四川师范大学附属中学数学轴对称填空选择专题练习(解析版)

四川师范大学附属中学数学轴对称填空选择专题练习（解析版）

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F，AB=11，AC=5，则BE=______________．

【答案】3

【解析】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD

，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以

AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．

点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．

2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；

②∠BOC=90°+

1

2

∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD=m，AE+AF=n，则AEF

S mn

?

=．

其中正确的结论是____．（填序号）

【答案】①②③

【解析】

【分析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB

的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内

角和定理，即可求出②∠BOC=90°+1

2

∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得

△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,

则△AEF的面积=1

2

mn，④错误.

【详解】

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°-1

2

∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+1

2

∠A正确；

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE,CF=OF,

∴EF=OE+OF=BE+CF，

即①EF=BE+CF正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；

∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=1

2

AE·OM+

1

2

AF·OD=

1

2

OD·（AE+AF）=

1

2

mn，故④错误；

故选①②③

【点睛】

此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.

3．如图,在△ABC中，∠C=0

90,点D在AB上，BC=BD,DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长

为

12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为_______

【答案】3

【解析】

【分析】

连接BE ，由斜边直角边判定Rt BDE ?? Rt BCE ?，从而DE CE =,再由△ABC 的周长

△ADE 的周长即可求得BC 的长．

【详解】

如图：连接BE ，

DE ⊥AB ，

090BDE ∴∠=，

在Rt BDE ?和Rt BCE ?中，

BE BE BD BC =??=?

， ∴Rt BDE ?? Rt BCE ?，

DE CE ∴=,

∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2BC+AD+AE+DE=12，

△ADE 的周长= AD+AE+DE =6，

∴BC=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质以及和三角形有关的线段，连接BE 构造全等三角形是解答此题的关键.

4．如图，10AB =，45A B ∠=∠=?，32AC BD ==E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；

④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．

和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）

【答案】②③④【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.

【详解】

①如图1，过点C作CM AB

⊥，过点D作DN AB

⊥

32,45

A B

AC BD∠=∠

==

=?

3

CM AM DN BN

∴====

4

CE DF

==

由勾股定理得：2222

7,7

ME CE CM NF DF DN

=-==-=

37,37

AE AM ME BF BN NF

∴=-=-=+=+，即AE BF

≠

此时，ACE

?和BDF

?不全等

②AF BE

=

AF EF BE EF

∴+=+，即AE BF

=

又452

,3

AC D

A B B

∠=∠=?==

则由SAS定理可得，ACE BDF

???

③

CEB DFA

CEB C A

DFA D B

∠=∠

?

?

∠=∠+∠

?

?∠=∠+∠

?

C A

D B

∴∠+∠=∠+∠

又A B

∠=∠

C D

∴∠=∠

32

AC BD

==

则由ASA定理可得，ACE BDF

???

④由（1）知，当5

CE DF

==时，2222

4,4

ME CE CM NF DF DN

-=-=此时，

,

,

CE CA DF BD

ME AM NF BN

>>

?

?

>>

?

则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧

又10

AM BN ME AM BN NF AB

++=++==

则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示

因此必有3

47

AE BF

==+=

由SSS定理可得，ACE BDF

???

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.

5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是

__________.

【答案】(3，－1)

【解析】

分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．

详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴DC=BE，AD=CE，

∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(?2,0)，

∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，

∴则B点的坐标是(3,?1).

故答案为(3,?1).

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.

6．在ABC中给定下面几组条件：

①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；

②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；

③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；

④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．

若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【详解】

解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；

②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和

△BCD，

错误；

③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；

④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.

故答案为：①③④．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．

7．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠C＜90°，若∠B满足条件：______________，则△ABC≌△DEF．

【答案】∠B≥∠A．

【解析】

【分析】

虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件．

【详解】

解：需分三种情况讨论：

第一种情况：当∠B 是直角时：

如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；

第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ．

∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．

∴180°-∠B=180°-∠E ，

即∠CBG=∠FEH ．

在△CBG 和△FEH 中，

CBG FEH G H

BC EF ∠∠??∠∠???

＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），

∴CG=FH ，

在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，

AC DF CG FH

???＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），

∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，

A D

B E

AC DF ∠∠??∠∠???＝＝，＝

∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；

第三种情况：当∠B 是锐角时：

在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等，

所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；

由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ，

∴∠A ＞∠B ，

∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了，

则△ABC ≌△DEF ．

故答案为：∠B≥∠A ．

【点

睛】

本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

8．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点

H，

∠DEC=30°，HF=

3

2

，则EC=______

【答案】6

【解析】

【分析】

延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．

【详解】

如图，延长AF交CE于P，

∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，

∴∠ABH=∠PAC，

∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，

∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，

∴∠AHF=∠EPF，

∴∠AHB=∠APC，

在△ABH与△APC中，

ABE PAC

AB AC

AHB APC

∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

，

∴△ABH≌△APC（ASA），

∴AH=CP，

在△AHF与△EPF中，

90

AHF EPF

AFH EFP

AF EF

∠∠

?

?

∠∠?

?

?

?

＝

＝＝

＝

，

∴△AHF≌△EPF（AAS），

∴AH=EP，∠CED=∠HAF，

∴EC=2AH，

∵∠DEC=30°，

∴∠HAF=30°，

∴AH=2FH=2×

3

2

=3，

∴EC=2AH=6．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．

9．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，CO＝3，则两平行线间AB、CD的距离等于________．

【答案】4

【解析】

试题解析：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB∥CD，

∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，

∴OM=OE=2，

∵CO是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC，ON ⊥CD

，

∴ON=OE=2，

∴MN=OM+ON=4，

即AB与CD之间的距离是4．

点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．

10．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为

___________．

【答案】a+b

【解析】

先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长

=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．

故答案为：a+b

二、八年级数学全等三角形选择题（难）

11．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是

( )①；②；③；④若，且，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.

【详解】

解：∵与都是等边三角形

∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC

即∠DAC=∠EAB

∴

∴，①正确；

∵

∴∠ADO=∠ABO

∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确

∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB

∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB

∴,③错误

∵

∴∠DAC+∠BCA=180°

∵∠DAB=60°，

∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°

∵∠ACE=60°

∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°

∴④正确

故由①②④三个正确，

故选：C

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

）

12．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（

A．五对B．四对C．三对D．二对

【答案】A

【解析】

如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；

④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；

∴图中共有5对全等三角形.故选A.

13．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )

A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等

C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等

【答案】B

【解析】

根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；

根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．

根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；

根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.

故选B.

点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.

14．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，

AB=18cm，则△DBE的周长为（）

A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm

【答案】C

【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证

△ACD≌△AED，

所以AE=AC=BC，ED=CD.

△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.

因为AB=12，所以△DBE的周长=12.

故选C.

点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.

15．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）

A．2B．2

C．2D2-1

【答案】B 【解析】 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为

1，腰长为22

； 第一次折叠后，等腰三角形的底边长为2，腰长为12，所以周长为1122122++=+. 故答案为B.

16．如图，ABC △中，60BAC ∠=?，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=?．下列结论：

①120BEC ∠=?；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】D

【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出

∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．

详解：∵60BAC ∠=?，

∴18060120ABC ACB ∠+∠=?-?=?，

∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，

∴12EBC ABC ∠=∠，12

ECB ACB ∠=∠，

∴

11

()12060

22

EBC ECB ABC ACB

∠+∠=∠+∠=??=?，∴180()18060120 BEC EBC ECB

∠=?-∠+∠=?-?=?，故①正确．

如图，过点D作DF AB

⊥于F，DG AC

⊥的延长线于G，∵BE、CE分别为ABC

∠、ACB

∠的平分线，

∴AD为BAC

∠的平分线，

∴DF DG

=，

∴36090260120

FDG

∠=?-??-?=?，

又∵120

BDC

∠=?，

∴120

BDF CDF

∠+∠=?，120

CDG CDF

∠+∠=?．

∴BDF CDG

∠=∠，

∵在BDF和CDG

△中，

90

BFD CGD

DF DG

BDF CDG

∠=∠=?

