天津市和平区2015届高三第二次模拟考试 数学文 Word版含答案
更新时间:2024-05-06 00:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利!
第Ⅰ卷 选择题(共40分)
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。 参考公式:
?如果事件
A,B互斥,那么
?如果事件A,B相互独立,那么
P(A?B)?P(A)?P(B).
?柱体的体积公式V P(A?B)?P(A)?P(B).
?球的体积公式V?Sh. 其中S表示
4??R3. 其中R表示 3柱体的底面积,h表示柱体的高. 球的半径.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知
a?i1??b(1?i)(其中i为虚数单位,a,b?R),则a等于 1?i2
(B)2
(C)?1
(D)
(A)?2
1 22(2)已知命题p:?x0?R,x0?x0?1≤0,则?p为 2(A)?x0?R,x0?x0?1?0
2(B)?x0?R,x0?x0?1?0
(C)?x?R,x2?x?1?0
(D)?x?R,x2?x?1≥0
??x?y?3≤ 0,(3)设非负实数x,y满足约束条件? 则z?2x?3y的最大值为
2x?y?40.≤ ??(A)12 (B)9 (C)8 (D)4
(4)已知函数f(x)?4cosxsin(x??)?1(0????),若f()?1,则f(x)的最小正周期为
33?(A)? (B) (C)2? (D)4?
2x2y2(5)过双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P作直线PA,PB交双曲线于A,B两点,且斜
ab?率分别为k1,k2,若直线AB过原点,k1?k2?2,则双曲线的离心率e等于 (A)3
(B)3
(C)
6 2 (D)
3 2??ln(?x),x?0,(6)设函数f(x)?? 若f(m)?f(?m),则实数m的取值范围是
?lnx,x?0.??(A)(?1,0)?(0,1) (B)(??,?1)?(0,1)
(C)(?1,0)?(1,??) (D)(??,?1)?(1,??)
(7)如图,已知圆O半径是3,PAB和PCD是圆O的两条 DC- 1 - BO?AP
割线,且PAB过O点,若PB?10,PD?8,给出下列四个结论:①CD?3;②BC?5;③BD?2AC;④?CBD?30?. 则所有正确结论的序号是 (A)①③ (B)①④ (C)①②③ (D)①③④ (8)若函数f(x)?x2?4x?3?kx?2恰有3个零点,则实数k的值为
2或?2 32(C)?或4?25
3(A)?
2或4?25 32(D)?或4?25或4?25
3(B)?第Ⅱ卷 非选择题(共110分)
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答在本试卷上的无效。 2. 本卷共12小题,共110分。
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9)已知某校高三年级有140名学生,其中文科生40人,
其余是理科生,现采用分层抽样的方法从中抽取14
正视图224侧视图名学生进行调研,则抽取的理科生的人数为 . (10)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何
体的体积为 cm3.
(11)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S的
值为 .
(12)已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图象关
于x?1对称,当x?[0,1]时,f(x)?ex?1,则在区 间[0,5]上方程f(x)?1?0实根的个数为 .
4俯视图开始 S?2,i?1i?6?是 否 1S?1?S输出S结束 i?i?121(13)如图,在△ABC中,AD?AC,BP?BD,
33若AP??AB??AC,则
CDPAB?的值为 . ?(14)已知Sn?3?7?13???(2n?2n?1),S10?a?b?c,其中a,b,c?N*,则a?b?c的
最小值为 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分)
现有8名区级学科竞赛优胜者,其中有语文学科A1、A2、A3,数学学科B1、B2、B3,英语学科
- 2 -
C1、C2.从中选出语文、数学、英语学科竞赛优胜者各1名组成一个小组参加市级学科竞赛,
已知各学科中每名优胜者被选中的机会均等.
(Ⅰ)列举出组成这个小组所有可能的结果; (Ⅱ)求A3和B3均没有被选中的概率; (Ⅲ)求B1和C1中至少有一人被选中的概率.
(16)(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C为三个内角,已知cosA?(Ⅰ)求AC的长;
(Ⅱ)设D为AB的中点,求CD的长.
(17)(本小题满分13分)
如图,四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形,AB?BD,
51,cosB?,BC?5. 75PPD?平面ABCD,且PD?AB,E为PA的中点.
(Ⅰ)求证:CD?PB; (Ⅱ)求证:PC//平面BED; (Ⅲ)求二面角E?BD?A的大小.
