何锃版理论力学部分例题及习题参考答案

1-1-1是非题（正确的在括号内画√，错误在画×）。

1．作用于刚体上的力是滑动矢量，作用于变形体上的力是定位矢量。（√） 2．二力构件的约束反力是其作用线的方位沿二受力点的连线，指向可假设。（√）

3．加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（×）

4．若两个力相等，则这个力就等效。（×）

???????5．作用于A点共线反向的两个力F1和F2且F1>F2，则合力R?F1?F2。（×） 6．力F可沿其作用线由D点滑移到E点。（×）

??7．两物体在光滑斜面m-n处接触，不计自重，若力F1和F2的大小相等方向相反，且共线，则两个物体都处于平衡状态。（×）

1-1-2 选择题（将正确答案前面的序号写在括号内） 1．二力平衡公理适用于（1） ①刚体

②变形体

③刚体和变形体

2．作用与反作用公理适用于（3） ①刚体

②变形体

③刚体和变形体

3．作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任何两上力的作用线相交于一点，则其余的一个力的作用线必定。（2）

①交于同一点

②交于同一点，且三个力的作用线共面

③不一定交于同一点

4．作用于刚体上的平衡力系，如果作用到变形体上，则变形体（ 3 ）。反之，作用于变形体上的平衡力系如果作用到刚体上，则刚体（ 1 ）。

①平衡

②不平衡

③不一定平衡

5．图示结构中，AC、BC自重分别为P1和P2，各杆受力如图①②③④。（3、4）

1．3 画出下列指定物体的受力图、假定各接触处光滑，物体的重量除注明者匀均不计。

1．圆柱体O 6．杆AB

2．杆AB 3．弯杆ABC 4．刚架 7．销钉A 8．杆AB

1

5．杆AB

1．4试画出下列各物系中指定物体的受力图。假定各接触处光滑，物体的重量除注明者外均不计。

1．起重机构整体：轮O、杆AB、杆BC 2．平衡构架整体：AB部分、弯杆BC 3．三铰拱整体：AB部分、BC部分

?4．A形架整体，AB部分、BC部分，DE杆及销钉B（力P作用在销钉B

上）

5．二跨静定刚架整体、AD部分、EC梁。 6．构架整体，杆AB（连同滑轮），杆AB 7．整体，杆O2B（包括滑块B）、杆OA 8．整体，连杆AB、圆盘O、滑块B

9．整体，杆AB、AC、（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C

10．上题中，若销钉A、C均与AC杆固连，画出AC杆受力图，又若销钉A与AB杆固连，画出AB杆受力图。

2．0思考题

???1．汇交力系（F1、F2、F3）作用，这四个力构成的力多边形分别如图（1）、（2）、（3）试说明哪种情况不平衡，如果不平衡，力系的合力是怎样的？

2．用解析法求汇交力系的平衡问题，需选定坐标系再建立平衡方程

?FX?0，?FY?0，?FZ?0。所选的X、Y、Z各轴是否必须彼此垂直？

不！在空间，X、Y、Z不共向；在平X、Y不共线。

4．圆轮在力偶距为M的力偶和力的共同作用下平衡，这是否说明一个力偶可用一个合适的力与之平衡。

??不。O处的约束反力F?必须与F等相反向、平行，构成与M反向的力偶。

3．平面汇交力系、空间汇交力系、平面力偶系、空间力偶系的独立平衡方程数各为多少？

分别：2、3、1、3

5．在刚体上A、B、C、D四点各作用一力如图所示，其力多边形封闭，问刚体是否平衡？

2

不。四个力构成两个同向边偶，不可能平衡。 2-1-2 判断题

1．质量为m的圆球，以绳索挂在墙上，若绳长等于球的半径，则球对墙的压力大小为（3）

（1）mg

（2）

1mg 2（3）

3mg 3 （4）2mg

2．图示两绳AB、AC悬挂一重为W的重物，已知??????90?，则绳的张力TAB、TAC与重力W三力之间的关系为（2）。

（1）TAB最大 （2）TAB最小 （3）TAC最大

（4）TAC最小

