB D．BA

?ab??1?(A*)?（ ） A??14．已知2阶矩阵A??的行列式，则?cd?????a?b??d?b???A．? B．??c?d???ca??

????A．C．????d?cb?? ?a??D．???ab??? cd??5．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（ ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 C．?1,?2,?,?s全是非零向量

B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量

6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ ）

A．r(A)?n B．r(A)?m C．r(A)?n

D．r(A)?m

7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A．A B．E?A C．?E?A D．2E?A 8．下列矩阵中不是初等矩阵的为（ ） ．．

?1?A．?0?1??1?C．?0?0?A．1 C．3

00??10? 01??00??20? 01???100???B．?010?

??101????100???D．?110?

?101???B．2 D．4

9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（ ）

?001???T10．设矩阵A??010?，则二次型xAx的规范形为（ ）

?100???A．z1?z2?z3

222B．?z1?z2?z3

222

222222C．z1?z2?z3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．已知行列式

D．z1?z2?z3

a1?b1a2?b2a1?b1a2?b2??4，则

a1a2b1b2T?______.

212．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?AB，则C=______.

?100??1???1?13．设矩阵A??220?，则?A??______.

?2??333????10??1?1???14．已知矩阵方程XA?B，其中A??,B??21??10??，则X?______. ????15．已知向量组?1?(1,2,3),?2?(2,2,2),?3?(3,2,a)线性相关，则数a?______.

16．设向量组?1?(1,0,0),?2?(0,1,0)，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为______.

TTTTT21??1?1??17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?101?，若该方程组无解，则a 的取值为______.

?00a?10???18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.

TT19．已知向量α?(3,k,2)与β?(1,1,k)正交，则数k?______.

20．已知3元二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?x2?(a?3)x3正定，则数a的最大取值范围是______. 三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

222x?121．计算行列式D??1x?1?1?111x?11?1?1?1x?1的值.

111?21???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|. ?12???x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2

?x?x?a13?322．设矩阵A???(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)． 24．设向量组?1?(1,4,1,0),?2?(2,1,?1,?3),?3?(1,0,?3,?1),?4?(0,2,?6,3)，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示． 25．设矩阵A???TTTT?12??50?TT???，存在?1?(1,2),?2?(?1,1)，使得A?1?5?1, ,B?????43??2?1?TT?1存在?1?(3,1),?2?(0,1),使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，使得PAP?B. A?2???2；

26．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化为标准形． 四、证明题(本题6分)

27．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组?,?2,?3也线性无关．

全国2009年7月高等教育自学考试

1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（ ） ．．．A.（A+B）=A+B C.A（B+C）=BA+CA

T

T

T

B.|AB|=|A||B|

TTT

D.（AB）=BA

a11a12a132a112a122a132.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（ ）

a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24 B.-12 C.-6

D.12 3.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（ ） A.A=

1AA* B.A?0 C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1

4.若A=??31?2???41??152?，B=???23?，C=?02?1?，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是（????21???3?12??A.ABC B.ACTT

C.CBA D.CTBBT

AT

?

5.设有向量组A：?1，?2，3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则（ ） A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关 C.?1，?2，?3，?4线性相关 D.?2，?3，?4线性相关 6.若四阶方阵的秩为3，则（ ） A.A为可逆阵 B.齐次方程组Ax=0有非零解 C.齐次方程组Ax=0只有零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解 7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是（ ） A.A的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关 8.下列矩阵是正交矩阵的是（ ）

?100??101?A.??0?10?? B.1?2?110?

??00?1?????011????213?263?C.??cos??sin?????sin?cos??

D.???06?3???63?

