2013届文科小班数学周练(1)

2013届文科小班数学周练（1）

刘善来

一、选择题：

2?i1．复数2?i? A 3?4i3?45i1?43A．55 B．5 C．

5i1?i D．5 2．“m??1”是“直线mx?(2m?1)y?1?0和直线3x?my?3?0垂直”的 A

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．执行右图所示的程序框图，则输出的S的值是 D 23A．?1 B．3 C．2

D．4

4．函数f(x)?2x?1?log2x的零点所在的一个区间是 C

??1,1???11??1?A．?84??,??,1? B．?42? C．?2? D．(1,2) 5．设

a?0.32, b?20.3 , c?log0.34，则 A A． c?a?b

B．c?b?a C．b?a?c

D．b?c?a

6．将函数y?sinx?3cosx的图像沿x轴向右平移a个单位

(a?0)，所得图像关于y轴对称，则a的最小值为 C

7ππππA．6

B．2

C．6

D．3

7．在平面内，已知OA?1,OB?3，OA?OB?0，?AOC?30?，设OC?mOA?nOB，

m（m,n?R），则n等于 B

?1?3A．?3

B．?3

C．3

D．

3

30???π8．设函数f(x)?x?3x,(x?R)，当2时，f(msin?)?f(1?m)?0恒成立，则实数m的取值范围是 D

(??,1) A．(0,1)

B．(??,0)

C．

2 D．(??,1)

9. 已知f?x?是定义在??3,3?上的奇函数， y当0?x?3时f?x?的图像如图，那么不 等式f?x?cosx?0的解集是 B

?3??3,????x2??0,1?A．

???????2,3??

B．????2,?1?O1???2???0,1???2,3?? ???3,?1??0,1??1

???3,???C．

,3?

2???0,1??1,3?D．

a110．平面直角坐标系中，动点P(x,y),P1(x1,y1)?(x?,y),，向量

3b?(x?3,y) c?(3,2),d?(1,4)，且OP1?(ac,bd),若P,P1在同一条直线上运动，则这样的直线 D A．不存在 B. 存在无数条 C. 存在两条 D. 存在一条

二、填空题：

??x?y?3,11．已知x，y满足不等式组 ?x?y??1,那么z?x?2y ?的最小值是_____3 x?3?0,

?12．函数y=2cosx+x,x?[0,?2]的最大值为__3??6__

13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

2?3 14．已知抛物线

y2?8x，焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点， PA?l，A为垂足，如果直线AF的斜率为?3，那么PF? 8 。

?2f(x)???x,x?215．已知函数??(x?1)3,x?2，若关于x的方程f(x)?k有两个不同

的实根，则实数k的取值范围是___(0,1)____

三、解答题：

12cos2A?cos2A?cosA16．在?ABC中，． （1）求角A的大小；_

（2）若

a?3，

sinB?2sinC，求

S?ABC．

1(2cos2A?1)?cos2A?cosA解：（I）由已知得：2，

1?.?A?.2 ?0?A??， 3

bcsinBb???2 （II）由sinBsinC 可得：sinCc ? b?2c

?cosA?22222(2)由an＝4(5＋k)nn，an＝4·3

abn－1

和k＝－2，得bn＝

－1

n－1

4·3

n－1

，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn①

＋bn＝

12n－2n－1

＋2＋?＋n－2＋n－1 4·34·34·34·3

b?c?a4c?c?91??22bc2 解得：c?3 , b?23 4c

cosA?123n－2n－13Tn＝＋＋2＋?＋n－3＋n－2 ②

44·34·34·34·3

S?12bcsinA?13332?23?3?2?2.

17．一个盒子中有5只同型号的灯泡，其中有3只合格品，2只不合格品。现在从中依次取出2只，设每只灯泡被取到的可能性都相同，请用“列举法”解答下列问题： （1）求第一次取到不合格品，且第二次取到的是合格品的概率；_ （2）求至少有一次取到不合格品的概率。

P31?P7(1)

102? (2)10 18．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形， 且平面PAD⊥底面ABCD （1）求证：AB⊥平面PAD

（2）设AB?1，求点D到平面PBC的距离.

（1）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD, ∵平面PAD⊥底面ABCD，AB底面ABCD，底面ABCD∩平

面PAD=AD，∴AB⊥平面PAD.