3．图示三铰拱架中，若将作用用于构件AC上的力偶m搬移到构件BC上，则A、B、C各处的约束力（3）。

（1）都不变 （3）都改变

（2）中有C处的不改变 （4）中有C处的改变

4．若矩形平板受力偶矩为m?60N?cm的力偶作用，则直角弯杆ABC对平衡的约束力为（3）。

（1）15N

（2）20N

（3）12N

（4）60N

?2.3如图中平面汇交系F1=173N，F2=50N，F3之大小未知，此三力的合力R???的方位已知如图示，试求R的大小和指向，若F2的大小未知，但R=0，试求此

?情况下力F2的大小。

?????解：（1）R?F1?F2?F3上式向F2所在方向投影得：

1R?F2?F1?230? 2∴R?2F2?2F1?33?100?2?173?200N 22?∴R的大小为200N，指向与假设相反。

（2）?Z??0，F2?F1?230??0 F2?F1cos30??150N

??2.4 长方体的顶角A和B处分别作用有力P和Q，P=500N，Q=700N。求此二力在x、y、z轴上的投影。0xyz坐标系如图所示。

3

??解：由几何关系，得：AC??2i?? ???AC1∴P?P?500?(?2i??)

5AC???BC?2i?3j??

??????2005i?1005k??447.2i?223.6?(N)

??????1Q?Q?100?(?2i?3j?k)??374i?561j?187?(N)

14BCBC2.4图示四连杆机构，各杆自重不计，Q=1000N。求：（1）保持机构在所示位置平衡时所需的铅垂力P的大小；（2）保持机构平衡所需作用于C的最小力的方向和大小。

解：（1）[取钉B]

?ZB?0；NBCcos65?Qcos45?0

??

NBCcos45??Q cos65?[取销钉C]

?ZC?0：NBCcos25?Pcos45?0 ?Qtg65??2144.5N （2）NBC不变，与上同。

??cos25?cos25?P?NBC?Q

cos45?cos65?[取销钉C]?ZC?0：NBCcos25?Psin??0

?cos45?tg65?P?Q

sin??当??90?时，即P?CD时，P最小，Pmin?cos45??tg65?Q?1516.2N 2.5液压式压紧机构如图所示，已知力P及角?，试分别画出轮B、铰链C滑块E的受力图，并求出滑块E加于工件H的压力。

P sin?P[取铰C]?Z??0：NBC?NCEsin2??0 NCE?

sin?sin2?P[取滑块E]???0：FE?NECcos??0F3?NECcos??

2sin2?解：[取轮B]

?Z?0：NBCsin?P?0，NBC?3.4有一重量为P、边长为2a的正方形匀质钢板，以三根绳子AD、BD、CD悬挂于水平位置如图示。设D点与板的重心O在同一铅垂线上，OA=a，求绳子

4

的拉力。

?ADTA???解：[取板ABC]TA?TA?(i?j?k)

3AD?CDTC??TC?TC?(?i?k)

3CD∴?Z?0:TATC??0 32?BDTB??TB?TA?(?j?k)

3BD??P??Pk

TATB??032???0: ???0:TATBTC???0 322解得：TA?32P,TB?TC?P 333.5 计算图示手柄上的力F对于x、y、z轴之矩。已知F=500N，AB=20cm，BC=40cm，??60?,??45?。

??????解：AD??40i?35j F?1232i?1232j?2503k

???ijk?? MA?AD?F??403501252?1252?2502?????15155i?17320.5j?883.25k ∴MX??15155Ncm

MY??17320.5Ncm MZ?883.25Ncm

3.6 图中P=10N，??30?，A点的坐标为（3m，4m，-2m）。求力P对x、y、z各轴之矩。

???????AD解：OA?3i?4j?2k P?P??3i?4j?53k

AD???ijk????MO?OA?P?34?2?(203?8)i?(6?153)j?O?

