1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程

一、基础过关

i－1i

1． 当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[上的值，可以近似代替为

nn

1

A．f

n

2iB．f) C．f()

nn

D．f(0)

( )

2． 在等分区间的情况下f(x)＝

确的是

n

1

x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正1＋x

( )

1

n

212

A.lim∑[] B.lim∑i2n2i2nn→∞i＝1n→∞i＝11＋ 1＋

nnnn

111

C.lim∑ ) D.lim∑[·n] i2n→∞i＝11＋inn→∞i＝1

1＋ n

3． 把区间[a，b] (a<b)n等分之后，第i个小区间是

( )

i－1ii－1iA．[] B．[(b－a)，(b－a)]

nnnni－1i－1iiC．[a＋，a＋ D．[ab－a)，a＋(b－a)]

nnnn

4． 一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为

( )

1

A. 3

1

B. C．1 2

3 2

二、能力提升

5． 由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面

积的的近似值(取每个区间的右端点)是 1

A. 19

( )

11111 B. 2562725

D. 64

6． 若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为 ( )

A．1

B．2

C．3

D．4

i

7．∑ ＝________. i＝1n

8． 在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]

等分成n个小区间，则第i个区间为________．

9． 已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函

数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 10．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．

11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．

三、探究与拓展

6

12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝，求物体在t＝1到t＝2这段时间

t

内运动的路程s.

n

答案

n＋1n＋i－1n＋i

1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C 7.8．．55

2nn10．解 令f(x)＝x2.

(1)分割 将区间[0,2]n等分，分点依次为 2 n－1 24

x0＝0，x1＝x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.

nnn

2i－22i2i2i－22

第i个区间为[](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx.

nnnnn2i

(2)近似代替、求和 取ξi＝i＝1,2，…，n)，

n

n

2i2i228n2828n n＋1 2n＋1 22

Sn＝∑f()·Δx＝∑ (＝∑i＝(1＋2＋…＋n)＝nni＝1nn6i＝1ni＝1n

n

431＝(2＋． 3nn(3)取极限

43188S＝limS＝lim ＋＋＝，即所求曲边梯形的面积为. n

nn33n→∞n→∞311．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．

i－1it

把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为i＝1,2，…，n)，

nniti－1t

每个小区间所表示的时间段Δt＝t＝，

nnn在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．

(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． i－1it

在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，

nn

i－1

可取ξi使v(ξi)＝g近似代替第i个小区间上的速度，

nt

因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为

ni－1t

Δsi≈gti＝1,2，…，n)．

nn

i－1tgt2121

(3)求和： sn＝∑Δs＝∑g[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝gt(1－． i

nnn2ni＝1i＝1

n

n

12112

(4)取极限：s＝lim gt(1－＝gt.

n2n→∞21

即在时间区间[0，t]2.

212．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n个小区间[1＋

i－1i

，1＋i＝1,2，…，n)，区间长度nn

n1

为Δt，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则sn≈ Δsi.

ni＝1

(2)近似代替：ξi－1

i＝1＋n

(i＝1,2，…，n)，

Δsi－1n16n

i≈v(1nt＝(n＋i－12n＝ n＋i－1 i＝1,2，…，n)．

(3)求和：

s＝6n6n

n n＋i－1 n＋i n＋i－1

＝6n1n1n＋11n＋1－1n＋2…11112n－1－2n)＝6nn2n)＝3.

(4)取极限：s＝limn

→∞

sn＝3.

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