2013年福建省高中基础会考数学大纲

2013年福建省普通高中学生学业基础会考

数学学科考试大纲

（试 行）

一、命题依据

依据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、福建省教育厅颁布的《福建省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见（试行）》、《福建省普通高中学生学业基础会考方案（试行）》和《2013年福建省普通高中学生学业基础会考数学学科考试大纲（试行）》，并结合我省普通高中数学学科的教学实际情况进行命题。

二、命题原则

1．导向性原则。面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、健康的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥基础会考对普通高中数学学科教学的正确导向作用。

2．基础性原则。突出学科基础知识、基本技能，注重学科基本思想和方法，考查初步应用知识分析、解决问题的能力，试题难易适当，不出偏题和怪题。

3．科学性原则。试题设计必须与考试大纲要求相一致，具有较高的信度、效度。试卷结构合理，试题内容科学、严谨，试题文字简洁、规范，试题答案准确、合理。

4．实践性原则。坚持理论联系实际，试题背景应来自学生所能理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实和其他学科现实，贴近学生的生活实际，关注数学的应用及其与社会的联系。

5．公平性原则。试题的考查内容、素材选取、试卷形式对每个学生而言要体现公平性，制定合理的评分标准，尊重不同的解答方式和表现形式。

三、考试目标要求

高中毕业会考数学科考试的主要考查方面包括：中学数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法。

1．知识

知识要求是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理。

基本技能包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等。

1

对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。

（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。

这一层次所涉及的主要行为动词有了解，知道，识别，模仿等。

（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测，想像，比较，判别，会求，会解，初步应用等。

（3）掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导、证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，选择，决策，解决问题等。

2．能力

能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

（1）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

（2）抽象概括能力：对具体的实例，通过抽象概括，能发现研究对象的本质属性；并从给定的信息材料中，概括出一般性结论，同时能将其用于解决问题或作出新的判断。

（3）推理论证能力：推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法。应学会运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。会根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性。

（4）运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求借助计算器对数据进行估计和近似计算。

（5）数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定实际问题。

（6）应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解问题陈述的材料，并对所提

2

供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决。

（7）创新意识：对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。

3．数学思想方法

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，主要考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、或然与必然的思想等。对数学思想方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映学生对数学思想方法的理解和掌握程度。考查时，要从学科整体意义上考虑，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测学生对中学数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度。

4．个性品质

个性品质是指学生个体的情感、态度和价值观。要求学生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。

四、考试内容

普通高中《数学课程标准》所规定的五个必修模块的学习内容。具体分述如下：

（一）集合

1.集合的含义与表示

了解集合的含义，了解元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述具体问题。

2.集合间的基本关系

理解集合之间包含与相等的含义；了解全集、子集、空集的含义。 3．集合的基本运算

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解补集的含义，会求给定子集的补集；会用Venn图表达两个简单集合间的关系及运算。

（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ

1.函数

3

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）；理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。 2．指数函数

理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算及性质；理解指数函数的概念及其单调性，掌握函数图象通过的特殊点，会画底数为2、3、10、1、1的指数函数的图象；知道指数函数是一类重要的函数模型。

233. 对数函数

理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用；理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2、10、1的对数函数的图象；知道

2对数函数是一类重要的函数模型，知道指数函数y?ax（a > 0,且 a≠1） 与对数函数y?logax（a > 0, a≠1）互为反函数。 4. 幂函数

了解幂函数的概念；了解幂函数y=x,y=x2,y=x3,y?x,y?121的图象的变化x情况。

5．函数与方程

了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性与根的个数；会用二分法求相应方程的近似解。

6.函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，知道直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

（三）立体几何初步

1.空间几何体

了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,会用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；会用平行投影方法画出简单空间图形的三图视与直观图,了解空间图形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

2. 点、直线、平面之间的位置关系

4

理解空间直线、平面位置关系的定义，会用以下公理和定理进行推理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。 理解以下判定定理并用以证明一些空间位置关系的简单命题：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 掌握以下性质定理并用以证明一些空间位置关系的简单命题：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。 ◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（四）平面解析几何初步