?3?453∴Mx?203?8?26.64Nm

Mx?6?153??19.98Nm

Mz?0

5

?yA?42.5KN ??mA?165KNm

NB?7.5KN

2.12铰接支架由杆AB和BC组成，载荷P=20KN。已知AD=DB=1m，AC=2m，两个滑轮的半径都是r=30cm。求铰链B对各杆的作用力。

解：[取AB杆]

?mA?0:?AB?2?P?0.3?P?0.7?0 [取销钉B]

?AB?10KN

???0:?BC??AB?P?0 ZBC??23KN [取BC杆]???3KN，

??AB??23KN??AB?3KN结果：?，?

???30KN??AB?10KN?BC??2.13 A形架由三杆铰接组成，P、Q二力作用在AE杆A端，求销钉A对??AD、AE两杆的约束力。若P、Q二力作用在销钉A上，其结果有何变化？

解：[取整体]AD?DE?AE?2a

???mD?0:NE?23a?Q?3a?P?3a?0 ?Z?0:ZD?Q

???0:?D?NE?P?0??D?P3?Q 22NE?P3?Q 22[AD杆]

?mH?0:ZA?2a??D?3a?ZD?a?0 ZA??31P?Q 44?31Z??P?Q??A44 ???0:?A??D?0 答：?????P?3QA?22?解：显然，支座反力不变，即NE?P3P3?Q，ZD?Q，?D??Q 2222 11

[取AD杆]后，与左边一样的分析程序，立即得：

ZAD??31P?Q 44

?AD??P3?Q 22[取销钉]

?Z?0:ZAB?ZAD?Q?0 ZAE?33P?Q 44P3?Q 22???0:?AD??AE?P?0 ?31Z??P?Q??AD44答：? ????P?3QAE?22??AE??

?33Z?P?Q??AE44 ?????P?3QAE?22?M?12KN?m，3-2-5结构尺寸如图，杆重不计，C、E处为铰接，已知P=10KN，

试求A、B、D处约束力。（只许用五个平衡方程求解）。

解：[取整体]

34?mA?0:?B?2?P?1?P?1?M?0 ?B?5KN

553???0:?A??B?P?0 ?A?1KN

5[取BC杆]

?mC?0:ZB?2??B?2?43P?1?P?1?0 55

ZB?2KN

[取DE杆]?mE?0:ND?1?M?0 [取整体]?Z?0:ZA?ZB?ND?ND?12KN

4P?0 5ZA??6KN

?XA??6KN?ZB?2KN答：?，?，ND?12KN

??A?1KN??B?5KN2.14 已知图示结构由直杆CD、BC和曲杆AB组成，杆重不计，且

M?12KN?m，P?12KN，q?10KN/m，试求固定铰支座D及固定端A处的

约束反力。

解：[取BC杆]

?mB?0:?C?2?

5P?1?0 ?C?2.5KN B12

[取CD杆]???0:?D??C?0，?D?2.5KN

?mC?0:ZD?4??D?3?M?0 [取整体]?Z?0:ZA?ZD???0:?A??D?ZD?1.125KN

ZA?25.825KN

12P?Q?0 135P?0 ?A?2.5KN 13125?mA?0:mA??D?1?P?3?P?4?M?Q?1?0

1313mA??40.125KNm

?ZA?25.875KN?ZD?1.125KN???2.5KN答：?A，?

??2.5KN?m??40.125KNm?D?A?2.15 AB、AC、BC、AD四杆连接如图示。水平杆AB上有铅垂向下的力P?作用。求证不论P的位置如何，AC杆总是受到大小等于P的压力。（只允许列

三个方程求解）

说明：[取整体]

?mC?0:ND?b?P?d?0 ND?dP bdP bbbbb[以AB、AD杆]?mE?0:ND??NB??P?(?d)?NAC??0

2222[取AB杆]?mA?0:NB?b?P?d?0，NB?得NAC?P

NAC为AC杆对销钉A的压力，故AC杆总受到销钉A对其的压力P。 2.16构架ABC由三杆AB、AC和DF组成，杆DF上的销子E可在杆AB光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知m?2400N?m，P?200N，试求固定支座B和C的约束反力。

解：[取整体]

