天津市和平区2015届高三第二次模拟考试 数学文 Word版含答案

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！

第Ⅰ卷 选择题（共40分）

注意事项:

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

?如果事件

A，B互斥,那么

?如果事件A，B相互独立,那么

P(A?B)?P(A)?P(B).

?柱体的体积公式V P(A?B)?P(A)?P(B).

?球的体积公式V?Sh. 其中S表示

4??R3. 其中R表示 3柱体的底面积,h表示柱体的高. 球的半径.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知

a?i1??b(1?i)（其中i为虚数单位,a,b?R）,则a等于 1?i2

（B）2

（C）?1

（D）

（A）?2

1 22（2）已知命题p:?x0?R,x0?x0?1≤0,则?p为 2（A）?x0?R,x0?x0?1?0

2（B）?x0?R,x0?x0?1?0

（C）?x?R,x2?x?1?0

（D）?x?R,x2?x?1≥0

??x?y?3≤ 0,（3）设非负实数x,y满足约束条件? 则z?2x?3y的最大值为

2x?y?40.≤ ??（A）12 （B）9 （C）8 （D）4

（4）已知函数f(x)?4cosxsin(x??)?1（0????）,若f()?1,则f(x)的最小正周期为

33?（A）? （B） （C）2? （D）4?

2x2y2（5）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P作直线PA,PB交双曲线于A,B两点,且斜

ab?率分别为k1,k2,若直线AB过原点,k1?k2?2,则双曲线的离心率e等于 （A）3

（B）3

（C）

6 2 （D）

3 2??ln(?x),x?0,（6）设函数f(x)?? 若f(m)?f(?m),则实数m的取值范围是

?lnx，x?0.??（A）(?1,0)?(0,1) （B）(??,?1)?(0,1)

（C）(?1,0)?(1,??) （D）(??,?1)?(1,??)

（7）如图,已知圆O半径是3,PAB和PCD是圆O的两条 DC- 1 - BO?AP

割线，且PAB过O点,若PB?10,PD?8,给出下列四个结论：①CD?3；②BC?5；③BD?2AC；④?CBD?30?. 则所有正确结论的序号是 （A）①③ （B）①④ （C）①②③ （D）①③④ （8）若函数f(x)?x2?4x?3?kx?2恰有3个零点,则实数k的值为

2或?2 32（C）?或4?25

3（A）?

2或4?25 32（D）?或4?25或4?25

3（B）?第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

注意事项:

1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。 2. 本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. （9）已知某校高三年级有140名学生,其中文科生40人,

其余是理科生,现采用分层抽样的方法从中抽取14

正视图224侧视图名学生进行调研,则抽取的理科生的人数为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何

体的体积为 cm3.

（11）阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出S的

值为 .

（12）已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图象关

于x?1对称,当x?[0,1]时,f(x)?ex?1,则在区 间[0,5]上方程f(x)?1?0实根的个数为 .

4俯视图开始 S?2,i?1i?6?是 否 1S?1?S输出S结束 i?i?121（13）如图,在△ABC中,AD?AC,BP?BD,

33若AP??AB??AC,则

CDPAB?的值为 . ?（14）已知Sn?3?7?13???(2n?2n?1),S10?a?b?c,其中a,b,c?N*,则a?b?c的

最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

现有8名区级学科竞赛优胜者,其中有语文学科A1、A2、A3,数学学科B1、B2、B3,英语学科

- 2 -

C1、C2.从中选出语文、数学、英语学科竞赛优胜者各1名组成一个小组参加市级学科竞赛,

已知各学科中每名优胜者被选中的机会均等.

（Ⅰ）列举出组成这个小组所有可能的结果； （Ⅱ）求A3和B3均没有被选中的概率； （Ⅲ）求B1和C1中至少有一人被选中的概率.

（16）（本小题满分13分）

在△ABC中,角A,B,C为三个内角,已知cosA?（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点,求CD的长.

（17）（本小题满分13分）

如图,四棱锥P?ABCD的底面是平行四边形,AB?BD,

51,cosB?,BC?5. 75PPD?平面ABCD,且PD?AB,E为PA的中点.

（Ⅰ）求证:CD?PB； （Ⅱ）求证:PC//平面BED； （Ⅲ）求二面角E?BD?A的大小.

（18）（本小题满分13分）

已知数列{an}满足:a1?6,an?1?an?6an?1?9?0,n?N*且n≥2. （Ⅰ）求证: 数列{1}为等差数列； an?3ED

CAB（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设bn?

（19）（本小题满分14分）

x2y21如图,椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?.过F2的

ab2an,求数列{bn}的前n项和Tn.

