武汉中考数学第24题专题练习(二)

F E

A

P

B

C

D

图2

武汉中考第24题

一、内容分析：

培养数学逻辑推理能力是新课标的要求，第24题便是近年来考查这种能力的一种新题型,它不仅开阔同学们的视野,而且发展了同学们发散思维,创新探索和逻辑推理能力和动手能力，这种题型考查学生逻辑推理的方式主要注意如下几方面:① 图形由特殊到一般;② 图形的位置由特殊到一般；③ 结论由特殊到一般.解决方法主要由“特殊到一般”的思路,结合旋转,全等或相似的相关性质，以及实践操作，观察猜想加以解决.

二、主要知识考点： 1、图形旋转的性质； 2、三角形全等或相似； 3、实践作图；

三、结论类型： 1、 角度大小关系； 2、 线段大小和位置关系； 3、 其它；

四、题型变化

引例：（08届4月调考题）如图所示，ABCD 为正方形。

(1)如图1，点P 为△ABC 的内心，问：DP 与DA 有何数量关系证明你的结论；

(2)如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 为△FBE 的内心，则DP 与DF 有何数量关系证明你的结论；

(3)如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF=CE ，点P 是△FEB 中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点。完成图3，判断DP 与DF 之间的数量关

系（直接写出结论，不证明）。

对照练习：

1、如图1，正方形ABCD 中，∠FOE=90°顶点O 于D 点重合，交BC 边于E ，交BA 的延长线于F.(1)求证：OF=OE;

(2)O 点在直线BD 上运动，其它条件不变，上述结论是否仍然成立试画图直接写出结论。

（ （3）如图4，O 为正方形ABCD 对角线的中点，∠FOE=90°交BC 、CD 边于F 、E 点。求证OE=OF 。 （ （4）如图5、6，O 点在直线BD 上运动，OD ：OB=1：n ，其它条件不变，（3）中结论是否还成立

若不成立，请直接写出OE ：OF= 。

E

A B C

D

图3

图1

E

O

A

B

C

D

图2

O

A B

C

D

图3

F

E

C

B

A(P)

P

F

E

D

C

B

A

2、如图，已知△ABC 为⊙O 的内接三角形，I 为△ABC 的内心，AI

的延长线交BC 于E ，交⊙O 于D 。 (1)求证：BD=ID=CD;

(2)若点I 为∠ABC 和∠ACB 的外角平分线的交点，其它条件不变，问(1)中的结论是否仍然成立请画图并直接写出结果（不必证明）。

3、(1)如图1，P 为正方形ABCD 的AD 边上一点，PE ⊥AD 交BD 于E 点，将△PCD 绕C 点逆时针方向旋转90°到△FCB 的位置，连接PF 交BD 于Q 点。①求证：BQ=EQ; ②探究线段PQ 与线段

CQ 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)再将△PED 绕D 点顺时针方向旋转45°，将△PDC 绕C 点逆时针方向旋转90°至△FBC 处（如图2），（1）中你探究的结论：线段PQ 与线段CQ 的数量关系和位置关系是否仍然成立若成立，写出结论并予以证明；若不成立，请说明理由。（3）若将△PED 绕D 点顺时针方向旋转α（0°<α<90°）,其它条件不变，试画图并判断线段PQ 与线段CQ 的关系（直接写出结论，不证明）。

4、点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上，以BP 为对角线作正方形BEPF ，连结CE 。 (1)如图1，当点P 与点A 重合时，则∠BCE 的度数为 ；

(2)如图2，当点P 在正方形ABCD 的边AD 上（不与D 重合）时，∠BCE 的度数为多少证明你的结论；

(3)当点P 在正方形ABCD 的边AD 所在的直线上运动时，请画出图形并求∠BCE 的度数

O

F

E

图4 O

F E

D

A 图5

O

F

E

D

C

图6

（不必证明）。

5、将正方形ABCD，正方形BEFG，如图1摆放，连DF，则DF/CG= .

（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG相交于M，则DF/CG= ，∠DMC= .

（2）如图3，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，则DF/CG= ，∠DMC= .

（3）如图4，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= .

（4）如图5，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转β（0°<β<90°），则DF/CG= ，∠DMC= .从（3）、（4）两题中任选一个给予证明。基本图形：

分析小结：

1、构造三角形全等或相似

2、利用基本图形或证明四点共圆进行角度转换。

3、根据题意绘制图形，利用工具度量写出结果。

五、分类研究： 1、角度演变

引例1：（07届4月调考题）已知等腰三角形ABC和ADE的顶角共顶点，∠BAC=∠DAE。线段BD 和EC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，PD，PE.

（1）B、A、E依次在同一条直线上。若∠BAC=90°（图1），则∠BPC+∠DPE= ；

若∠BAC=60°（图2），则∠BPC+∠DPE= ；

（2）B、A、E依次在同一条直线上。若∠BAC=α°（图3），猜想∠BPC+∠DPE的值，并写出你的结论；

（3）在图1的基础上，若Rt△ABC绕点A旋转角度β，图4，试探究∠BPC+∠DPE的值，并写出你的结论（不必证明）.