(18)(本小题满分13分)
已知数列{an}满足:a1?6,an?1?an?6an?1?9?0,n?N*且n≥2. (Ⅰ)求证: 数列{1}为等差数列; an?3ED
CAB(Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)设bn?
(19)(本小题满分14分)
x2y21如图,椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?.过F2的
ab2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(n?1)2直线交椭圆C于A、B两点,且△ABF1的周长为8. - 3 - yAF1OF2xB
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y?kx?m与椭圆C相切于P点,且与 直线x??4相交于Q点,求证:直线PF1垂直于直线QF1.
(20)(本小题满分14分)
已知函数f(x)?ax2?(2a?1)x?lnx,a?R. (Ⅰ) 当a?1时,求f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ) 若关于x的方程f(x)?2ax2?2(a?1)x恰有两个不等的实根,求实数a的取值范围; (Ⅲ)设g(x)?ex?x?1, 当a≤0时, 若对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学
(文理)学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题 (每小题5分,共40分)
(1)D (2)C (3)B (4)A (5)A (6)B (7)D (8)C 二、填空题 (每小题5分,共30分)
题号 文科 理科 (9) 10 28? 3(10) 28? 332 3(11) 1 2(12) 3 (13) 3 (14) 68 68 (2,??) 12 725 5三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(本题13分)文科
(Ⅰ)解: 依题意,从8名学科竞赛优胜者中选出3名组成一个小组所有可能的结果为:
{A1,B1,C1},{A1,B1,C2},{A1,B2,C1},{A1,B2,C2}, {A1,B3,C1},{A1,B3,C2},{A2,B1,C1},{A2,B1,C2}, {A2,B2,C1},{A2,B2,C2},{A2,B3,C1},{A2,B3,C2}, {A3,B1,C1},{A3,B1,C2},{A3,B2,C1},{A3,B2,C2}, {A3,B3,C1},{A3,B3,C2},共18种.
??????(6 分)
- 4 -
(Ⅱ)解: 用M表示“A3和B3均没有被选中”,其所有可能的结果为:
{A1,B1,C1},{A1,B1,C2},{A1,B2,C1},{A1,B2,C2},
{A2,B1,C1},{A2,B1,C2},{A2,B2,C1},{A2,B2,C2},共8种. ?(8 分) ∴P(M)?84?. 189 ??????(10分)
(Ⅲ)解: 用N表示“B1和C1中至少有一人被选中”,则其对立事件N表示“B1和C1均没有
被选中”,N包含的基本事件有:
{A1,B2,C2},{A1,B3,C2},{A2,B2,C2},{A2,B3,C2}, {A3,B2,C2},{A3,B3,C2},共6种. 则P(N)?
??????(11分)
61?. 18312?. 33
??????(13分)
∴P(N)?1?P(N)?1?(15)(本题13分)理科
?1(Ⅰ)解: 依题意f(0)?a?b?1,f()?1?a?b?1,
42?a?b?1,由? 解得a?2,b??1.
a?2b?0,?则f(x)?sin(2x?
??????(2 分) ??????(4 分)
?)?sin(2x?)?2cos2x?1
33??sin2x?cos?3?cos2x?sin?3?sin2x?cos
?3?cos2x?sin
??sin2x?cos2x
3??????(6 分) ??????(8 分) ??????(9 分)
?cos2x
?2sin(2x?).
42?∴f(x)的最小正周期T???.
2?(Ⅱ)解:∵f(x)?2sin(2x?)在区间[?,]上是增函数,
448在区间[,]上是减函数,
84????? ??????(11分)
且f(?)??1,f()?2,f()?1,
484∴函数f(x)在区间[?(16)(本题13分)文科 (Ⅰ)解: ∵在△ABC中,cosA?∴sinA?1?cos2A?????4,?4]上的最大值为2,最小值为?1. ??(13分)
51,cosB?, 752626,sinB?1?cos2B?. ??????(2 分) 75ACBC由正弦定理得, ??????(4 分) ?sinBsinA
- 5 -
即AC?BC?sinB?sinA5?265?7. 267 ??????(6 分)
(Ⅱ)解: 在△ABC中,AC?7,BC?5,cosB?1, 5??????(8 分)
由余弦定理得AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB,
1即49?AB2?25?2AB?5?,
5整理得AB2?2AB?24?0,解得AB?6.
11∵在△BCD中,BD?AB?3,BC?5,cosB?,
25??????(10分)
∴由余弦定理得CD2?BD2?BC2?2BD?BC?cosB, ??????(11分)
1即CD2?9?25?2?3?5??28.