?mB?0:?C?8?P?12?m?0 ?mC?0:?B?8?P?4?m?0

?C?600N ?B??400N

13

4NE?4?P?4?0 NE?250 543[取AB杆]?mA?0:ZB?6??B?8?N4?4?NE?3?0

[取DF杆]?ma?0:55ZB??325N

[取整体]?Z?0:ZB?ZC?0，得ZC?325N

答：??ZB??325N?Z?，?C?325N?600N

B??400N??C?2.17用指定方法求图示桁架中标有数字的杆件的内力。 1．节点法

解：[取节点E] ???0:15N2?P?0，N2??5P ?Z?0： N21_5N2?0，N1?2P [取节点D]?Z?0:N24?5N2?0，N4??2P ???0:N3?15N2?0，N3?P [取节点C]?Z?0:

25N26?5N5?N1?0 ???0:

15N16?5N5?N3?0 N5?0，N6?5P

答：N1?29，N2??59，N3?9，N4??29，N5?0，2．截面法 解：[取I-I截面上部]

?Z?0：P?N3?0，N3?P

?maE?0；NBF?a?N3?2?0，N?PBF?2 [取整体]?mA?0：NB?a?P?a?0 NB?P

14

N6?59

[取II-II截面右下部]?Z?0：N1?4N2?0 53???0：N2?NB?NBF?0

525N1?P，N2??P

3625答：N1?P，N2??P，N3?P

362.18 求图示桁架中AB杆的内力（要求只用二个平衡方程求解）。 解：[取整体]

5P 2?mJ?0:NL?2a?P?3a?P?2A?0

NL?[取截面右部]?mK?0:NAB?3a?NL?a?P?3a?P?3a?0

NAB?5P 62.20一拱架支承及载荷如图，P=20KN，Q=10KN，自重不计，求支座，A、B、C的约束反力。（要求用不多于三个平衡方程求解）

解：[取整体]

?mE?0：

NAaNa?(a?)?A?2a?P?a?Q??0

2222NA?502?70.0KN ?mD?0：

NC2NC?3a??2a?P?a?Q?a?0 55NC?305?67.08KN

???0：NB?NANC??P?0 25NB??60KN

2.21 t物体重Q=12KN，由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持如图示，已知AD=BD=2m，CD=DE=1.5，不计杆与滑轮的重量，求支座A的约束力以及BC杆的内力。

解：[取整体]

?Z?0：ZA?Q?0，ZA?12KN

?mB?0：?A?4?Q?(1.5?r)?Q?(2?r)?0

15

?A?1.5KN

[取CE杆]其中NE?2Q

4N?mD?0：NCB?1.5?E?1.5?0

5NCB?15KN

?XA?12KN答：?

??A?1.5KNBC杆内力：NCB?1.5KN

3-3-3 构架支承与尺寸如图所示。已知载荷Q?1000N，P?500N，力偶矩

m?150N?m。求销钉B对杆AB及杆BC的作用力。

解：[取整体]

?mB?0:NA?3?P?1.5?m?Q(1.5?r)?Q(3?r)?0

?Z?0：XB?Q?1000N

???0:?B?P?Q?NA?0，得?B?800N

NA?700N

[取BA杆]

?mD?0：NA?0.9??BA?2.1?0 [取销钉B]

?BA?300

???0:?BC??BA??B?0，得?Bc?500N ?Z?0：ZBA?ZBC?ZB?0

（1）

[取BC杆]

?mC?0：P?1.5?ZBC?1.5??BC?3?0 再由（1）式得，ZBA?500N

ZBC?500N

答：?BA?500，?BA?300，XBC?500，?DC?500 2.19 求图示桁架中杆1、2、3、4的内力。 解：可以看出零杆如图所示。[取I-I截面上半部]

200KN 350N1??KN

3?mD?0：N3?6?80?3?40?4?0 N3??4?mC?0：N1?6?80?3?40?4?0

5

16

3?Z?0：N2?N1?40?0 N2?50KN

53[取节点B]?B?0：N4?N1?0N4?10KN

550200KN，N4?10KN 答：N1??KN，N2?50KN，N3??332.22 组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m，求支座反力及各二力杆的内力。

解；杆1、2、3、4为二力杆[取整体]