图1

A

C

B

P

图3

A

E

C

B

P

图2

A

D

P

B C

图4

D E

B

A

C

P

分析小结：如果两相似等腰三角形共顶角顶点，那么由两等腰三角形腰分别组成的三角形全等。

对照练习：

1、已知△ABC中，∠BAC= 45°，以AB、AC为边在△ABC

外作等腰△ABD和△ACE，AB = AD、AC = AE，且∠BAD =

∠CAE，连CD、BE并交于F，连AF．

（1）①如图1，若∠BAD= 60°，则∠AFE= ．

②如图2，若∠BAD = 90°，则∠AFE = ．

③如图3，若∠BAD = 120°，则∠AFE = ．

（2）如图4，若∠BAD = α°，猜想∠AFE的度数，并予以证明．

（3）如图5，将图2中的△ABD绕点A顺时针旋转β°（45°＜β＜90°），直接写出∠AFE的度数（不必证明）．

2、锐角△ABC中，AB＞AC，分别以AB、AC为边向外作△ABD和△ACE，且△ABD∽△AEC 连、Q、M、N分别为BC、CE、DE、BD的中点. ①如图1，若△ABD和△AEC均为等边三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ的形状是；

②如图2，若△ABD和△AEC均为等腰直角三角形，则∠QMN= ，四边形MNPQ的形状是；

③如图3，若∠BAD=∠CAE=90°，试探究四边形MNPQ的形状，并予以证明.

引例2：（07届中考题) 点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。

(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________；

(2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。

B C

D

E

P

M

N

Q

A

B C

D

E

P

M

N

Q

A

A

Q

N

M

P

E

D

C

B

图1图2图3

A A

A

B B B

C C C

D D D

E E E

F F F

图①图②图③

分析小结：

如果两相似等腰三角形共底角顶点，那么由两等腰三角形的底和腰分别组成的三角形相似。

对照练习：

1、如图1，已知CA=CB ，FE=FB, ∠ACB=∠EFB=α，M 、N 、G 分别为AC 、CE 、EF 的中点，则∠MNG= .

(1)如图2，当α=90°时，将△EFB 绕B 点顺时针旋转45°，则∠

MNG= .

如图3，当α=60°时，将△EFB 绕B 点逆时针旋转60°，则∠MNG= . （2将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个锐角β得图4，则∠MNG= .

（3将图1中的△EFB 绕B 点旋转一个钝角β得图5，则∠MNG= .选择图4或图5

中的一个给予证明。

（4）在图5中，MN/NG= （用含α 的式子表示），不必证明。

2、已知：两个三角形△ABC 和△ADE ，顶点A 重合，当两个三角形△ABC 和△ADE 绕着顶点A 旋

A

A

B

B

C

C

D

D E E

F F

图④

图⑤

转任意角度时，连接BE 、DC ，分别取BE 、ED 、DC 、CB 的中点得到一个四边形PQMN ；

（1）、如图：（图1），若两三角形△ABC 和△ADE 都是等边三角形，则四边形PQMN 的形状是 ，∠NPQ=

（2）、如图：（图2），若两三角形△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，则四边形PQMN 的形状是 ，

（3）、 如图：（图3），若两三角形△ABC 和△ADE 是两个全等的直角三角形，且AB=AD 、AC=AE ，

则四边形PQMN 的形状是 特殊平行四边形；如（图4）若两三角形△ABC

和△ADE 是两个相似的三角形，且∠ABC=∠ADE 、∠ACB=∠AED ，则四边形PQMN 的形状是 特殊四边形；请选择其中一种情况证明你的猜想。

二、线段问题

引例1：△ACD 中，点P 是CD 的中点，分别以AC 、AD 为边在△ACD 外作直角三角形ABC 和ADE ，

∠ABC=∠AED=90°，锐角∠BAC=∠DAE ，连PB 、PE 。（1）如图1，分别取AC 、AD 的中点M 、N ，连PM 、PN 、BM|、EN ，若∠BAC=30°，则PB 和PE 的数量关系为 ，∠BPE= ,如图2，若∠BAC=45°，则∠BPE= 。

（2）如图3，若∠BAC=α°，猜想∠BPE 的度数，并证明你的结论。

（3）如图4，若将图1中的“直角三角形ABC 和ADE ”换为“等边三角形ABC 和ADE ”，其余条件不变，要使∠BPE=90°，则△ACD 应满足什么条件请写出来（不必证明）。

引 引例2、以△ABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角 △ABD 和等腰直角△ACE ，M 是BC 中点，连结AM 和DE 。

（1）如图1，△ABC 中AB=AC 时，AM 与ED 的关系

是 。

如图2，△ABC 中∠BAC=90°时，AM 与ED 的关系是 。

（2）如图3，△ABC 为一般三角形时线段AM 与ED 的关系是 。试证明你的结论。 （3）如图4，若以△ABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABE 和△ACD ，其它条件不变，