?210??3???263??9.二次型f?xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A.A可逆

B.|A|>0

C.A的特征值之和大于0

D.A的特征值全部大于0

?k0?10.设矩阵A=?0?0k?2?正定，则（ ）

???0?24??A.k>0 B.k?0

C.k>1 D.k?1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则AT

B=____________________。

21012.若131?0,则k?_____________。 k21 ）

?120???*

13.设A=200，则A=_____________。

????013??14.已知A-2A-8E=0，则（A+E）=_____________。

15.向量组?1?(1,1,0,2),?2?(1,0,1,0),?3?(0,1,?1,2)的秩为_____________。

16.设齐次线性方程Ax=0有解?，而非齐次线性方程且Ax=b有解?,则???是方程组_____________的解。 17.方程组?2

-1

?x1?x2?0的基础解系为_____________。

x?x?03?2

18.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,则t?_____________。 19.若矩阵A=??10??3b?与矩阵B=??ax?相似，则x=_____________。 04????22220.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?x1x2?3x1x3对应的对称矩阵是_____________。 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1?321.求行列式D=

432?205?221??12,D??100???0?,矩阵X满足方程AX+BX=D-C，求X。 1??的值。

427006?23???3?1??0?1,B?,C????21??12?10????23.设向量组为 ?1?(2,0,?1,3)

22.已知A=?

?2?(3,?2,1,?1)

?3?(?5,6,?5,9) ?4?(4,?4,3,?5)

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。 24.求?取何值时,齐次方程组

?(??4)x1?3x2?0? ?4x1?x3?0

??5x??x?x?0123? 有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

?1?6?3???25.设矩阵A=0?5?3，求矩阵A的全部特征值和特征向量。 ???4??06?26.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的标准形，并写出相应的线性变换。 四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?,

222?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。

全国2009年4月高等教育自学考试

01．3阶行列式aij=1?1011?1中元素a21的代数余了式A21=（ ） 0B．-1 D．2

?1A．-2 C．1

?a11?2．设矩阵A=??a?21a12??a21?a11??，B=???aa22?11??a22?a12??10??01??????，P=，P=?1?2??，则必有（ ） ??10??11?a12??????A．P1P2A=B B．P2P1A=B

C．AP1P2=B D．AP2P1=B

-1

3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B=（ ）

-1-1-1-1

A．AC B．CA C．AC D．CA

?010?????2

4．设3阶矩阵A=?001?，则A的秩为（ ）

???????000?A．0 B．1 C．2 D．3

5．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组

?1,?2,?3,?4的秩为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 6．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ ）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

7．设?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）

A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2

B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1

?20???8．若2阶矩阵A相似于矩阵B=??，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）

?2?3????10???10?????A．?B．?? ?

?14??1?4???????10???10?????C．?D．?? ?

??24???2?4?????0??20????T?9．设实对称矩阵A=0?42?，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xAx的规范形为（ ）

???????02?1?A．z1?z2?z3 C．z1?z2

22222B．z1?z2?z3 D．z1?z2

2222210．若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1111．已知3阶行列式2a212a124a226a323a13a11a12a22a32a13a23=_______________. a336a23=6，则a219a33a313a3112．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.

?12???2

13．设A=??，则A-2A+E=____________________.

??10????12???14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则A=______________.

?34????001?????-1?15.设3阶矩阵A=022?，则A=_________________.

???????333?16.设向量组?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）线性相关，则数a=________.

17.已知x1=(1,0,-1), x2=(3,4,5)是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非

零解向量?=__________________. 18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为?1=(1，1),

T

T

T

?2=(1，k)T，则数k=_____________________.

19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________.

22

20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)+(x2-x3)的矩阵A=_____________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

121.已知3阶行列式aij=xx230中元素a12的代数余子式A12=8，求元素a21的代数余子式A21的值.

5?14??11???11?????22.已知矩阵A??，B=???,矩阵X满足AX+B=X，求X.

??10??02?????TTTT

23.求向量组?1=(1,1,1,3)，?2=(-1,-3,5,1)，?3=(3,2,-1,4)，?4=(-2,-6,10,2)的一个极大无关组，并将向量组中的

其余向量用该极大无关组线性表出.

?ax1?x2?x3?0???24.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0，

????x1?x2?ax3?0（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

?201?????25.设矩阵B=?313?，

??????405??

（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

-1

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使PBP=?

26.设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形. 四、证明题（本题6分）

27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.