5∴CD?27. ??????(13分)
(16)(本题13分)理科
(Ⅰ)解: 设“一次取出的3张牌中的花色互不相同”的事件记为A, ???(1 分)
3111C4?C3?C3?C310827??则P(A)?. 322055C12 ??????(5 分) ??????(6 分) ??????(7 分) ??????(8 分) ??????(9 分) ??????(10分)
(Ⅱ)解: 由题意,随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
3C98421P(X?0)?3??,
C1222055
12C3?C93?3627P(X?1)???, 322055C1221C3?C93?927P(X?2)???, 3220220C123C31P(X?3)?3?.
C12220
∴随机变量X的分布列是:
1 2 3 27271????(11分) P 55220220 21272711653∴数学期望E(X)?0??1??2??3???. ?(13分)
55552202202204X 0 21 55(17)(本题13分)文科
(Ⅰ)证明:∵PD?平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴CD?PD.
- 6 -
??????(1 分) ??????(2 分) ??????(3 分) ??????(4 分)
∵CD//AB,AB?BD, ∴CD?BD. ∵PD?BD?D, ∴CD?平面PBD. ∵PB?平面PBD, ∴CD?PB.
(Ⅱ)证明:如图,连接AC,与BD相交于点O,连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O为AC的中点. ∵E为PA的中点, ∴EO//PC.
??????(6 分) ??????(8 分)
P∵EO?平面BED,PC?平面BED,
∴PC//平面BED.
(Ⅲ)解: 如图,作OF//AB,交AD于F点,
则F为AD的中点. ????(9 分) ∵AB?BD,OF//AB, ∴OF?BD. ??????(10分) 连接EF,则EF//PD,
∵PD?平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴PD?BD,从而EF?BD. ∴BD?平面EOF. A∴?EOF是二面角E?BD?A的平面角.
11∵PD?AB,EF?PD,OF?AB,
22∴EF?OF. ∵EF?OF, ∴?EOF?45?.
∴二面角E?BD?A的大小为45?.
(17)(本题13分) 理科
依题意,以点B为原点建立空间直角坐标系(如图), 设AB?2,可得B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
??????(5 分)
ED
FOCB??????(11分)
??????(12分) ??????(13分)
A1(2,0,1),C1(0,2,1),D(0,1,0). 设平面ADC1的法向量为n?(x,y,z),
??????(1 分)
????(2 分)
(Ⅰ)证明:∵AD?(?2,1,0),AC1?(?2,2,1),A1B?(?2,0,?1).
???2x?y?0,?n?AD?0,则有? 即?
?2x?2y?z?0.n?AC?0.??1?A令x?1,得n?(1,2,?2). ??(4 分) 1B1zC1EBDCy∵A1B?n?(?2)?1?0?2?(?1)?(?2)?0, ∴A1B?n. ??????(5分) ∵A1B?平面ADC1, ∴A1B//平面ADC1.
Ax
??????(6 分)
(Ⅱ)解: 易知平面ADC的一个法向量m?(0,0,1),
由(Ⅰ)可知平面ADC1的法向量n?(1,2,?2), ∴cos?m,n??m?n?22???. m?n1?33 ??????(8 分)
∵二面角C?AD?C1是锐二面角,
2∴二面角C?AD?C1的余弦值为.
3(Ⅲ)解: ∵E(1,0,1),AE?(?1,0,1),DC1?(0,1,1),
??????(9 分) ??????(10分)
- 7 -
∴cos?AE,DC1??AE?DC1AE?DC1?11?. 2?22
??????(12分) ??????(13分)
∴AE与DC1所成的角为60?.
(18)(本题13分)
(Ⅰ)证明:∵an?1?an?6an?1?9?0,
∴an?1(an?3)?3(an?1?3)?0.
∴an?1(an?3)?3(an?1?3). 由a1?3?0,可知an?3?0, ∴即∵
an?1111???. an?33(an?1?3)3an?1?3111??. an?3an?1?3311?, a1?33 ??????(2 分)
??????(4 分) ??????(5 分)
∴数列{111}是首项为,公差为的等差数列. an?333111n??(n?1)?, an?3333??????(6 分) ??????(7 分)
(Ⅱ)解: 由(Ⅰ)得
3(n?1). ??????(9 分) nan3(n?1)1311????3(?),????(11分) (Ⅲ)解: ∵bn?nnn?1(n?1)2(n?1)2n(n?1)∴数列{an}的通项公式an?∴Tn?b1?b2?b3???bn
1111111?3[(1?)?(?)?(?)???(?)]
