北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学（理）试题 Word版含答案

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷

高三 数学（理科）

命题校：65中 2013年12月

本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合A?x?R0?x?3，B?x?Rx?4，则A?B?( ) （A）x2?x?3 （B）x2?x?3 （C）xx??2或2?x?3 （D） R 2. 在复平面内，复数i(i?1)对应的点在( )

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3. 等差数列{an}中，a4?2，则S7等于( ) （A）28

（B）14

（C）3.5

（D）7

???2???????4. 已知?，?为不重合的两个平面，直线m??，那么“m??”是“???”的( ) （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 5. 若向量a，b满足a?1，b?（A）

2，且a?(a+b)，则a与b的夹角为( )

?2?3?5? （B） （C） （D） 23466. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的

体积是（ ） （A）8

8 3（C）4

4（D）

3（B） 7.

与

直

线

x-y-4=0和圆

x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是

( )

（A） (x+1)+(y+1)=2 （B）(x+1)+(y+1)=4

2222

（C）(x-1)+(y+1)=2 （D）(x-1)+(y+1)=4

8. 已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m?0，对任意x?R，有|f(x)|?m|x|，

则称f(x)为F函数．给出下列函数：①f(x)?x；②f(x)?sinx?cosx；③f(x)?22222x；④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1,x2均有 2x?x?1f(x1)?f(x2)?2x1?x2．其中是F函数的序号为 ( )

（A）①② （B）①③ （C）②④ （D）③④

第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

?9. 命题“?x0?(0,),tanx0?sinx0”的否定是 .

2x2y2-=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程 10. 过双曲线

916 是 .(结果写成一般式)

?x?y?1?0,?11. 若实数x,y满足条件?x?y?2,则2x?y的最大值为_____.

?x?1,?12. 设a?()连接）

13. 曲线y?x与直线x?1及x轴所围成的图形的面积为 ．

14. 无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，Sn是其前n项和，3、21、

15是其中的三项，给出下列命题；

①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{an}中的一项； ②对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{an}中的一项；

*③存在满足条件的数列{an}，使得对任意的n?N，S2n?4Sn成立。

3120.5，则a,b,c的大小关系是_____.（从小到大用“?”b?0.3，c?log0.30.2，

0.5其中正确命题为 。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,|?|??)的图象如图所示. （Ⅰ）求?,?的值；

y1（Ⅱ）设g(x)?f(x)f(x?)，求函数g(x)的单调递增区间. 4

O

?116．（本小题满分13分）

??4?2x设?ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB?4,b?2. 55时，求角A的度数； 3（Ⅱ）求?ABC面积的最大值.

（Ⅰ）当a?17．（本小题满分13分）

在三棱锥P?ABC中，?PAC和?PBC是边长为2的等边三角形，AB?2，O是AB中点．

P（Ⅰ）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC； （Ⅲ）求二面角P?BC?A的余弦值．

A

CO18．（本小题满分13分）

已知数列{an}是等差数列,a3?10 , a6?22，数列{bn}的前n项和是Tn，且

B1Tn?bn?1.

3（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列； （Ⅲ）记cn?an?bn，求证：cn?1?cn. 19．（本小题满分14分）

2a2 已知函数f(x)?alnx??x(a?0)．

x

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x?2y?0垂直，求实数a的值； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅲ）当a?(??,0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)? 20．（本小题满分14分）

12e． 2x2y231 已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,),其离心率为.

ab22 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l:y?kx?m(|k|?)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.

12

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案

高三数学（理科）

参考答案

（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）

一.选择题

题号 答案 二、填空题

9. ?x?(0,),tanx?sinx 10. 4x-3y-20=0 11. 4 12. b?a?c 13.三、解答题

15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知T?4(1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 C 8 D ?2114. ①③（答对1个给2分，有错误答案不给分）

4

?2??4)??,??2??2， T -------------2分

又由f()?1得，sin(???)?1，又f(0)??1，得sin???1

?2

?|?|???????2， ------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin(2x?因为g(x)?(?cos2x)[?cos(2x??2)??cos2x ------------6分

1)]?cos2xsin2x?sin4x ------------9分 22??k??k?? 所以，2k???4x?2k??，即??x?? (k?Z) ----------12分

222828k??k??故函数g(x)的单调增区间为[ ----------13分 ?,?] (k?Z).

2828

16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cosB??43，所以sinB?. ---------------2分 555ab1因为a?，b?2，由正弦定理可得sinA?. -------------4分 ?3sinAsinB2因为a?b，所以A是锐角，所以A?30o. ---------------6分

（Ⅱ）因为?ABC的面积S?

13acsinB?ac， ------------------7分 210

所以当ac最大时，?ABC的面积最大.

因为b2?a2?c2?2accosB，所以4?a2?c2?因为a2?c2?2ac，所以2ac?8ac. -----------------9分 58ac?4， ----------------11分 5所以ac?10，（当a?c?10时等号成立） -----------------12分 所以?ABC面积的最大值为3. ---------------13分

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）当M为棱PA中点时，OM∥平面PBC. --------------------1分

证明如下：

?M,O分别为PA,AB中点，

?OM∥PB --------------------2分

又PB?平面PBC，OM?平面PBC

?OM∥平面PBC. --------------------4分

（Ⅱ）连结OC，OP

?AC?CB?2，O为AB中点，AB?2,

?OC⊥AB，OC?1. --------------------5分

同理, PO⊥AB，PO?1. --------------------6分 又PC?2, ?PC2?OC2?PO2?2, ??POC?90?.

?PO⊥OC. --------------------7分

?PO⊥OC,PO⊥AB,AB?OC?O,

?PO⊥平面ABC. --------------------8分

?PO?平面PAB

?平面PAB⊥平面ABC. --------------------9分

（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系O?xyz.