全国2009年1月高等教育自学考试

222?x?y?z?0?1．线性方程组?2x?5y?3z?10的解为（ ）

?4x?8y?2z?4?A．x=2,y=0,z=-2 C．x=0,y=2,z=-2 2．设矩阵A=??B．x=-2,y=2,z=0

D．x=1,y=0,z=-1

12?，则矩阵A的伴随矩阵A*=（ ）

??43?3?2?

???41?3?4?D．???21? ??B．??32?

??41?34?C．??21? ??A．??3．设A为5×4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5A）为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

4．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A，B）的列向量构成的向量组，则必有（ ） A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

6．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（ ） A．kξ1，k∈R

B．kξ2，k∈R

C．kξ1+ξ2，k∈R D．k(ξ1-ξ2),k∈R 7．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（ ） A．r=m时，方程组Ax=b有解 B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解 C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解 D．r

T

?1?08．设矩阵A=?0?0?120011301?1?，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1?3??A．1 B．2

C．3 D．4 9．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ）

1α 31C．α

9A．

10．二次型f（x1，x2）=5x1?3x2的规范形是（ ） A．y1?y2 C．?y1?y2

2222221α 51D．α

25B．

B．?y1?y2 D．y1?y2

2222二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

10011．3阶行列式225=_________.

313

?21?12．设A=（3，1，0），B=??40?，则AB=_________.

??35???13．设A为3阶方阵，若|A|=2，则|-3A|=_________.

14．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.

T

?a11a12?15．设A=a21a22??a?31a32?a11x1?a12x2?a13x3?0a13??为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0的解为_________. a23???ax?ax?ax?0a33??333?31132216．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为

?1002?1??010?1?2?，则该方程组的通解为_________. ?0024?6???117．已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则A?_________.

318．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_________.

19．二次型f (x1,x2,x3,x4)=x1?3x2?2x3?x4的正惯性指数为_________.

20．若f (x1,x2,x3)=x1?4x2?4x3?2?x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则?的取值应满足_________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

22222225321．计算行列式D=333533335333. 35???110??12???22．设A=0?11，B=?01?，又AX=B，求矩阵X. ??10?1????00?2???358??1021???23．设矩阵A=240，B=?0259?，求矩阵AB的秩. ?001??0030?????24．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.

?x1?x2?x3?x4?0?25．求齐次线性方程组?x1?2x2?4x3?4x4?0的一个基础解系.

?2x?3x?5x?5x?0234?1?100?-1

26．设矩阵A=?021?，求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.

?012???四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β线性无关.

全国2008年10月高等教育自学考试

1．设A为3阶方阵，且?3

11A?，则|A|?（ ） 33B．-3

D．9 B．A= -B

22

D．|A|=|B|

A．-9 C．-1

22

2．设A、B为n阶方阵，满足A=B，则必有（ ） A．A=B C．|A|=|B|

3．已知矩阵A=??11?，B=?10?，则AB-BA=（ ）

??11??0?1???10? ???2?1?10?C．??01? ??A．??A．??11?

??0?1?00?D．??00? ??B．??4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ）

00? 1B．????00??011?1C．?D．??00? ?0???5．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1,d1),β2（ ）

A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关 C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关 D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关

0? 0??1? 1???(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是

?1??2?6．已知?2?,?3?是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

??1??1?????A．（5，-3，-1） C．??12?3?

??2?17?5?31?

??211??12?1?D．??12?2?

??531???B．??7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组

Ax=0的基础解系为（ ） A．α，β，α+β B．β，γ，γ-β C．α-β，β-γ，γ-α D．α，α+β，α+β+γ

0??102?8．已知矩阵A与对角矩阵D=0?10?相似，则A=（ ）

?00?1???A．A

C．E

B．D D．-E

?001?9．设矩阵A=?010?，则A的特征值为（ ）

?100???A．1，1，0

C．1，1，1

2

10．设A为n(n≥2)阶矩阵，且A=E，则必有（ ） A．A的行列式等于1 C．A的秩等于n

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

B．-1，1，1 D．1，-1，-1 B．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1

a2111．已知行列式230?0，则数a =__________.