1．直线与方程

掌握确定直线位置的几何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离。

2．圆与方程

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；了解用代数方法处理几何问题的思想。

3．空间直角坐标系

了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标刻画点的位置；会求空间两点间的

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距离。

（五）算法初步

1.算法的含义、程序框图

了解算法的含义，了解算法的思想；理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

2. 基本算法语句

了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。 3．算法案例

了解秦九韶算法、辗转相除法、更相减损术等算法案例。

（六）统计

1. 随机抽样

理解随机抽样；会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。

2. 用样本估计总体

了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解他们各自的特点；理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）；能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释；会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解样本估计总体的思想；会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。

3. 变量的相关性

会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）。

（七）概率

1. 事件与概率

了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式。

2．古典概型

理解古典概型及概率计算公式；会计算一些随机事件的基本事件数及其发生的概率。

3．随机数与几何概型

了解随机数的意义，了解几何概型的意义，能运用模拟方法估计概率。

（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）

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1．任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制的概念；能进行弧度与角度的互化。 2．三角函数

理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能用单位圆中的三角函数线推导出???的正弦、余弦、正切的诱导公式及???的正弦、余弦的诱导公

2式；能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性；理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与

??x轴交点等），理解正切函数在（－，）上的单调性；理解同角三角函数的基

22本关系式：sin2x+cos2x=1，

sinx=tan x；了解函数cosxy?A?x??的实际意

义，了解函数y?Asin(?x??)中参数A，?，?对函数图象变化的影响；会用三角函数解决一些简单实际问题。

（九）平面向量

1．平面向量的实际背景及基本概念

了解向量的实际背景；理解平面向量概念和两个向量相等的含义；理解向量的几何表示。

2．向量的线性运算

掌握向量加、减法的运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示

了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积

理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；会运用数量积表示两个向量的夹角，会判断两个平面向量的垂直关系。 5．向量的应用

会用向量方法解决一些简单的平面几何问题；会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

（十）三角恒等变换

1．两角和与差的三角函数公式

会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的

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内在联系。

2．简单的三角恒等变换

能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

（十一）解三角形

1．正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2．正弦定理和余弦定理的应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

（十二）数列

1．数列的概念和简单表示法

了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；知道数列是自变量为正整数的特殊函数。

2．等差数列、等比数列

理解等差数列、等比数列的概念；掌握等差数列、等比数列的通项公式与前

n项和公式；能判断数列的等差或等比关系，并用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题；了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系。

（十三）不等式

1．不等关系与一元二次不等式

了解不等式（组）的实际背景，会从实际问题的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式。

2．二元一次不等式组与简单线性规划问题

会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

3．基本不等式： ab?a?b（a,b≥0） 2了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

五、考试形式

考试采用闭卷笔试的形式，全卷100分，考试时间90分钟。

六、试卷结构

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试卷包含选择题、填空题和解答题三种题型。其中选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等。解答应写出文字说明、演算步骤或推理论证过程。三种题型所占分数的百分比约为：选择题占45%，填空题占15%，解答题占40%。

试题按其难度分为容易题，中档题和稍难题。其中难度值为0.8以上的试题为容易题，约占80%；难度值为0.6～0.8之间的试题为中等难度题，约占10%；难度值为0.4～0.6之间的试题为较难题，约占10%；不出现难度值为0.3以下的试题。试卷的总体难度值控制在0.8左右。

七、题型示例

1【例1】函数f(x)?()x在区间 [?2,?1]上的最大值是

31A．1 B．9 C. 27 D．

3说明：此题属于容易题，考查指数函数的单调性和最值，可以通过图形判断

最大值．

【例2】在编制将两变量a,b的数值交换的正确的程序中，必须使用到的语句是

A.输入、输出语句 B. 输入、输出语句，条件语句 C.输入、输出语句，赋值语句 D. 输入、输出语句，循环语句 说明：此题属于容易题，考查基本算法语句的应用．

【例3】已知在?ABC中，a?5，b?15，A?300，则c等于

A．25 B.5或25 C.15 D.以上都不对

说明：此题属于中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用． 【例4】不等式6x2?x?2?0的解集是

?32??32?C.?x|x?1? D.?x|x?2,或x??1?