(n?1)2直线交椭圆C于A、B两点,且△ABF1的周长为8. - 3 - yAF1OF2xB

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相切于P点,且与 直线x??4相交于Q点,求证:直线PF1垂直于直线QF1.

（20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ax2?(2a?1)x?lnx,a?R. （Ⅰ） 当a?1时,求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ） 若关于x的方程f(x)?2ax2?2(a?1)x恰有两个不等的实根,求实数a的取值范围； （Ⅲ）设g(x)?ex?x?1, 当a≤0时, 若对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学

（文理）学科试卷参考答案及评分标准

一、选择题 （每小题5分，共40分）

（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A （6）B （7）D （8）C 二、填空题 （每小题5分，共30分）

题号 文科 理科 （9） 10 28? 3（10） 28? 332 3（11） 1 2（12） 3 （13） 3 （14） 68 68 (2,??) 12 725 5三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本题13分）文科

（Ⅰ）解: 依题意,从8名学科竞赛优胜者中选出3名组成一个小组所有可能的结果为:

{A1,B1,C1},{A1,B1,C2},{A1,B2,C1},{A1,B2,C2}, {A1,B3,C1},{A1,B3,C2},{A2,B1,C1},{A2,B1,C2}, {A2,B2,C1},{A2,B2,C2},{A2,B3,C1},{A2,B3,C2}, {A3,B1,C1},{A3,B1,C2},{A3,B2,C1},{A3,B2,C2}, {A3,B3,C1},{A3,B3,C2},共18种.

??????（6 分）

- 4 -

（Ⅱ）解: 用M表示“A3和B3均没有被选中”,其所有可能的结果为:

{A1,B1,C1},{A1,B1,C2},{A1,B2,C1},{A1,B2,C2},

{A2,B1,C1},{A2,B1,C2},{A2,B2,C1},{A2,B2,C2},共8种. ?（8 分） ∴P(M)?84?. 189 ??????（10分）

（Ⅲ）解: 用N表示“B1和C1中至少有一人被选中”,则其对立事件N表示“B1和C1均没有

被选中”,N包含的基本事件有:

{A1,B2,C2},{A1,B3,C2},{A2,B2,C2},{A2,B3,C2}, {A3,B2,C2},{A3,B3,C2},共6种. 则P(N)?

??????（11分）

61?. 18312?. 33

??????（13分）

∴P(N)?1?P(N)?1?（15）（本题13分）理科

?1（Ⅰ）解: 依题意f(0)?a?b?1,f()?1?a?b?1,

42?a?b?1,由? 解得a?2,b??1.

a?2b?0,?则f(x)?sin(2x?

??????（2 分） ??????（4 分）

?)?sin(2x?)?2cos2x?1

33??sin2x?cos?3?cos2x?sin?3?sin2x?cos

?3?cos2x?sin

??sin2x?cos2x

3??????（6 分） ??????（8 分） ??????（9 分）

?cos2x

?2sin(2x?).

42?∴f(x)的最小正周期T???.

2?（Ⅱ）解:∵f(x)?2sin(2x?)在区间[?,]上是增函数,

448在区间[,]上是减函数,

84????? ??????（11分）

且f(?)??1,f()?2,f()?1,

484∴函数f(x)在区间[?（16）（本题13分）文科 （Ⅰ）解: ∵在△ABC中,cosA?∴sinA?1?cos2A?????4,?4]上的最大值为2,最小值为?1. ??（13分）

51,cosB?, 752626,sinB?1?cos2B?. ??????（2 分） 75ACBC由正弦定理得, ??????（4 分） ?sinBsinA

- 5 -

即AC?BC?sinB?sinA5?265?7. 267 ??????（6 分）

（Ⅱ）解: 在△ABC中,AC?7,BC?5,cosB?1, 5??????（8 分）

由余弦定理得AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB,

1即49?AB2?25?2AB?5?,

5整理得AB2?2AB?24?0,解得AB?6.

11∵在△BCD中,BD?AB?3,BC?5,cosB?,

25??????（10分）

∴由余弦定理得CD2?BD2?BC2?2BD?BC?cosB, ??????（11分）

1即CD2?9?25?2?3?5??28.

5∴CD?27. ??????（13分）

（16）（本题13分）理科

（Ⅰ）解: 设“一次取出的3张牌中的花色互不相同”的事件记为A, ???（1 分）

3111C4?C3?C3?C310827??则P(A)?. 322055C12 ??????（5 分） ??????（6 分） ??????（7 分） ??????（8 分） ??????（9 分） ??????（10分）

（Ⅱ）解: 由题意,随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.