1?1112．设方程组??x1?2x2?0有非零解，则数k = __________.

?2x1?kx2?0201?，B=?042?，则ATB= __________.

??357???11?3???13．设矩阵A=??

?1??0??2??0??1??1?14．已知向量组α1???,α2???,α3??的秩为2，则数t= __________.

05t?2??2??0??4???????115．设向量α?(2,?1,,1),则α的长度为 __________.

216．设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β

2，β3的秩为 __________.

*

17．已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A|= __________.

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r(A)= __________.

4??12?19．矩阵A=22?1?对应的二次型f = __________. ?4?13???20．设矩阵A=???20?，则二次型xTAx的规范形是__________.

??01?三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1234101221．计算行列式D=的值.

3?1?10120?522．已知A=??14?，B=?20?，C=?31?，矩阵X满足AXB=C，求解X.

???11??0?1???12?????T

T

T

23．求向量β=（3，-1，2）在基α1=（1，1，2），α2=（-1，3，1），α3=（1，1，1）下的坐标，并将β用此基

线性表示.

24．设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，

β3的线性相关性.

T

?x1?x2??x3??2?25．已知线性方程组?x1??x2?x3??2，

??x?x?x???33?12（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

?111?-1

26．已知矩阵A=?111?，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使PAP=Λ.

?111???四、证明题（本题6分）

27．设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明η，ξ1，

ξ2，…，ξr线性无关.

全国2008年7月高等教育自学考试

1.设3阶方阵A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（ ）

A.-2 C.2

2.若方程组?B.0 D.6

?x1?x2?0有非零解，则k=（ ）

kx?x?02?1A.-1 B.0

C.1 D.2 3.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ ） ．．

A.|AB|=|A| |B| B. (AB)=BA

-1-1-1TTT

C. (A+B)=A+B D. (AB)=BA 4.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ ） A.

-1-1-1

1 4B.1

C.2 D.4

5.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么（ ）

A. ?1,?2,?3,?4线性无关 C. ?1可由?2,?3,?4线性表示

6.向量组?1,?2,??s的秩为r，且r

B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关 C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关 D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关

7.若A与B相似，则（ ） A.A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量 C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|

8.设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+?1是Ax=0的解 C. ?1+?2是Ax=b的解 A. ?1=（1，1，1） C. ?3=（1，-1，1） 10.设A=?B. η+（?1-?2）是Ax=0的解 D. ?1-?2是Ax=b的解 B. ?2=（-1，1，1） D. ?4=（0，1，1）

B. ?1,?2,?3,?4线性相关 D. ?3,?4线性无关

9.下列向量中与?=（1，1，-1）正交的向量是（ ）

??11?，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（ ） ??1?2?A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=___________.

T

12.已知?=（1，2，3），则|??|=___________.

?120???*

13.设A=030，则A=___________.

????002??14.设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是___________.

15.设有向量?1=（1，0，-2），?2=（3，0，7），?3=（2，0，6）. 则?1,?2,?3的秩是___________. 16.方程x1+x2-x3=1的通解是___________.

2-1

17.设A满足3E+A-A=0，则A=___________.

18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=___________.

19. 设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________.

?3?11???20.矩阵A=?102所对应的二次型是___________. ???22??1?三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

12000030000021．计算6阶行列式

001002000100000010002001

?25??12??21?，B=，C=??4?3??5?2?，X满足AX+B=C，求X. 13??????23．求向量组?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.

22．已知A=?

x3?1?x1?x2??24．当a, b为何值时，方程组? 有无穷多解？并求出其通解. x2?x3?1?2x?3x?(a?2)x?b?323?1?3?1?25．已知A=??，求其特征值与特征向量.

711??26.设A=??2?1?n

，求A. ???12?四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设?为Ax=0的非零解，?为Ax=b(b?0)的解，证明?与?线性无关.