?mA?0:NB?14?8?10?36?3?12?0 NB????0:?A?NB?8?36?0 ?A?88KN 7220KN 7[取DE杆及1、2、3、4杆]

?Z?0：N1?N4

（1）

?mF?0：N2?3?N3?3?12?0

N2?N3?4

（2）

（3）

3?mD?0：N3?6?N4?6?12?0，即：30N3?18N4??60

5[取CB杆及3、4杆]

3?mC?0：N3?3?N4?7?8?3?NB?7?0

5即：1.5N3?21N4?320 由（3）、（4）式得：N3??∴N1? （4）

39175KN，N4?KN 2617531KN，N2??KN 921753139175答：N1?，N2??KN，N3??KN，N4?

62264-1-1图示物块A重P=800KN，拉力T=20KN，A、B间摩擦系数f=0.5，则A块所受的摩擦力大小为（3）

（1）30KN

（2）25KN

（3）10KN

??4-1-2两物块A和B迭放在水平面上，它们的重量分别PA、PB，设A与B间的摩擦系数为f1，B与水平面间的摩擦系数为f2，试问施水平拉力P拉动物

17

块B，图示两种情况哪一种省力。（2）

4-1-3若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为?m，则欲使楔子被打入后而不致自动滑动，?角应为多大？（楔重不计） （1）???m

（2）??2?m （3）???m

（4）??2?m

4.2 欲转动一置于V形槽中的棒料，如图所示，须作用一力偶矩

M?1500N?cm的力偶，已知棒料重P?400N，直径D?25cm，试求棒料与V

形槽的摩擦系数f。

解；研究对象：（1）画受力图（2）选坐标（3）列平衡方程求解 解：[取圆柱]

?MO?0：F1r?F2r?M?0 ?MA?0：F2r?N2r?M?P?2r?0 22r?0 2?MB?0：F1r?N1r?M?P?补充：F1?fN1，F2?fN2，

?0.2226得：Mf?2prf?M?0，代入数据，得：f??

4.49?2由上同时可得N1?2(1?f)P∴要使N1?0，必须f?1，故f?0.2226

2(1?f2)4-2-2滑块A、B均重100N，由图示联动装置连接杆AC平行于斜面，CB水平，C是光滑铰链，杆重忽略不计，滑块与地面间摩擦系数均为f=0.5，试确定不致引起滑块移动的最大铅垂力P。

解：分析AC、BC杆的平衡，得：NAC?2P，NBC?3P （1）设B达到临界态，A未达到临界。当B有上滑趋势时：

?Z??0：FB?3NBC?50?0 21NBC?503?0补充：FB?NDf 2???0：NB? 18

得：P?100(3f?1)，即P?87.44N

3?3f100(1?3f)?3.4N

3?3f当B有下滑趋势时，P?（2）设A达到临界态，B未达临界 A只可能有左滑趋势（由整体显见） 可得：P?100f?40.58N 3?f综合：由（1）得：3.4?P?87.44，由（2）得：0?P?40.58 ∴3.4?P?40.58，故使系统保持副部长的最大P力为：P=40.58N 4.5 修电线的工人攀登电线杆所用脚上套钩如图所示。已知电线杆的直径

d?30cm，套钩的尺寸b?10cm，套钩与电线杆之间滑动摩擦系数f?0.3，套

钩的重量略去不计，试求踏脚处到电线杆轴线间的距离a为多大才能保证工作安装操作。

解：研究对象：套钩。

?Z?0：NA?NB ???0，FA?FB?G；

b?MA?0：FBd?NBb?(a?)G

2得：a?b100??16.7cm 2f64.6求使自重2KN的物块C开始向右滑动时，作用于楔块B上的力P的大小。已知各接触面间摩擦角均为15?。

解：用两种方法求解。 1．解析法 解：设f?tg15?