232A.x|?2?x?1 B .x|x??2,或x?1

说明：此题属于容易题，考查一元二次不等式的解法．

【例5】某中学有高级教师28人，中级教师54人，初级教师81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是

A．简单随机抽样 B．系统抽样

C．分层抽样 D．先从高级教师中随机剔除1人，再用分层抽样 说明：此题属于容易题，考查统计的有关知识．

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【例6】已知两个不同平面?、?，如果平面?内的两条相交直线m,n都和直线b垂直,且b⊥?,则平面?与?的关系是 ．

说明：此题属于容易题， 考查线线垂直、线面垂直、面面平行的定理的应用．

【例７】如图，已知函数y＝Asin(ωx＋?)，在同一周期

?4?时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最

99小值－2，则该函数的解析式为_______________． 内，当x＝

说明：此题属于中档题，考查三角函数的图像与性质． 【例8】已知数列

?an?的前n项和为Sn，Sn?1?an?1??n?N?

3* ⑴ 求 a1,a2； ⑵ 求证：数列?an?是等比数列．

说明：此题属于中档题，考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用． 【例9】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱BB1=4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．

（1）求截面BDE分长方体ABCD-A1B1C1D1两部 分体积比；

（2）求证：A1C⊥BE．

说明：此题属于稍难题，考查空间线面的位置关系和三棱锥体积的求法等。

【例10】有一批材料可以建成长为200m的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？

说明：此题属于稍难题，考查数学建模能力．

【例11】已知圆C:(x?3)2?(y?4)2?4，直线l1过定点A(1，0)． （Ⅰ）若l1与圆相切，求l1的方程；

（Ⅱ）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2:x?2y?2?0的交点为N，求证:AM?AN为定值．

说明：此题属于稍难题，考查直线和圆的位置关系及用代数方法处理几何问

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题的思想．

八、参考试卷

一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合M??0,1,2?,N??0,1?，则M?N?

A．?2? B．?0,1? C．?0,2? D．?0,1,2? 2．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体是

正视图

侧视图俯视图

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．当输入a的值为1，b的值为?3时，右边程序运行的结果是 A．1

INPUT a，b B．?2

a=a+b C．?3

PRINT a D．2

END ?4．函数y?2sin(2x?)的最小正周期是

6?A．4? B．2? C．? D．

25．下列函数中，在?0,???上是减函数的是

?1?x?x?0?2xA．y? B．y?x?1 C．y?2 D．y??

x?xx?0?????x?y?1?06．不等式组?表示的平面区域是

?x?1 11

yyyy-1O1x-1O1x-1O1x-1O1ABCD

7．函数y?1?sinx的部分图像如图所示，则该函数在?0,2??的单调递减区间是

?3? ? 2?

22?3????3?????A．?0,?? B．?,? C．?0,? D．?,2??

?2??22??2?8．方程x3?2?0的根所在的区间是

A．??2,0? B．?0,1? C．?1,2? D．?2,3? 9．已知向量a?(2,1)，b?(3,?)，且a⊥b，则?? A．?6 B．6 C．10．函数y?log2?x?1?的图像大致是

33 D．? 22

11．不等式x2?3x?0的解集是

A．?x0?x?3? B．?x0?x?3? D．?xx?0,或x?3? C．?xx?0,或x?3? 12．下列几何体的下底面面积相等，高也相等，则体积最大的是

12

ABCD

13．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是

?44??A． B． C． D．?

44?314．已知cos???????，则cos2a?

5161677A． B．? C． D．?