全国2008年4月高等教育自学考试

a111．设行列式D=a21a12a22a32a13a115a11?2a12a13a23，则D1的值为（ ） a33B．-6 D．15

a31A．-15 C．6 2．设矩阵??a23=3，D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32?a?b4??2a?b????=??c?，则（ ） 0d3????A．a=3,b=-1,c=1,d=3 B．a=-1,b=3,c=1,d=3

C．a=3,b=-1,c=0,d=3 D．a=-1,b=3,c=0,d=3 3．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（ ）

?111???A．?000?

?000????111???C．?222?

?000???4．设A为n阶方阵，n≥2，则?5A=（ ）

nA．（-5）A

?111???B．?011?

?000????111???D．?222?

?333???B．-5A

C．5A

n

D．5A

5．设A=???12??=

?A，则（ ） ?34??A．-4 B．-2

C．2 D．4

6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A．α1，α2，…，αs均不为零向量

B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例 C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关

D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

T

7.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，?1，?2，?3为方程组的解，?1+?2=（2，0，4），?1+?3=（1，-2，1），则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（ ）

TT TT

A．(1,0,2)+k(1,-2,1)B．(1,-2,1)+k(2,0,4)

TTTT

C．(2,0,4)+k(1,-2,1) D．(1,0,2)+k(1,2,3) 8．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A．E-A B．-E-A C．2E-A D．-2E-A

2-1

9．设?=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A）必有一个特征值等于（ ）

T

A．

1 42222B．

1 2C．2 D．4

10．二次型f(x1,x2,x3,x4)=x1+x2+x3+x4+2x3x4的秩为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b111.行列式a2b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=____________. a3b3a3b112.设矩阵A=???12??11?T

???，P=，则AP=____________. ????34??01??001???-1

13.设矩阵A=?011?，则A=____________.

?111????122???14.设矩阵A=?2t3?，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.

?345????1??1??t???????15.已知向量组α1=?1?，α2=??2?,α3=?1?的秩为2，则数t=______________.

??2??1??1???????16.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________. 17.设向量α=（b,

T

T

122?0?2?2???18.已知?=0为矩阵A=?22?2?的2重特征值，则A的另一特征值为______________.

??2?22???19.二次型f(x1,x2,x3)=x1+2x2-5x3-4x1x2+2x2x3的矩阵为______________.

20.已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x1+(k-1)x2+(k-2)x3正定，则数k的取值范围为______________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

222222,

1）为单位向量，则数b=______________.

T

111121.计算行列式D=

120010301004的值.

?101??301?????22.已知矩阵A=?1?10?，B=?110?，

?012??014?????（1）求A的逆矩阵A；

（2）解矩阵方程AX=B.

T2

23.设向量α=（1，-1，-1，1），β=（-1，1，1，-1），求（1）矩阵A=αβ；（2）A.

TTTT

24.设向量组α1=（1，-1，2，4），α2=（0，3，1，2），α3=（3，0，7，14），α4=（1，-1，2，0），求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 25.已知线性方程组

-1

?２x3??1?x1　　???x1?x2?3x3?2 ?2x?x?5x?a3?12（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.

（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 26.设矩阵A=???87???， 12??（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.

-1

（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵?，使得PAP=?. 四、证明题（本题6分）

2-1

27.设n阶矩阵A满足A=A，证明E-2A可逆，且(E-2A)=E-2A.

全国2008年1月高等教育自学考试

1.设A为三阶方阵且A??2,则3AA?（ ） A.-108 C.12

B.-12 D.108

T?3x1?kx2?x3?0?2.如果方程组?4x2?x3?0有非零解,则 k=（ ）

?4x2?kx3?0?A.-2 B.-1

C.1 D.2 3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ） A.AB=BA

C.A?B?A?B

4.设A为四阶矩阵，且A?2,则A?（ ）

A.2 B.4 C.8 D.12

5.设?可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中?只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0）

6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量

C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量

7.设A为m?n矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关 8.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（ ） ．．A.A?B

C.存在可逆阵P，使PAP=B

-1

B.?A?B??1T?A?1?B?1

TT

D.?A?B??A?B*B.秩（A）=秩（B） D.?E-A=?E-B

?100???9.与矩阵A=?010相似的是（ ）

??002????100???A.?020

??001????110???B.?010

??002???