试探究线段AM 与DE 之间的关系证明你的结论。

(图1）N

M

P

Q

E

D C B

A

(图2）

N

M

P

Q

E

D

C B

A

(图3）

N M

P

Q E

D

C

B

A

(图4）

N M P

Q E

D

C

B

A

分析小结：

1.取中点，利用中线或中位线构造三角形全等或相似。

2.利用线段截长补短或中线倍长构造三角形全等。 3．利用基本图形进行角度转换。

对照练习：

1、如图1，把两个等腰直角三角形底边共线的放在一起，且一个顶点重合，M 、N 、P 分别是CE 、AB 、DF 的中点；如图2，将它们的一条直角边共线，且一直角顶点与锐角顶点重合． （1）在图1中，线段MN 与MP 的关系是___________________； 在图2中，线段MN 与MP 的关系是___________________； （2）如图3和图4，将△DEF 绕D 点任意旋转一个角度，请进一步猜想线段MN 与MP 的关系，并选择其中一种给出证明．

（3）如图5，将上面等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，

若此种等腰三角形的腰长与底边长的比值为2：1，试写出此时线段MN 与MP 的关系，不需要说明理由．

2、（1）已知△ABC 中，D 、E 分别在BC 、AB 上，且∠ACB=∠DEB=90°，当M 为AD 的中点，连CM 、EM 。①如图1，若∠ABC=45°，则MC=ME, ∠CME=90°;

②如图 2, 若∠ABC=60°，则MC 与ME 的数量关系为 ，∠CME= 。 (2)将图2中的△DEB 绕点B 顺时针旋转60°得到图3，则MC 与ME 的数量关系为 ，∠CME= 。并证明逆的结论；

（3）如图4，在△ABC 和△BDE 中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=α，现将△DEB 绕点B 顺时针旋转β（0°<β<90°），点M 仍为AD 中点，请写出MC 与ME 的数量关系和∠CME 的大小。（用含α 的式子表示），不必证明。

图3P N M B （D ）F E A 图5

P

N

M

E

B （D ）A

F

图2

M

A F 图1

M

F

E

C 图4P M N C （

D ）B A F

N

M

D

C

B

A

图 2

N

M

E

D

C B

A

图 3

N

M

F

E

D

C

B

A

图 4H

N M

G F E

D

C B

A 图 5

N M

D C

B

A

3、如图1，在正方形ABCD 中，M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN = 45°，则MN = AM + CN .如图2，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN = 54°，则MN = AM + CN .如图3，在正六边形ABCDEF 中，M 、N 分别在AE 、CE 上，若∠MBN = 60°，则MN = AM + CN ． ⑴请你从①②③三个命题中任选一个进行证明．

⑵请你继续完成下面的探索：

如图4，在正n 边形ABCDEFGH ……（n ≥4）中，M 、N 分别在AE 、CE 上，当∠MBN = 时，结论MN = AM + CN 成立．（不要求证明）

如图5，在四边形ABCD 中，AB = BC ，∠ADC +∠ABC = 180°，M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，

若∠MBN = 1

2

ABC ，试探究MN 、AM 、CN 之间的数量关系，并予以证明．

4、将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，

（1）连接MD 、MF ，则容易发现MD 、MF 间的关系是______________

（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点拉转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ，探究线段MD 、MF 的关系，并加以说明；

（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立直接写出猜想，不需要证明。

三、边数演变

(2007五月调考）①如图（1），在正三角形ABC 中，N 为BC 边上任一点（不含B 、C 两点），CM 为正三角形外角∠ACK 的角平分线，若∠ANM=60°，则AN=NM 。

②如图（2），在正方形ABCD 中，N 为BC 边上任一点（不含B 、C 两点），CM 为正方形外角∠DCK 的角平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM 。

（1） 请你从①、②两个命题中任选择一个进行证明：

（2） 请你继续完成下面的探索：

①如图（3），在正n(n ≥3)边形ABCDEF ……中，N 为BC 边上任一点（不含B 、C 两点），M 为正n 边形外角∠DCK 的角平分线，当∠ANM 等于 时，结论AN=AM 成立（不要求证明）; ②如图（4），在五边形ABCDE 中，AB=BC ，N 为BC 延长线上一点，CM 为∠DCN 的

角平分线，若∠ANM=∠ABC= ∠BCD ，请问AN=NM 是否仍然成立若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由。

图3

D

E

C F

G

M

B

A

图2

C F

M

A

B

D

E G

图1

A B G

M F

E

D

C

分析小结：

1、掌握从特殊到一般的变化规律。

2、通过等边三角形或正方形的特点构造全等证明的方法，从而推广到任意正多边形。

对照练习：

（1）如图1，正三角形ABC的中心为O，M、N分别为OA、OB上的点，连结BM、CN并延长交于P，∠MPC=60°时，求证：BM=CN；

（2）如图2，正方形ABCD的中心为O，M、N分别为OA、OB上的一点，连结BM、CN，并延长交于P，∠MPC=90°时，求证：BM=CN。

（3）如图3正五边形ABCDE的中心为O，M、N分别为OA、OB上一点，连结BM、CN并延长交于

P，∠MPC=108°时，求证：BM=CN。从上述命题中选取一个进行证明。

（4）依上类推，正n边形ABCDEF……中心为O，M、N分别是OA、OB上一点，连结BM、CN并延长交于P，∠MPC= 时，BM=CN。

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