2019届高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第四

2019届高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接

证明和间接证明夯基提能作业本 理

1.(2016广东广州调研)若a,b,c为实数,且a

A.ac

22

B.a>ab>b+

22

C.<

+

D.>

(a≥0),则P,Q的大小关系是( )

,Q=

A.P>Q B.P=Q C.P

3.用数学归纳法证明“n+(n+1)+(n+2)(n∈N)能被9整除”,利用归纳法假设证明n=k+1时,只需展开( ) A.(k+3) C.(k+1)

3 3

3

3

3

*

B.(k+2) D.(k+1)+(k+2)

2

2

3

3

3

4.设a,b是两个实数,给出下列条件:

①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1.

其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) A.②③ B.①②③

C.③

D.③④⑤

5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+ f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负

6.已知a,b,x均为正数,且a>b,则与的大小关系是 .

7.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是 .

8.用数学归纳法证明不等式++…+>(n∈N)的过程中,由“n=k”推导“n=k+1”时,不等式的

*

左边增加的式子是 .

9.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x+x,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.

(1)求a,b的值; (2)证明:f(x)≤g(x).

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10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=(n∈N).

*

(1)证明:数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=anan+1(n∈N),数列{bn}的前n项和记为Tn,证明:Tn<.

B组 提升题组

11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形

12.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )

*

A.n+1 13.如果a

B.2n +b

>a

+b

C. D.n+n+1

2

,则a,b应满足的条件是 .

2

14.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有(Sn-1)=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn= .

15.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;

,S3=9+3

.

(2)设bn=(n∈N),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

*

16.已知数列{an}满足a1=a>2,an=(1)求证:对任意n∈N,an>2;

(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由;

*

(n≥2,n∈N).

*

(3)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:当a=3时,Sn<2n+.

答案全解全析 A组 基础题组

1.B a-ab=a(a-b), ∵a0, ∴a>ab.① 同理,ab>b,② 由①②得a>ab>b.

2.A 假设P>Q,要证P>Q,只需证P>Q,只需证: 2a+13+2

2

2

2

2

2

2

2

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2

>2a+13+2,

只需证a+13a+42>a+13a+40, 只需证42>40,

因为42>40成立,所以P>Q成立.

3.A 假设n=k时,原式能被9整除,即k+(k+1)+(k+2)能被9整除,当n=k+1时,原式=(k+1)+(k+2)+(k+3),为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)展开,让其出现k即可.

3

3

3

3

3

3

3

3

4.C 若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;

若a=b=1,则a+b=2,但不满足a,b中至少有一个大于1,故②推不出; 若a=-2,b=-3,则a+b>2,但a<1,b<1,故④推不出; 若a=-2,b=-3,则ab>1,但a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若a+b>2,则“a,b中至少有一个大于1”成立. 证明(反证法):假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾, 因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.

5.A 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2, f(x1)< f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.

2

2

6.答案 >

解析 ∵7.答案 3

-=>0,∴>.

解析 要使+≥2成立,则>0,即a与b同号,故①③④均能使+≥2成立.

8.答案

解析 不等式的左边增加的式子是+-=.

9.解析 (1)f '(x)=,g'(x)=b-x+x,

2

由题意得解得a=0,b=1.

(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x)

=ln(x+1)-x+x-x(x>-1),

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则h'(x)=-x+x-1=

2

.

h(x)在(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数. h(x)max=h(0)=0,h(x)≤0,即f(x)≤g(x).

10.解析 (1)由已知可得,当n∈N时,an+1=

*

,

两边取倒数得,==+3,即-=3,所以数列是首项为=2,公差为3的等差数列,

其通项公式为=2+(n-1)×3=3n-1,

所以数列{an}的通项公式为an=.

(2)证明:由(1)知an=,

故bn=anan+1=·==,

故Tn=b1+b2+…+bn

=×+×+…+×

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