?100???C.?110

??002???222?101???D.?020

??001???10.设有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,则f(x1,x2,x3)（ ） A.正定 B.负定

C.不定 D.半正定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若

k112?0,则k=___________.

?32??102???12.设A=?01,B=??,则AB=___________. ?010???14????200???-1

13.设A=?010,则A=___________.

??022???14.设A为3?3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ___________.

15.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________. 16.方程组x1?x2?x3?0的通解是___________.

17.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.

2?200???18.矩阵A=?020的全部特征向量是___________.

??002???19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.

?121???20.矩阵A=?2?10所对应的二次型是___________.

??103???三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

120021.计算四阶行列式

012000122001的值.

?321????122.设A=?111,求A.

??101?????110??110??????1TT?1

23.设A=?002,B=?022,且A,B,X满足(E-BA)BX?E.求X,X.???002??????003?24.求向量组α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.

?x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?2x?x?x?3x??2?1234525.求非齐次方程组?的通解.

x?2x?2x?6x?232345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12

?2?20???126. 设A=??2,求P使PAP为对角矩阵. 1?2???0?20???四、证明题（本大题共1小题,6分）

27.设α1，α2，α3 是齐次方程组A x =0的基础解系. 证明α1，α1+α2， α1 +α2 +α3也是Ax =0的基础解系．

全国2007年10月高等教育自学考试

1．设行列式

a1a2b1b2=1，

a1a2c1c2=2，则

a1a2b1?c1b2?c2=（ ） B．-1 D．3 B．-

A．-3 C．1

2．设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（ ） A．-1 C．

1 41 4D．1

T

3．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则（ABC）=（ ）

TTT

A．ABC

TTT

C．CAB

4．设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）=A．2??-1

B．CBA

TTT

D．ACB

TTT

?12??? 34???1?12???34??，则A=（ ） ??1?12??B．?? 342???1?12??D．?? 342????1?12?C．2??34??

??5．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（ ） A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量 B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例

C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

6．设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A．A的列向量组线性无关 B．A的列向量组线性相关 C．A的行向量组线性无关 D．A的行向量组线性相关

7．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2

为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（ ）

1(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2) 21C．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2)

2A．A．

1(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2) 21D．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2)

2B．

-1

8．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B|=（ ）

1 123 2B．

1 72 3C．7 D．12

9．设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ ） A．?C．

B．?D．

2222 33 210．二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?4x1x3的矩阵为（ ）

?1?A．?2?4??1?C．?1?2?24??10? 01??12??10? 01???1?B．?0?0??1?D．?1?0?24??10? 01??10??12? 21??二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

?120??100?????11．设矩阵A=?210?，B=?021?，则A+2B=_____________.

?001??013??????013???T-1

12．设3阶矩阵A=?025?，则（A）=_____________.

?200????100???13．设3阶矩阵A=?220?，则A*A=_____________.

?333???14．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________.

15．设向量α=（1，1，1），则它的单位化向量为_____________.

TTTT

16．设向量α1=（1，1，1），α2=（1，1，0），α3=（1，0，0），β=（0，1，1），则β由α1，α2，α线性表出的表示式为_____________.

3

?x1?x2?x3?0?17．已知3元齐次线性方程组?2x1?3x2?ax3?0有非零解，则a=_____________.

?x?2x?3x?023?118．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）必有一个特征值为_____________.

-1

?3a0???19．若实对称矩阵A=?a10?为正定矩阵，则a的取值应满足_____________.

?00a???20．二次型f(x1,x2)?2x1?2x1x2?x2的秩为_____________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

22111421．求4阶行列式

113112111111的值.