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴BDF≌()

CDG ASA，

∴DB CD

=，

∴

1

(180120)30

2

DBC

∠=?-?=?，

∴30

DBC DBC CBE CBE

∠=∠+∠=?+∠，

∵BE平分ABC

∠，AE平分BAC

∠，

∴ABE CBE

∠=∠，

1

30

2

BAE BAC

∠=∠=?，

根据三角形的外角性质，

30

DEB ABE BAE ABE

∠=∠+∠=∠+?，

∴DEB DBE

∠=∠，

∴DB DE

=，故②正确．

∵DB DE DC

==，

∴B、C、E三点在以D为圆心，以BD为半径的圆上，

∴2

BDE BCE

∠=∠，故③正确，

综上所述，正确结论有①②③，

故选：D．

点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．

17．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90?，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：

①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，

∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，

∴∠BAD=45°=∠CAD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC=22.5°，

∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，

∴AF=AE，故①正确；

∵M为EF的中点，

∴AM⊥EF，故②正确；

过点F作FH⊥AB于点H，

∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，

∴FD=FH＜FA，故③错误；

∵AM⊥EF，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中

{

FBD DAN

BD AD

BDF ADN

∠∠

∠∠

＝

＝

＝

∴△FBD≌△NAD，

∴DF=DN，故④正确；

故选C．

18．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S ，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；

③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）

A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B

【解析】

【分析】

连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得

△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.

【详解】

解:如图

连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,

AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,

△APR≌△APS.

AS=AR,

又QP/AR,

∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，

∠1=∠3,

AQ=PQ,

没有办法证明△PQR ≌△CPS,③不成立,

没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.

所以B 选项是正确的.

【点睛】

本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.

19．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠?，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（

）

A ．AD BC CD =-

B ．AD B

C AC =- C ．A

D BC AP =-

D ．AD BC BD =-

【答案】B

【解析】

【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．

【详解】

解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC

∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，

，∴∠ACD=∠BCD

∵CD平分ACB

又∵CD=CD，CE=CA

∴△ACD≌△ECD，

∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B

又∠CED=∠B+∠BDE

∴∠B=∠BDE

∴AD=DE=BE，

∴BC=BE+EC=AD+AC

所以AD=BC-AC

故选：B

若A选项成立，则CD=AC，

∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB

∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°

即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°

∴∠A=72°，∠B=36°

∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;

假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，

∴△CAF≌△PAF≌△PBF，

∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°

∠B=30°，∠ACB=90°

当∠ACB=90°时，选项C才成立，

∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；

假设D选项成立，则AD=BC-BD

由图可知AD=BA-BD

∴AB=BC

∴∠A=∠ACB=2∠B

∴∠A+∠ACB+∠B=180°

∴∠B=36°，∠ACB=72

这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．

故选：B

【点睛】

本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．

,,

20．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明

△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.

【详解】

∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，

∴∠BAE=120°，

∴∠EAD=60°，②正确，

∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴AC=AD，

∵CE=DE，

∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，

当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，

∵∠AEC=∠BDC，

∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，

∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED

∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，

如图，当点D 在AB 上时，

∵△BCD ≌△∠ACE ，

∴∠CAE=∠CBD=60°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，

∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°

，③错误

故正确的结论有①②④，

故选C.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握

21．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（

）．

A ．PA P

B =

B ．PO 平分APB ∠

C ．OA OB =

D ．AB 垂直平分OP

【答案】D

【解析】

【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．

【详解】

解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥

∴PA PB =，选项A 正确；

在△AOP 和△BOP 中，

PO PO

PA PB

=

?

?

=

?

，

∴AOP BOP

?

∴APO BPO

∠=∠，OA=OB，选项B，C正确；

由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．故选：D．

【点睛】

本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．

22．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED，EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；

④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）

A．①③B．①②④C．①②③④D．②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

【详解】

∵AD为△ABC的高线，

∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，

∵Rt△ABE是等腰直角三角形，

∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，

∴∠CBE+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠CBE，

在△DAE和△CBE中，

AE BE

DAE CBE

AD BC

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ADE≌△BCE（SAS）；

故①正确；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k3ie.html