2012中考数学经典几何综合题

几何综合题

在2006-2011年北京中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求（与几何内容有关的“C”级要求）

图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。

图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线

解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例：

A1、与相似及圆有关的基本图形 A B'B'C'A AB'AB' B'C'C'B'C' CBCBBO O BCCBC AAA A EDEDCF OBCD DBDCBCE OCOA C C'AOCBBEDAGF第1页（讲稿版）

BFEB

2、正方形中的基本图形

3、基本辅助线

（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】*

（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*

（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见．．．．(一)7】

作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（P5——2006北京，25*）??

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

三.题目举例

在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：

第一阶段：基本图形、辅助线等的积累——在讲授综合题目前，搭配方法类似的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。

第二阶段：反思与总结——引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。 第三阶段：综合能力的提升——学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书写过程时抓住要点，简明有条理性。

(一)基本图形与辅助线的添加 #角平分线（【类】P5——2006北京，23；西城中考总复习P57-例6） 1、（2010宣武一模，23）已知： AC平分?MAN

（1）在图1中，若?MAN?120?，?ABC??ADC?90?，AB?AD___AC。（填写“?”或“?”或“?”）

（2）在图2中，若?MAN?120?，?ABC??ADC?180?，则（1）中结论是否仍然成

第2页（讲稿版）

立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中：

①若?MAN?60?，?ABC??ADC?180?，判断AB?AD与AC的数量关系，并说明理由；

?ABC??ADC?180?，②若?MAN??(0????180?)，则AB?AD?_____AC（用

含?的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

23.解：(1) AB＋AD = AC．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．

证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F， 则∠CEA=∠CFA=90°．

∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．

又∵ AC=AC， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF，CE=CF．

∵ 在Rt△CEA中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．

∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．

又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC．

∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC．

证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH．

∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=3AC．∴AG+AH=3AC．

2∴GD+DA+AH=3AC． 方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC．

∴AD+AB=3AC．-------------------------------------------------------------------------------------6分 ②AB＋AD＝2cos?·AC．-------------------------------------------------------------------7分

2MEDACNFBMGCDAHBN

中位线/中线*2、（2010海淀一模，25）已知：△AOB中，AB?OB?2，△COD中，

第3页（讲稿版）

CD?OC?3, ∠ABO?∠DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.

B

AMOB AMOPPNDNCDC图1 图2 AD?________； BC(1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?60?，则△PMN的形状是________________，此时

(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO?2?，证明△PMN∽△BAO，并计算

AD的值（用含?的式子表示）； BC(3) 在图2中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.

第4页（讲稿版）

#直角三角形斜边中线3、（2011海淀一模，25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF?kEF，则k = ； （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，

求线段CF长度的最大值．

第5页（讲稿版）

1. 2

AAA

DEEDFFCB图1

CB图2CB备图25． 解：（1）k=1； ………….……………………………2分

（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

由题意，tan∠BAC=

1BCDE1，∴ ??. 2ACAE2A∵ D、E、B三点共线，∴ AE⊥DB.

∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°, ∴ ∠QBC=∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°， ∴ ∠ECA=∠BCG. ∴ △BCG∽△ACE. ∴

DEQFGCBCGB1??. ∴ GB=DE. ACAE2B图2∵ F是BD中点， ∴ F是EG中点. 在Rt△ECG中，CF?（3）情况1：如图，当AD=

1EG, ∴ BE?DE?EG?2CF. 2……………………5分

1AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， 31D∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6, 2∴AC=12，AB=65.

∵M为AB中点，∴CM=35, A1AC， 3∴AD=4.

∵AD=

∵M为AB中点，F为BD中点， ∴FM=

MF1AD= 2. 2CB∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2?35.6分

2情况2：如图，当AD=AC时，取AB的中点M，

3连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF的最大值为4?35. …7分 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的

第6页（讲稿版）

ADMFCB

三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4?35.………8分

#直角三角形斜边中线+四点共圆（【类】西城中考总复习P61-17）*4、已知：在△ABC中，∠ABC=90?, 点E在直线AB上, ED与直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM.

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足

的数量关系, 并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明;

（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM

与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系. BB

EMADCDDEEAAMMCCB图1 图2

#倍长过中点的线段5、（2008年北京，25）请阅读下列材料：

P是线段DF问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，

的中点，连结PG，PC．若?ABC??BEF?60?，探究PG与PC的位置关系及值．

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

C C D D

G P P F

G F B A

E A B

图2 E 图1

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

PG的PCPG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任

PG的值（用含?的式子表示）． PCPG解：（1）线段PG与PC的位置关系是 ；? ．

PC意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

第7页（讲稿版）

25．解：(1)线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；

PG?3． PC(2)猜想：(1)中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长GP，交AD于点H，连结CH、CG． ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP．

由题意可知AD∥FG． ∴∠GFP＝∠HDP． 又∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP． ∴GP＝HP，GF＝HD． ∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．

由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得∠GBC＝60°．

∴∠HDC＝∠GBC．∵四边形BEFG是菱形， ∴GF＝GB．∴HD＝GB．∴△HDC≌△GBC． ∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．

∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°．

即∠HCG＝120°．∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．

?PG?3． PCPG?tan(90???)． (3)PC

第25题答图

#共端点的等线段，旋转6、（2010西城一模，24）如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，tanB?2.