22．设向量α=（1，2，3，4），β=（1，-1，2，0），求 T

（1）矩阵αβ；

（2）向量α与β的内积（α，β）. 23．设2阶矩阵A可逆，且A=??b?1T-1

?a1a2??12??01?-1

?????，对于矩阵P=，P=，令B=P1AP2，求B. 12?????b2??01??10?T

T

24．求向量组α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，4），

T

α4=（-2，-6，10，2）的秩和一个极大线性无关组. 25．给定线性方程组

?x1?x2?x3?a?3? ?x1?ax2?x3??2

?x?x?ax??223?1（1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；

（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解

系表示）.

?0?1?126．求矩阵A=????10?1??的全部特征值及对应的全部特征向量.

???1?10??四、证明题（本大题6分）

27．设A是n阶方阵，且（A+E）2

=0，证明A可逆.

全国2007年7月高等教育自学考试

1．设A是3阶方阵，且|A|=-12，则|A-1

|=（ ） A．-2 B．-

12 C．

12 D．2 2．设A为n阶方阵，λ为实数，则|λA|=（ ） A．λ|A|

B．|λ||A|

C．λn

|A|

D．|λ|n

|A| 3．设A为n阶方阵，令方阵B=A+AT

，则必有（ ）

A．BT

=B

B．B=2A C．BT

=-B

D．B=0

4．矩阵A=???1?1???的伴随矩阵A*

=?11?（ ） ?A．??1?1??1?1??

B．???1?1??????11? ?C．???11??D．??11???11??

???1?1??

??5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）

??01?1?A．?10??00??

B．?????101??

??001???100?010?C．???010?D．???

?003??101????

?100??6．若向量组αt+1，0），α（0，0，t2

1=（1，2=（1，2，0），α3=+1）线性相关，则实数t=（A．0 B．1 C．2 D．3 7．设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（ ） A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式 C．A中的3阶子式都不为0 D．A中存在不为0的3阶子式 8．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A）=（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

9．设A为n阶正交矩阵，则行列式|A2

|=（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 10．二次型f(x,y,z)?x2?y.2的正惯性指数p为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

）

?12?T

?，则行列式|AA|=____________. ??11?11112．行列式234中（3，2）元素的代数余子式A32=____________.

11．设矩阵A=??4916T13．设矩阵A=????，则AB=____________. ???，B=??1??2??1??3?14．已知α1-5α2+2α3=β，其中α1=（3，4，-1），α2=（1，0，3），β=（0，2，-5），则α3=____________.

??10???15．矩阵A=?13?的行向量组的秩?____________.

?16???16．已知向量组α1=（1，1，1），α2=（1，2，0），α3=（3，0，0）是R的一组基，则向量β=（8，7，3）在这

组基下的坐标是____________. 17．已知方程组?3

?x1?x2?0存在非零解，则常数t=____________.

?2x?tx?012?T

T

18．已知3维向量α=（1，3，-1），β=（-1，2，4），则内积（α，β）=____________.

?101???19．已知矩阵A=?010?的一个特征值为0，则x=____________.

?10x???22220．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?5x3?2x1x2?2x1x3?8x2x3的矩阵是____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21021．计算行列式D=121的值.

012?21??13???，B=??20??，求矩阵方程XA=B的解X. 53?????12?13???23．设矩阵A=?48?412?，问a为何值时，

?36?3a???22．设矩阵A=??

（1）秩（A）=1； （2）秩（A）=2.

??1??1??6???2?????????24．求向量组α1=?1?，α2=?3?，α3=?2?，α4=?4?的秩与一个极大线性无关组.

?5??6??5??1??????????x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?3的通解. 25．求线性方程组??2x?2x?6x?323?1??4?100???26．设矩阵A=?130?，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D.

?361???四、证明题（本大题6分）

27．设向量组α1，α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关.

全国2007年4月高等教育自学考试

1．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A|=（ ） A．-4

-1

B．-1

C．1

2．设矩阵A＝（1，2），B＝??D．4

?12??123???，C＝??456??，则下列矩阵运算中有意义的是（ ） 34????B．ABC

D．CBA ）

T

B．A－A

T

D．AA

A．ACB C．BAC

3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（

T

A．A＋A

T

C．AA

4．设2阶矩阵A＝???ab?＊

?，则A＝（ ） ??cd?B．???d?b??? ?ca????db?C．??c?a??