3C98421P(X?0)?3??,

C1222055

12C3?C93?3627P(X?1)???, 322055C1221C3?C93?927P(X?2)???, 3220220C123C31P(X?3)?3?.

C12220

∴随机变量X的分布列是:

1 2 3 27271????（11分） P 55220220 21272711653∴数学期望E(X)?0??1??2??3???. ?（13分）

55552202202204X 0 21 55（17）（本题13分）文科

（Ⅰ）证明:∵PD?平面ABCD,CD?平面ABCD,

∴CD?PD.

- 6 -

??????（1 分） ??????（2 分） ??????（3 分） ??????（4 分）

∵CD//AB,AB?BD, ∴CD?BD. ∵PD?BD?D, ∴CD?平面PBD. ∵PB?平面PBD, ∴CD?PB.

（Ⅱ）证明:如图,连接AC,与BD相交于点O,连接EO.

∵四边形ABCD是平行四边形, ∴O为AC的中点. ∵E为PA的中点, ∴EO//PC.

??????（6 分） ??????（8 分）

P∵EO?平面BED,PC?平面BED,

∴PC//平面BED.

（Ⅲ）解: 如图,作OF//AB,交AD于F点,

则F为AD的中点. ????（9 分） ∵AB?BD,OF//AB, ∴OF?BD. ??????（10分） 连接EF,则EF//PD,

∵PD?平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴PD?BD,从而EF?BD. ∴BD?平面EOF. A∴?EOF是二面角E?BD?A的平面角.

11∵PD?AB,EF?PD,OF?AB,

22∴EF?OF. ∵EF?OF, ∴?EOF?45?.

∴二面角E?BD?A的大小为45?.

（17）（本题13分） 理科

依题意,以点B为原点建立空间直角坐标系（如图）, 设AB?2,可得B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),

??????（5 分）

ED

FOCB??????（11分）

??????（12分） ??????（13分）

A1(2,0,1),C1(0,2,1),D(0,1,0). 设平面ADC1的法向量为n?(x,y,z),

??????（1 分）

????（2 分）

（Ⅰ）证明:∵AD?(?2,1,0),AC1?(?2,2,1),A1B?(?2,0,?1).

???2x?y?0,?n?AD?0,则有? 即?

?2x?2y?z?0.n?AC?0.??1?A令x?1,得n?(1,2,?2). ??（4 分） 1B1zC1EBDCy∵A1B?n?(?2)?1?0?2?(?1)?(?2)?0, ∴A1B?n. ??????（5分） ∵A1B?平面ADC1, ∴A1B//平面ADC1.

Ax

??????（6 分）

（Ⅱ）解: 易知平面ADC的一个法向量m?(0,0,1),

由（Ⅰ）可知平面ADC1的法向量n?(1,2,?2), ∴cos?m,n??m?n?22???. m?n1?33 ??????（8 分）

∵二面角C?AD?C1是锐二面角,

2∴二面角C?AD?C1的余弦值为.

3（Ⅲ）解: ∵E(1,0,1),AE?(?1,0,1),DC1?(0,1,1),

??????（9 分） ??????（10分）

- 7 -

∴cos?AE,DC1??AE?DC1AE?DC1?11?. 2?22

??????（12分） ??????（13分）

∴AE与DC1所成的角为60?.

（18）（本题13分）

（Ⅰ）证明:∵an?1?an?6an?1?9?0,

∴an?1(an?3)?3(an?1?3)?0.

∴an?1(an?3)?3(an?1?3). 由a1?3?0,可知an?3?0, ∴即∵

an?1111???. an?33(an?1?3)3an?1?3111??. an?3an?1?3311?, a1?33 ??????（2 分）

??????（4 分） ??????（5 分）

∴数列{111}是首项为,公差为的等差数列. an?333111n??(n?1)?, an?3333??????（6 分） ??????（7 分）

（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）得

3(n?1). ??????（9 分） nan3(n?1)1311????3(?),????（11分） （Ⅲ）解: ∵bn?nnn?1(n?1)2(n?1)2n(n?1)∴数列{an}的通项公式an?∴Tn?b1?b2?b3???bn

1111111?3[(1?)?(?)?(?)???(?)]

