2010级高三数学理科模拟试卷六

1 数学模拟试题六（理科）

本试卷共第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

参考公式：

样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式

s = 13

V Sh = 其中x -

为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V Sh = 2344,3

S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．已知复数i

i a +在复平面内对应的点在一．三象限的角平分线上，则实数=a （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 2．如果()1,a k = ，(),4b k = ，那么“//a b ”是“2k =-”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．已知),0(~2a N ξ，且)02(≤≤-ξP =0.4，则(2)P ξ>=（ ）

A ．0.1

B ．0.2

C ．0.3

D ．0.4

4．对于平面α和共面的直线m ．,n 下列命题中真命题是（ ）

A ．若,m m n α⊥⊥则//n α

B ．若//,m n αα//,则//m n

C ．若,//m n αα?,则//m n

D ．若m ．n 与α所成的角相等，则//m n

5．从5名男生和5名女生中任选3人参加某集体项目的比赛，其中至少有一名男生入选的组队方案数为

（ ）

A ．90

B ．100

C ．110

D ．120

6．由曲线23x y -=和x y 2=围成的图形的面积为（ ）

A ．

223 B ．323 C ．163 D ．283

7．若1()n x x

+展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中常数项的值等于（ ） A ．8 B ．16 C ．80 D ．70

8．已知y x ,满足条件5003x y x y x -+≤??+≥??≤?，则24z x y =+的最小值为（ ）

A ．6

B ．-6

C ．5

D ．-5

9．设函数2()()f x g x x =+，曲线)(x g y =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线的斜率为（ ）

A ．2

B ．14-

C ．4

D ．12

-

2 10．已知集合{}230123333A x x a a a a ==+?+?+?，其中{}0,1,2i a ∈(0,1,2,3)i =且30a ≠，则A 中所有

元素之和等于（ ）

A ．3240

B ．3120

C ．2997

D ．2889

二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．已知函数2,1,(),1,

x x f x x x ?≥=?-<?若()4f x =，则=x

12．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应

填的是

13．以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形有一

个内角为?60，则双曲线C 的离心率为______ 14．已知i ．j ．k 为两两垂直的单位向量，非零向量

123123(,,R)a a i a j a k a a a =++∈ ，若向量与向量i ．j ．k 的夹角分别为α．β．γ，则

222c o s c o s c o s αβγ++= 15．已知函数()1,0,R x Q f x x C Q ∈?=?∈?

,给出下列结论： （1

）(0f f =； （2）函数()f x 是偶函数； （3）函数()f x 是周期函数；

（4）存在()3,2,1=∈i R x i ,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形；其中，所有正确的结论是

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（满分13分）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 2A B =

，sin B （Ⅰ）求cos A 及sin C 的值； （Ⅱ）若2b =，求ABC ?的面积.

17．（满分13分）某汽车驾驶学校在学员结业前，要对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为18的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过12，且他直到参加第二次考核才合格的概率为932

。 （Ⅰ）求小李第一次参加考核就合格的概率1p ；

（Ⅱ）求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望。

18．（满分13分）已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x ，左、右两个焦点分别为1F 、2F ，上顶点),0(b A ，21F AF ?为正三角形且周长为6.

（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；

（2）O 为坐标原点，P 是直线A F 1上的一个动点，求||||2PO PF +的最小值，并求出此时点P 的坐标．

19．（满分13分）如图：PA⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，PA=AB=1，点E ．F 分别是BC ．PB 的中点。

3 （Ⅰ） 证明:PAC EF 平面//；

（Ⅱ）当AD 等于何值时，二面角P-DE-A 的大小为30°；

（Ⅲ）求二面角P-DE-A 余弦值的取值范围。

20．（满分14分）已知函数()()()31642ln 3

f x x a x a x =+-+-，()22

g x x x b =-++ （Ⅰ）若2a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对()12,0,x x ?∈+∞，都有()()12f x g x >，求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）若()f x 在()0,m ，(),n +∞上单调递增，在(),m n 上单调递减，求实数a 的取值范围。

21．本题有（1）．（2）．（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A ＝ ?

?0a ????b 1把点（1，1）变换成点（2，2） （Ⅰ）求b a ,的值

（Ⅱ）求曲线C ：122=+y x 在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程。

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为：???+==kt

y t x 1（t 为参数），以o 为原点，ox 轴为极轴，单位长

度不变，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：θθρcos 4sin 2=.

（Ⅰ）写出直线和曲线C 的普通方程。

（Ⅱ）若直线和曲线C 相切，求实数k 的值。

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 若不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数,,x y z 恒成立，求实数a 的取值范围。