??A．????d?bc?? ?a??D．???d?c??? ?ba???33???的逆矩阵是（ ） ?10???0?1?A．??33??

??5．矩阵???0C．?1??3?1?? 1???0?3??? 13??1??1?? D．3???10????B．???10?10???6．设矩阵A=?0?234?，则A中（ ）

?0005???A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零

C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（ ） A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关

TT

8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为α=（1，0，2），β=（1，-1，3），且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为（ ）

TTTT

A．k1(1,0,2)+k2(1,-1,3) B．(1,0,2)+k (1,-1,3)

TTTT

C．(1,0,2)+k (0,1,-1) D．(1,0,2)+k (2,-1,5)

?111???9．矩阵A=?111?的非零特征值为（ ）

?111???A．4

C．2

2B．3 D．1

10．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1?2x1x2?2x1x3?2x1x4的秩为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a1b111．若aibi?0,i?1,2,3,则行列式a2b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________. a3b3a3b112．设矩阵A=???12?T

?，则行列式|AA|=____________. ?34??

?a11x1?a12x2?a13x3?0?13．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为______________.

??a31x1?a32x2?a33x3?0?1014．设矩阵A=?1??020??，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.

??001??15．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为_______________.

16．设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则向量α，β的内积（α，β）=____________. 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=_____________.

?1?2318．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：A???02?1??00a(a?1)若方程组无解，则a的取值为____________.

19．设3元实二次型f(x1,x2,x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是_____________.

?110?20．设矩阵A=??12?a0??为正定矩阵，则a的取值范围是____________.

??003??三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

12323321．计算3阶行列式 249499.

367677?1022．设A=?1??210??　,求A-1

???32?5??23．设向量组αT

T

1=（1，-1，2，1），α2=（2，-2，4，-2），α3=（3，0，6，-1）T

， （0，3，0，-4）T

.

（1）求向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

?x1?x2　　　　　?x5?024．求齐次线性方程组 ??x1?x2?x3　　　　　?0的基础解系及通解. ??　　　　x3?x4?x5?025．设矩阵A=??12??-1

?21??，求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵. ?26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：

??1??1?

α?1?????0?， α?0??1=2=?1?.

?????0????0??四、证明题（本大题6分）

27．证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则A-1

也是上三角矩阵.

?1?2??，

a?1?? α4=

?a11x1?a12x2?a13x3?0?13．若齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，则其系数行列式的值为______________.

??a31x1?a32x2?a33x3?0?1014．设矩阵A=?1??020??，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r(B)=______________.

??001??15．向量空间V={x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数}的维数为_______________.

16．设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则向量α，β的内积（α，β）=____________. 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r(A)=_____________.

?1?2318．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：A???02?1??00a(a?1)若方程组无解，则a的取值为____________.

19．设3元实二次型f(x1,x2,x3)的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是_____________.

?110?20．设矩阵A=??12?a0??为正定矩阵，则a的取值范围是____________.

??003??三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

12323321．计算3阶行列式 249499.

367677?1022．设A=?1??210??　,求A-1

???32?5??23．设向量组αT

T

1=（1，-1，2，1），α2=（2，-2，4，-2），α3=（3，0，6，-1）T

， （0，3，0，-4）T

.

（1）求向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

?x1?x2　　　　　?x5?024．求齐次线性方程组 ??x1?x2?x3　　　　　?0的基础解系及通解. ??　　　　x3?x4?x5?025．设矩阵A=??12??-1

?21??，求正交矩阵P，使PAP为对角矩阵. ?26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：

??1??1?

α?1?????0?， α?0??1=2=?1?.

?????0????0??四、证明题（本大题6分）

27．证明：若A为3阶可逆的上三角矩阵，则A-1

也是上三角矩阵.

?1?2??，

a?1?? α4=

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