2525252515．在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如下．下列说法正确的是

甲乙A．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定 2 10B．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比101甲稳定 22 3 4C．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比038 9甲稳定

D．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分。把答案填在题中的横线上）

C????????????16．如图，化简AB?BC?CD? ．

17．若函数f?x?是奇函数，且f?2??1，则

DBf??2?? ．

18．某田径队有男运动员30人，女运动员10人．用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有 人． 19．对于右边的程序框图，若输入x的值是5，则输出y的值是 ． 20．已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别

开始 输入x A第16题图x?3 是 否 y=0.2

13

y=0.1x 输出y 结束 是a,b,c，且A?30?,B?45?,a?2，则b? ．

【第19题图】

三、解答题（本大题有5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

?34?21．（本小题满分6分）已知角?的终边经过点P?,?．

55??（1）求sin?；

y???（2）根据上述条件，你能否确定sin????的值？若能，

?4????求出sin????的值；若不能，请说明理由．

?4?

OP1x22．（本小题满分8分）已知Sn是等差数列?an?的前n项和，且a1??1,S5?15． （1）求an；

（2）令bn?2an?n?1,2,3,??，计算b1,b2和b3，由此推测数列?bn?是等差数列还是等比数列，证明你的结论．

23．（本小题满分8分）已知两点O?0,0?,A?6,0?，圆C以线段OA为直径． （1）求圆C的方程；

（2）若直线l1的方程为x?2y?4?0，直线l2平行于l1，且被圆C截得的弦MN的长是4，求直线l2的方程．

24．（本小题满分8分）如图，在四面体P?ABC中，

P 14

FBEADCPA?平面ABC，AB?3,AC?4,BC?5，且D,E,F分别为BC,PC,AB的中点．

（1）求证：AC?PB；

（2）在棱PA上是否存在一点G，使得FG∥平面ADE？证明你的结论．

25．（本小题满分8分）某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据． 销售单价/元 日销售量/件 根据表中的数据回答下列问题：

（1）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？

（2）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；

（3）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（2）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润．

提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析．

y65 15 50 60 45 75 35 105 15 165 Ox参考答案与评分标准 一、选择题（本题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分45分）

1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．A 10．D 11．D 12．A 13．A 14．D 15．C

二、填空题（本题主要考查基础知识和基本运算．每小题3分，满分15分）

????16．AD 17．－1 18．5 19．0.5 20．22 15

三、解答题（本大题有5小题，满分40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21．本小题主要考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数值等基础知识；考查简单的推理、探究和基本运算能力．满分6分． 解法一：（1）由已知得，点P是角α的终边与单位圆的交点，

∵y?44,∴sin??y?.…………………………………………………………(3分) 5543，∴cos??x?. 55（2）能.………………………………………………………………………………(4分) ∵x?∴sin(?4??)?sin?4cos?.?cos?4sin?………………………………………（5分）

?2324??? 252572.…………………………………………（6分） 1034，PM=， 55?

解法二：（1）如图过P作PM垂直x轴于M，∴在Rt⊿POM中，OM=

∴OP=OM2?PM2?1.…………………………（1分）

PM4?.………………………………（2分） OP54又∵α的终边与∠POM的终边相同，∴sin??.………………（3分）

5∴sin∠POM=

（2）能.………………………………………………………………（4分） 由已知α是第一象限的角，且由（1）知sin??下同解法一

解法三：（1）∵α的终边过点P（

432，∴cos??1?sin??. 55343242，），|OP|=()?()?1，………（1分） 555544∴sin??5?.………………………………………………………………（3分）

15（2）同解法一或解法二

22. 本小题主要考查等差数列和等比数列的有关概念，等差数列的通项公式和前n项和公式；考查简单的推理论证能力和基本运算能力．满分8分． 解：（1）设数列{an}的公差为d，那么5a1+

1·5·4d=15. ……………………（2分） 2

把a1=-1代入上式，得d=2.……………………………………………………（3分） 因此，an=-1+2（n-1）=2n-3.……………………………………………………（4分）

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（2）根据bn?2n，得b1=

a1，b2=2，b3=8.………………………………………（5分） 2由此推测{bn}是等比数列.………………………………………………………（6分） 证明如下：

a?abn?1由（1）得，an+1-an=2，所以， ?2n?1n?22?4（常数）

bn因此数列{bn}是等比数列.………………………………………………………（8分） 23. 本小题主要考查直线与圆的方程，圆的几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识；考查逻辑推理能力和运算能力；考查数形结合思想在解决问题中的应用．满分8分．