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.

求证：DF?EF?2AF；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作

EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写

第8页（讲稿版）

出你的结论.

第9页（讲稿版）

A D

A

D A D

F B

E

图1

C

B P

E

图2

C

B E

图3

C

24．证明：（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴

tanB?AE?2 BEA H 1 D

∴AE?2BE． ································································ 1分 ∵E为BC的中点，

∴BC?2BE．

F 2 ∴AE=BC. ∵ABCD是平行四边形， C B P E ∴AD=BC.

图8 ∴AE=AD. ·························································································································· 2分 （2）在DP上截取DH=EF（如图8）．

∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ∴∠EAD=90°． ∵EF⊥PD，∠1＝∠2， ∴∠ADH=∠AEF． ∵AD=AE，

∴△ADH≌△AEF． ······························ 4分 ∴∠HAD=∠FAE，AH=AF． ∴∠FAH ==90°．

在Rt△FAH中， AH=AF，∴FH?2AF．

∴FH?FD?HD?FD?EF?2AF． 即DF?EF?H

A D B

E

2AF．

P C F

5分

图9

（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF、EF、AF之间的数量关系为：DF?EF?2AF．

利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线7、（2006年北京，25）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两

边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC?BD，

且?AOD?60．

求证：BC?AD≥AC．

证明：过点D作DF∥AC，在DF上截取DE，使DE?AC． 连结CE，BE．

???第10页（讲稿版）

(3)CF－BE= AD ???????????????8分

由特殊形解题启发构造哪些相等的角3、（2011南京，27）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴ 图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过

点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

A A A

D P E B C B C B C ① ② ③

(三) 一题多解与题目的变式及类题

DC1、*（西城中考总复习P64例5）点M为正方形ABCD的边AB（或延长线

上）任一点（不与A，B重合），?DMN?90?，射线MN与?ABC的外角平分线交于点N，求证：DM=MN.

AMB【变式】

A、方法类比，改变图形

A（1）等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不与A，B重合）， 作 ?ADE?60?， DE交∠C的外角平分线于E，判断△ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立?

（2）(2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，BCDNEE?FMH?120?,MH与六边形?ABC外角的平分线BQ交于H点.

①当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH;

②当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明. B、改变背景

（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC的顶点

FEDCQHAMBNyCBGPO在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AC交于点P.

（1）当点E坐标为(3，0)时，试证明CE?EP；

FOE

A（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t?0）”，结论

CE?EP是否仍然成立，请说明理由；

第16页（讲稿版）

（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，请证明；若不

存在，请说明理由.

A D2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF

＝45°，求证：EF＝BE＋FD． 【变式】方法类比，特殊到一般 FA削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝

CAD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的BED点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FFD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.

改变图形（2）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC

BEC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE

＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知：等边三角形ABC

（1） 如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间

的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

A A

BPBP图1 CC图2 D【类题】1、（2011丰台一模，25）已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的

C∠ACB的度数.

DC

AB

ABC

DBAD

图1 图2 图3

第17页（讲稿版）

25．解：（1）33；????????????????1’ （2）36?32； ????????????????2’

（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，

∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a， ∴△CDE为等边三角形，

∴CE=CD. ????????????????4’ CC

B EABA

E

D

D当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE

当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b；

此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，????????7’ 因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b.

启发构造三角形转移线段2、（2009西城一模，25）已知：PA?2，PB?4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB的大小.

3、*（学探诊P42-15）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．

（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取

（2） 若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图

3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

图1 图2 图3

【类题】（2011平谷一模，24）已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上,BC＝kAB (k≠0).

（1）当k＝1时，在图（1）中，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F.，写出线段EF

与EB的数量关系，并加以证明；

第18页（讲稿版）

（2）若k≠1，如图(2)，∠BEF＝∠ABC，其它条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由．

（1） （2）

(四) 方法的综合应用

1、（2007北京，23）如图，已知△ABC．

（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并．．．．．表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB?AC?AD?AE．

ABC2、（2010年北京，25）问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究?DBC与?ABC度数的比值。 B 请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；

当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ； 可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ； AC(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

3、（2010西城二模，24）在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜

1（AB+AC）； 2（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．

①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；

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②请在图3中证明：BC≥

1DE． 2 4、（2011北京中考，24）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明CE?CF；

（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

DDAA

D A

CCECE BEBB

GFFG F

(五)动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点；

(3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。

由位置的不确定引发的分类讨论1、（2011上海，25）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=

12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关

于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，

DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发

第20页（讲稿版）

沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）． （1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

与面积有关的动点问题3、（2011东城一模，24）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，

求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的

长.

图1 图2 图3

4、（2009年北京，24）在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）. （1）在图1中画图探究：

①当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连结EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1.判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；

②当P2点为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EG2.判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6，tanB?4， AE =1，在①的条件下，设CP1=x，S?P1FG1 =y，求y与x之间的3函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

图1

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图2（备用）

5、（2011西城二模，24）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．

（1）当t＝2时，PH= cm ，DG = cm； （2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由； （3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．

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