则B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)， ----------10分 zP????BC??(?1,1,0)，???PB??(1,0,?1) .

由（Ⅱ）知???OP??(0,0,1)是平面ABC

的一个法向量. ----------11分 设平面PBC的法向量为n?(x,y,z)，

则???n????BC???????00???x?y?0? ?n?PB??x?z?0. 令z?1，则x?1,y?1，

?平面PBC的一个法向量n?(1,1,1). ?????cos????OP?,n??OP|???OP??n13|?|n|?1?3?3.

?二面角P?BC?A的平面角为锐角，

?所求二面角P?BC?A的余弦值为

33．

18.（本小题满分13分）

解：（1）由已知??a1?2d?10,?a1?5d?22. 解得 a1?2,d?4. ?an?2?(n?1)?4?4n?2. （2）由于T1n?1?3bn， ① 令n=1，得b131?1?3b1. 解得b1?4， 当n?2时，T1n?1?1?3bn?1②

① －②得b11n?3bn?1?3bn ， ?b?1n4bn?1 又b34?0, ?bn11?b?. n?14AOCyBx--------------------12分 --------------------13分 ----------2分

----------3分

-----------4分

-----------5分

--------------------6分

--------------------7分

--------------------8分

31为首项，为公比的等比数列 --------------------9分 443（3）由（2）可得bn?n.--------------------10分

4

∴数列{bn}是以 cn?an?bn?3(4n?2)--------------------11分

n4

cn?1?cn?3[4(n?1)?2]3(4n?2)30?36n--------------------12分 ??.4n?14n4n?1

?n?1，故cn?1?cn?0. ?cn?1?cn. --------------------13分

19. （本小题满分14分）

解：（I）f?x?的定义域为{x|x?0}. --------------------1分

a2a2f??x???2?1?x?0?. --------------------2分

xx

根据题意，有f??1???2，所以2a2?a?3?0， --------------------3分 解得a??1或a?3. --------------------4分 2a2a2x2?ax?2a2(x?a)(x?2a)（II）f??x???2?1???x?0?.-------------5分

xxx2x2 （1）当a?0时，因为x?0，

由f?(x)?0得(x?a)(x?2a)?0，解得x?a； 由f?(x)?0得(x?a)(x?2a)?0，解得0?x?a.

所以函数f(x)在?a,???上单调递增，在?0,a?上单调递减. ----------------7分 （2）当a?0时，因为x?0，

由f?(x)?0得 (x?a)(x?2a)?0，解得x??2a； 由f?(x)?0得(x?a)(x?2a)?0，解得0?x??2a.

所以函数f(x)在?0,?2a?上单调递减，在??2a,???上单调递增. --------9分

（III）由（Ⅱ）知，当a?(??,0)时，函数f(x)的最小值为g(a)，

2a2 且g(a)?f(?2a)?aln(?2a)??2a?aln(?2a)?3a

?2ag?(a)?ln(?2a)?a??2?3?ln(?2a)?2， --------10分 ?2a12e. 2 令g?(a)?0，得a?? 当a变化时，g??a?，g?a?的变化情况如下表：

a 1(??,?e2) 2＋ ↑ 1?e2 20 极大值 1(?e2,0) 2－ ↓ g??a? g?a?

----------------12分

12?e是g(a)在(??,0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点.

212111e)??e2ln[?2?(?e2)]?3(?e2) 2222131.----------------13分 ??e2lne2?e2?e2222

1 所以，当a?(??,0)时，g(a)?e2成立. ----------------14分

2 所以g?a?最大值?g(?

20．（本小题满分14分）

a2?b21?，所以3a2?4b2 ① --------------1分 解：（Ⅰ）由已知可得e?2a42 又点M(1,)在椭圆C上，所以

223219??1 ② ------------2分 22a4b 由①②解之，得a?4,b?3.

x2y2??1. ------------5分 故椭圆C的方程为43

?y?kx?m, (Ⅱ) 由?2

?xy2?1.??3?4消y化简整理得：(3?4k)x?8kmx?4m?12?0，

222??64k2m2?4(3?4k2)(4m2?12)?48(3?4k2?m2)?0 ③ -----------8分 (x2,y2)、(x0,y0)，则 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、x0?x1?x2??8km6m. -------9分 ,y?y?y?k(x?x)?2m?01212223?4k3?4k22x0y0 由于点P在椭圆C上，所以 ??1. -------10分

4316k2m212m2??1， 从而2222(3?4k)(3?4k)化简得4m2?3?4k2，经检验满足③式. -------11分

64k2m236m2? 又|OP|?x?y?(3?4k2)2(3?4k2)2

20204m2(16k2?9)16k2?9? ? 222(3?4k)4k?3?4? 因为k?3. -------12分

24k?3133，得3?4k2?3?4，有??1， 2244k?313. 213]. -------14分 2故3?OP? 即所求OP的取值范围是[3,(x2,y2)、(x0,y0)， (Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、?3x12?4y12?12①由A,B在椭圆上，可得?2 -------6分 23x?4y?12②?22①—②整理得3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0③ -------7分

?????????????x1?x2?x0④由已知可得OP?OA?OB，所以? -------8分

?y1?y2?y0⑤由已知当k?y1?y2 ,即y1?y2?k(x1?x2) ⑥ -------9分

x1?x2把④⑤⑥代入③整理得3x0??4ky0 -------10分 与3x02?4y02?12联立消x0整理得y02?9 -------11分 24k?3由3x2420?4y20?12得x20?4?3y0， 所以|OP|2?x240?y20?4?3y2?4?130?y203y20?4?4k2?3 因为k?12，得3?4k2?3?4，有34?34k2?3?1，

故3?OP?132. 所求OP的取值范围是[3,132].

-------12分 -------13分 -------14分

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