（2）设点D到平面PBC的距离为h，

?VD?PBC?VP?BCD'?S?S?7?PBC?h?S?BCD?PF在△PBC中，易知PB=PC=2?PBC4

S13

又?BCD?2,PF?2,_ 1?3?h?227?217214即点D到平面PBC的距离为7

19.已知等比数列{aSnN*

n}的前n项和为n＝2·3＋k(k∈R，n∈)．

(1)求数列{an}的通项公式和k的值；

(2)设数列{b满足aabn}n＝4(5＋k)nn，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较3－16Tn与4(n＋1)bn＋1

的大小，并证明你的结论．

解：(1)由Sn*－Sn－1

n＝2·3＋k(k∈R，n∈N)，得当n≥2时，an＝Snn－1＝4·3. ∵{an}是等比数列，∴a1＝S1＝6＋k＝4，∴k＝－2，

故an－1n∈N*

n＝4·3()．

由②－①得，2T11111n－1

n＝4＋4·3＋4·32＋?＋4·3n－3＋4·3n－2－4·3

n－1，

∴T11111n－132n＋1n＝8＋8·3＋8·32＋?＋8·3n－3＋8·3n－2－8·3n－1＝16－16·3

n－1. 4(n＋1)bnn＋2n＋1nn＋－n＋

n＋1－(3－16Tn)＝3n－3n－1＝3n， ∵n(n＋1)－3(2n＋1)＝n2

－5n－3，

∴当n>5＋375－37

2或n<2

<0时，有n(n＋1)>3(2n＋1)，

∴当n>5(n∈N*

)时，有3－16Tn<4(n＋1)bn＋1.

同理可得，当5－372

2时，有n(n＋1)<3(2n＋1)，

∴当1≤n≤5(n∈N*

)时，有3－16Tn>4(n＋1)bn＋1.

综上，当n>5(n∈N*

)时，有3－16Tn<4(n＋1)bn＋1；

当1≤n≤5(n∈N*

)时，有3－16Tn>4(n＋1)bn＋1.

20设函数f(x)?1?xax?lnx在[1,??)上是增函数。（1）求正实数a的取值范围； (2) 设b?0,a?1，求证：1a?b?lna?bb?a?bb. [来源:学_科_网]解：（1）f'(x)?ax?1ax2?0对x?[1,??)恒成立，?a?1x对x?[1,??)恒成立 又1x?1?a?1为所求。 （2）取x?a?bab，?a?1,b?0,??bb?1，

一方面，由（1）知f(x)?1?xax?lnx在[1,??)上是增函数，?f(a?bb)?f(1)?0 1?a?b?b?lna?ba?a?bb?0 即lna?bb?1a?b b

另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1) G'(x)?1?1x?1x?x?0(?x?1)

∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0[来源:Zxxk.Com] ∴x?lnx即

a?ba?b1a?ba?b?ln?ln?. 综上所述，bb[来源:学_科_网]a?bbbx2y221. 已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1,F2，A为椭圆短轴的一个顶点，

ab且?AF1F2是直角三角形，椭圆上任一点P到左焦点F1的距离的最大值为2?1 （1）求椭圆C的方程；

（2）与两坐标轴都不垂直的直线l：y?kx?m(m?0)交椭圆C于E,F两点，且以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，当?OEF面积的最大值时，求直线l的方程. 解（1）由题意得[来源:学科网] c2x2??y2?1 ，a?c?2?1a?2,c?1，则b?1 所以椭圆的方程为a22?x2??y2?1（2）设E(x1,y1),F(x2,y2)，?2，联立得(1?2k2)x2?4mkx?2m2?2?0

?y?kx?m??4mk?x?x?12?1?2k2?22， 又以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，所以??8(2k?1?m)?0，?22m?2?xx?12?1?2k2?2OE?OF?0即x1x2?y1y2?0，代入得m2?(k2?1)

318(1?2k2?m2)122S?d|EF|=1?k?332(1?2k2)2设t?1?2k2?1，则S?(2?2k2)(1?4k2) 22(1?2k)21121192?2??2??(?)2?? 3t3t242t[来源:学+科+网Z+X+X+K]22当t?2，即t?1?2k2?2,k??时，面积S取得最大值， [来源:学,科,网]又m?1，所

222x?1 以直线方程为y??2

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