解法一：（1）∵O（0，0），A（6，0），圆C以线段OA为直径，

∴圆心C（3，0），半径r=3，……………………（2分） ∴圆C的方程为（x-3）+y=9.…………………（4分）

2

2

（2）?直线l1的方程是x?2y?4?0,?直线l1的斜率为，

121又?l2//l1,?直线l2的斜率为 …………………（5分）

21设直线l2的方程为y?x?b,即x?2y?2b?0．

2?MN?4,半径r?3,?圆心C到直线l2的距离为5．………………………（6分）

又?圆心C(3,0)到直线l2:x?2y?2b?0的距离d?3?2b5．………………（7分）

?3?2b5?5,即3?2b?5,解得b?1或b??4．

即直线l2的方程为x?2y?2?0或x?2y?8?0． ………………………（8分）

解法二：（1）同解法一

?直线l1的方程是x?2y?4?0,且l1//l2,?直线l2的斜率为．（2）……………（5分）

设直线l2的方程为y?121x?b, 21??y?x?b由?得5x2?4(b?6)x?4b2?0． 2?(x?3)2?y2?9?设M(x1,y1),N(x2,y2),则

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4(6?b)?x?x?,?125?4b2? ………………………………………………（6分） ,?x1?x2?5????0.???MN?(x1?x2)2?(y1?y2)2 145?(1?)[(x1?x2)2?4x1x2]?9?3b?b2，………………（7分）

45又?MN?4,即459-3b?b2?4,解得b?1或b??4． 5即直线l2的方程为x?2y?2?0或x?2y?8?0．………………………（8分）

24.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面垂直的判定与性质，直线与直线、直线与平面平行的判定与性质；考查空间想象能力，逻辑推理、论证能力和利用知识分析问题、解决问题能力．满分8分．

(1) 证明：在?ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

?AB2?AC2?BC2,?AC?AB．…………………………………………（1分）

又PA?平面ABC,AC?平面ABC,?PA?AC ．………………………（2分） 又PA?AB?A,?AC?平面PAB．………………………（3分）

而PB?平面PAB,?AC?PB．………………………………………………（4分）

(2)解：存在，且G是棱PA的中点．……………………………………………（5分） 证明如下:

在?PAB中，F、G分别是AB、PA的中点,?FG//PB． …………………（6分） 同理可证：DE//PB,?FG//DE.……………………………………………（7分） 又FG?平面ADE,DE?平面ADE,?FG//平面ADE.………………………（.8分）

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PGEAF 25.本小题考查平均数的概念，一次函数与二次函数等有关知识；考查统计观念，数据分析和数学建模能力，利用知识解决实际问题的能力．满分10分． 解：（1）设平均日销售利润为M，则

BDCM?(15?10)?165?(35?10)?105?(45?10)?75?(50?10)?60?(65?10)?15

5………………………………………………………………………………………（2分） =165+5?105+7?75+8?60+11?15

=1860．……………………………………………………………………………（3分） （2）依题意画出散点图，根据点的分布特征，可考虑以y=kx+b作为刻画日销售量与销售单价之间关系的函数模型，取其中的两组数据（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：

?75?45k?b,?k??3, 解得，………………………………………………（5分） ??15?65k?b.b?210.??这样，得到一个函数模型为y=-3x+210(10≤x≤70)．………………………（6分） 将其他已知数据代入上述解析式知，它们也满足这个解析式，即这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求的函数解析式能较好地反映销售量与销售单价之间的关系．…………………………………………………………………………………（7分） （3）设经营此商品的日销售利润为P元，由（2）知

P?xy?10y………………………………………………………………………（8分）

?x??3x?210??10??3x?210???3?x?40??2700,(10?x?70)2……………………………………………（9分）

?x?40时，P有最大值，为2700.

即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．…………………………………………………………………………………（10分）

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