22334nn?113n. ??????(13分) ?3(1?)?n?1n?1(19)(本题14分) (Ⅰ)解:∵AB?AF1?BF1?8,即AF1?AF2?BF1?BF2?8,
而AF1?AF2?BF1?BF2?2a, ∴4a?8,即a?2.
c1∵e??,
a2
??????(1 分) ??????(2 分)
∴c?1,则b?a2?c2?3. x2y2??1. ∴椭圆C的方程为43
??????(4 分) ??????(5 分)
?y?kx?m,?(Ⅱ)证明:由?x2y2 得(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0. ?????(6 分)
??1,?3?4如图,设P点的坐标为(x0,y0),依题意m?0且??0, ??????(7 分)
即??64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0, 整理得4k2?3?m2.
??????(8 分)
- 8 -
4k234km4k?m?, 此时x0??2,y0?kx0?m????mmm4k?3∴P点的坐标为(?4k3,). ??(10分) mmQx??4PF1yAOF2?y?kx?m,由?解得y??4k?m.
x??4,?xB∴Q点的坐标为(?4,?4k?m). ??(12分)
由F1(?1,0)求得kPF1∴kPF1?kQF1??1.
3?03?4k?m?0m?4km,kQF1?, ????4km?4k?4?13??1m∴直线PF1垂直于直线QF1.
(20)(本题14分)
??????(14分)
(Ⅰ)解:当a?1时,函数f(x)?x2?3x?lnx,
2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?则f'(x)?. xx ??????(1 分)
令f'(x)?0,得x1?1,x2?1, 2当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (0,1) 2+ 1 20 极大值 1(,1) 2- ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ ↗ ∴f(x)在(0,当x?11)和(1,??)上单调递增,在(,1)上单调递减. ??(2 分) 22115时,f(x)极大值?f()???ln2, 224
??????(4 分)
当x?1时,f(x)极小值?f(1)??2.
(Ⅱ)解:依题意ax2?(2a?1)x?lnx?2ax2?2(a?1)x,
即ax2?x?lnx?0. 则a?lnx?x. x2 ??????(5 分)
1(?1)x2?2x(lnx?x)1?x?2lnxlnx?xxr'(x)??令r(x)?,则. ?(6 分)
x4x3x2当0?x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递增(如图),
y11且r()?e?1?1e21e??e2?e?0;
y?aO1xy?r(x)
- 9 -
当x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递减,且
lnx?x?0. x2??????(8 分)
∴函数r(x)在x?1处取得最大值r(x)max?r(1)?1. 故要使y?lnx?x与y?a恰有两个不同的交点,只需0?a?1. x2
??????(9 分)
∴实数a的取值范围是(0,1).
(Ⅲ)文科
解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0;由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.
对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.
即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立. 2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,
xx⑴ 当a?0时,f'(x)?1?x, x由f'(x)?0,得0?x?1;由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0, ∴a?0符合题意. ⑵ 当a?0时,f'(x)?
??????(11分)
(2ax?1)(x?1),
x由f'(x)?0,得0?x?1;由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0, ∴?1≤a?0符合题意.
综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].
(Ⅲ)理科
解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0;由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.
对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.
即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立.
??????(14分)
- 10 -
2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,
xx1?x⑴ 当a?0时,f'(x)?,
x由f'(x)?0,得0?x?1;由f'(x)?0,得x?1,
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0,
∴a?0符合题意.
(2ax?1)(x?1)⑵ 当a?0时,f'(x)?,
x由f'(x)?0,得0?x?1;由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0,
∴?1≤a?0符合题意. ??????(12分)
(2ax?1)(x?1)1⑶ 当a?0时,f'(x)?,由f'(x)?0,得x1?,x2?1,
x2a1① 当0?a?时,x1?1,
211由f'(x)?0,得0?x?1或x?;由f'(x)?0,得1?x?,
2a2a1∴f(x)在(,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾.
2a(x?1)21②当a?时,f'(x)?≥0,f(x)在(0,??)上是增函数,
x2与f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立矛盾.
??????(10分)
1时,0?x1?1, 211由f'(x)?0,得0?x?或x?1;由f'(x)?0,得?x?1,
2a2a∴f(x)在(1,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾. ③ 当a?综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].
??????(14分)
- 11 -
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