4

数学（理）适应性练习参考答案

一．选择题：ABACC BDCCD 二．填空题：

11．2或-4 12．5<n 13

14．__1_ 15．（2）（3） 三．解答题： 16.解析：

（1）∵B A 2=

∴221

cos cos212sin 123

A B B ==-=-?=………3分 又 ∵ A ．),0(π∈B ∴ 2

0π

<<<A B

∴ 322cos 1sin 2

=

-=A A ， 3

6sin 1cos 2

=-=B B ………5分 ∴ []39

5

sin cos cos sin )sin()(sin sin =?+?=+=+-=B A B A B A B A C π

∴ 31cos =A 39

5

sin =C ………7分

（2）由正弦定理 B b A a sin sin =

∴ 6343

3

2

322sin sin =?=?=B A b a ………10分 ∴ 29

20

395263421sin 21=???==?C ab S ABC ………13分

17.解析：

（1）∵小李直到参加第二次考核才合格的概率为32

9

. ∴32

9

)8

1)(1(11=

+-P P ………2分 解得411=P 或85

1

=P ………4分 ∵211

≤P , ∴第一次参加考核就合格的概率为4

1

………5分 （2）X 的取值为1．2．3．4

4

1

)1(==X P

329

)8141()411()2(=

+?-==X P 64

15

)4141()]8141(1[)411()3(=+?+-?-==X P

64

15

)3()2()1(1)4(==-=-=-==x P x P x P X P ………9分

∴X 的概率分布列为：

X

1 2 3 4

5 ……11分 ∴64157

6415464153329241

1)(=?+?+?+?=X E ………13分

18. 解：（Ⅰ）解：由题设得?????+==++=

2

22622c b a c a a c

a ……………… 2分

解得： 3,2==b a ，1=c …… 3分

故C 的方程为1342

2

=+y x . …… 5分 离心率e 21

= ………………… 6分

（2）直线A F 1的方程为)1(3+=x y ，…… 7分

设点O 关于直线A F 1对称的点为),(00y x M ，则

???????=-=

????????+=-=?2

3

2

3

)12(3213000

000y x x y x y （联立方程正确，可得分至8分）

所以点M 的坐标为 )23

,23

(- ……………………………… 9分 ∵PM PO =，222MF PM PF PO PF ≥+=+，…… 10分 ||||2PO PF +的最小值为7)023

()123(||222=-+--=MF …………… 11分

直线2MF 的方程为)1(1

230

23----=x y 即)1(5

3--=x y …………… 12分 由???????=-

=??????+=--

=3

332

)1(3)1(53y x x y x y ，所以此时点P 的坐标为 )3

3,32(-…………… 13分

19.（I ）证明：在BPC ?中

∵F ．E 分别是BP ．BC 中点

∴PC FE //

又∵?FE 平面PAC ∴//EF 平面PAC ………3分

P

41 329 6415 6415

6 （II ）设a AD =，以A 为原点，以AD ．AB ．AP 为x ．y ．z 轴方向建立空间直角坐标系如图所示,则)0,0,0(A )1,0,0(P )0,0,(a D )0,1,2(a E ………5分

设平面PDE 法向量为 ?????=?=?0

0DE v 取),2,1(a a = 又平面ADE 法向量)1,0,0(=………7分

∵二面角A DE P --的大小为30°

∴==?cos 30cos 即：2

24111123a a ++??= ∴32=a 或32-=a （舍） ∴AD 长为32………9分

（III ）设二面角A DE P --大小为θ，依题意)2,

0(πθ∈ 4511411

1,cos cos 22

2+=++?=><=a

a a θ………10分 ∵454512>+a ， ∴254512>+a ， ∴)5

52,0(45112∈+a ………12分 ∴二面角A PE P --余弦值取值范围是（55

2,

0）………13分 20.解析：

（1）)(x f 定义域为)(0,+∞ 当2=a 时，x x x f 43

1)(3-=

，4)('2-=x x f 令0)('=x f 得2=x 或2-=x （舍）

x （0，2） 2 ),2(+∞

)('x f - 0 +

)(x f ↘ ↗

∴)(x f 的递减区间为（0，2），递增区间为),2(+∞………4分

（2）∵),0(,21+∞∈?x x 都有)()(21x g x f >成立

∴m in m ax )()(x f x g <………5分

由（1）知3

16)2()(m in -

==f x f b x x g ++--=1)1()(2

b g x g +==1)1()(m ax ………7分 ∴3161-<+b ∴319-<b ………8分

y

7 （3）x a x a x x a a x x f 24)6(24)6()(3

2-+-+=-+-+='………9分 由条件知n m ,恰为0)(='x f 的两个不相等正根，

即024)6(3=-+-+a x a x 恰有两个不相等正根，………10分

对于方程046)2(3=+-+-x x x a 显然2=x 是方程的一个解，………11分 当2≠x 时，3)1(2222++-=+--=x x x a (0>x 且2≠x )

当0>x 时，2222<+--x x

当2=x 时，6222-=+--x x ………13分

∴2<a 且6-≠a ………14分

21. （I ）解：

（1）由 ??0a ????b 1???? ??=???? ??2211，得?

??==+

22

1b a ∴2,1==b a ………3分

（2）设曲线C 上任一点),('00y x M 在矩阵A 变项作用下为点),(y x M ∵ ??=01A ????

21

∴ ??

01 ????21

???

?

??=??

?? ??y x y x 00

即???=+=0002y y y x x ∴

???????

=-=y

y y

x x 21

21

00………5分

∵'M 在曲线C 上 ∴1)21()21(2

2=+-y y x 故所求曲线方程为：1212

2=+-y xy x ………7分

（Ⅱ）解：（1）由???+==kt y t

x 1得直线的普通方程为1+=kx y

由θθρcos 4sin 2=得x y 4,cos 4sin 222==θρθρ

曲线C 的普通方程为：x y 42=………4分

（2）把1+=kx y 代入x y 42=得01)42(22=+-+x k x k

由04)42(22=--=?k k ，得1=k ………7分

（Ⅲ）解：

由柯西不等式22222229(122)()(22),x y z x y z =++?++≥++

∴322≤++z y x ，当且仅当?????=++>==1

0221222z y x z

y x 即32

,32

,31

===z y x 时，z y x 22++取得最大值3………4分 ∵z y x a 221++≥-对满足1222=++z y x 的一切实数z y x ,,恒成立 ∴31≥-a ∴31≥-a 或31-≤-a

∴4≥a 或2-≤a ………7分

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k2n1.html