22334nn?113n. ??????（13分） ?3(1?)?n?1n?1（19）（本题14分） （Ⅰ）解:∵AB?AF1?BF1?8,即AF1?AF2?BF1?BF2?8,

而AF1?AF2?BF1?BF2?2a, ∴4a?8,即a?2.

c1∵e??,

a2

??????（1 分） ??????（2 分）

∴c?1,则b?a2?c2?3. x2y2??1. ∴椭圆C的方程为43

??????（4 分） ??????（5 分）

?y?kx?m,?（Ⅱ）证明:由?x2y2 得(4k2?3)x2?8kmx?4m2?12?0. ?????（6 分）

??1,?3?4如图,设P点的坐标为(x0,y0),依题意m?0且??0, ??????（7 分）

即??64k2m2?4(4k2?3)(4m2?12)?0, 整理得4k2?3?m2.

??????（8 分）

- 8 -

4k234km4k?m?, 此时x0??2,y0?kx0?m????mmm4k?3∴P点的坐标为(?4k3,). ??（10分） mmQx??4PF1yAOF2?y?kx?m,由?解得y??4k?m.

x??4,?xB∴Q点的坐标为(?4,?4k?m). ??（12分）

由F1(?1,0)求得kPF1∴kPF1?kQF1??1.

3?03?4k?m?0m?4km,kQF1?, ????4km?4k?4?13??1m∴直线PF1垂直于直线QF1.

（20）（本题14分）

??????（14分）

（Ⅰ）解:当a?1时,函数f(x)?x2?3x?lnx,

2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?则f'(x)?. xx ??????（1 分）

令f'(x)?0,得x1?1,x2?1, 2当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) (0,1) 2+ 1 20 极大值 1(,1) 2- ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ ↗ ∴f(x)在(0,当x?11)和(1,??)上单调递增,在(,1)上单调递减. ??（2 分） 22115时,f(x)极大值?f()???ln2, 224

??????（4 分）

当x?1时,f(x)极小值?f(1)??2.

（Ⅱ）解:依题意ax2?(2a?1)x?lnx?2ax2?2(a?1)x,

即ax2?x?lnx?0. 则a?lnx?x. x2 ??????（5 分）

1(?1)x2?2x(lnx?x)1?x?2lnxlnx?xxr'(x)??令r(x)?,则. ?（6 分）

x4x3x2当0?x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递增（如图）,

y11且r()?e?1?1e21e??e2?e?0；

y?aO1xy?r(x)

- 9 -

当x?1时,r'(x)?0,故r(x)单调递减,且

lnx?x?0. x2??????（8 分）

∴函数r(x)在x?1处取得最大值r(x)max?r(1)?1. 故要使y?lnx?x与y?a恰有两个不同的交点,只需0?a?1. x2

??????（9 分）

∴实数a的取值范围是(0,1).

（Ⅲ）文科

解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0；由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.

对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.

即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立. 2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,

xx⑴ 当a?0时,f'(x)?1?x, x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0, ∴a?0符合题意. ⑵ 当a?0时,f'(x)?

??????（11分）

(2ax?1)(x?1),

x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0, ∴?1≤a?0符合题意.

综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].

（Ⅲ）理科

解:由g(x)?ex?x?1,得g'(x)?ex?1, 由g'(x)?0,得x?0；由g'(x)?0,得x?0, ∴g(x)在(??,0)上是减函数,在(0,??)上是增函数. 故g(x)min?g(0)?0.

对于任意的x1?(0,??),x2?R,不等式f(x1)≤g(x2)恒成立, 则有f(x1)≤g(0)?0恒成立.

即不等式f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立.

??????（14分）

- 10 -

2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)f'(x)??,

xx1?x⑴ 当a?0时,f'(x)?,

x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1,

∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. ∵f(x)max?f(1)??1?0,

∴a?0符合题意.

(2ax?1)(x?1)⑵ 当a?0时,f'(x)?,

x由f'(x)?0,得0?x?1；由f'(x)?0,得x?1, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,??)上是减函数. 由f(x)max?f(1)??a?1≤0,解得?1≤a?0,

∴?1≤a?0符合题意. ??????（12分）

(2ax?1)(x?1)1⑶ 当a?0时,f'(x)?,由f'(x)?0,得x1?,x2?1,

x2a1① 当0?a?时,x1?1,

211由f'(x)?0,得0?x?1或x?；由f'(x)?0,得1?x?,

2a2a1∴f(x)在(,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾.

2a(x?1)21②当a?时,f'(x)?≥0,f(x)在(0,??)上是增函数,

x2与f(x)≤0对于任意的x?(0,??)恒成立矛盾.

??????（10分）

1时,0?x1?1, 211由f'(x)?0,得0?x?或x?1；由f'(x)?0,得?x?1,

2a2a∴f(x)在(1,??)上是增函数,与f(x)≤0对于任意x?(0,??)恒成立矛盾. ③ 当a?综上所述,实数a的取值范围是[?1,0].

??????（14分）

- 11 -

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