[取C]?Z?0：N2?FC?0 补充：F1?N2f,FC?NCf

???0:NC?F2?G?0

19

得：N2?Gf 21?f[取B]?Z??0:F1sin6??N1cos6??N2?0

????0:F1cos6??N1sin6??F2?P?0 补充：F1?N1f

sin6??fcos6?sin6??fcos6?Gf得：P?(f?)N2?(f?)?0.376KN ????2cos6?fsic6cos6?fsin61?f2．几何法

4.7木板AO1、BO1，用光滑铰固定于O1点，在木板放一重Q的均质圆柱，并用大小等于P的个水平力维持平衡如图示。设圆柱与木板间的摩擦系数为f，不计木板重量，求平衡时P的范围。（排除圆柱上滑处锁的情况）

解：（1）不上滑

由对称性：N1?N2?N,F1?F2?F

?[取AO1极]?MO1(F)?0:N?rctg??P?actg??0

N?aP r ∴F?Nf?afP r[取圆柱]???0:2Nsin??2Fcos??Q?0

P?rQ

2a(sin??fcos?)（2）不下滑

????下滑时只是F1、F2方向改变，N1、N2与上滑时同， 故P?rQ

2a(sin??fcos?)rQrQ?P?

2a(sin??fcos?)2a(cos??fsin?)综合（1）、（2），应有：

4.8均质长方体A，宽1m，高2m，重10KN，置于30?的斜面上，摩擦系数f?0.8，在长方体上系与各面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一

20

重Q的重物B，求平衡时重量Q的范围。

解：（应考虑各种运动的可能） （1）上滑：

P?F?Q?0 2N?3P?0补充：F?Nf 2得：Q?P(1?3f)即：Q?11.93KN 2（2）下滑：

将上述Q表达式中的f变成-f，得：

Q?P(1?3f) 2Q??1.93KN

∴不可能下滑。

（3）绕D翻转：

??这时，N,F作用于D点。

13?MD?0:Q?1?P?1?P?0.5?0 Q?4.665KN

22（4）绕C翻转：

??这时，N,F作用于C点。

13?MC?0:Q?2?P?1?P?0.5?0

22Q?0.335KN

综合：由（1）、（2）、（3）、（4）得：0.335?Q?4.665

4.9 A块重50N，轮轴B重100N，重块与轮轴以水平绳连接，在轮轴上绕以细绳，此绳跨过光滑的滑轮D，在其端点上系一重物C，如重块与平面间的摩擦系数为0.5，而轮轴与平面间的摩擦系数为0.2，求使物系平衡时，重物C的最大重量（滚动摩擦不计）。

解：（1）设A先达临界态 [取A] ?Z?0:TA?FA?0 补充：TA?NA?0.5

???0:NA?QA?0

得TA?25

21

4??[取B]?MC?0:?QC?10Q2?10??TA?15?0

5??得QC?20.8N （2）设B先达临界态

3[取B]???0:NB?QB?QC?0

54?MH?0:NB?0.2?15?(QC?10?QC?5)?0 得：QC?38.46N

5综合：∵QC?0，再由（1）、（2）得：0?Q?20.8 ∴使物体系平衡的最大QC为：QC?20.8N

??4.11 重为P1半径为r的圆柱A与重为P2的特块B由绕过定滑轮C的轴软绳互相连接，且放在粗糙斜面上，如图所示。设接触面间的滑动摩擦系数为f，滚

?动摩系数为?，试求能拉动物块B所需Q力的大小。略去绳及滑轮的重量与轴承

?摩擦，绳及Q力均与斜面平行。（设A先达到滚动临界态）

解：[取A]?MC?0:TA?r??P1cos??r?P1sin??0 得：TA??P1cos?r?P1sin?

???0:NA?P1cos? [取B]

?Z?0:FA?P1cos?

r???0:NB?(P1?P2)cos?

补：FB?NBf?f(P1?P2)cos?

?Z?0:Q?TA?FA?FB?P2sin? 即：Q?P1(sin??fcos??2?cos?)?P2(fcos??sin?) r?4.10 圆柱重G，放在倾角??30?的斜面上，由一直角弯杆挡住，如图所示。圆柱各处摩擦系数均为f，不计杆重。求向上拉动弯杆所需的最小力Pmin。

解：（1）圆柱滚动时，这时A处在临界态

?Z?0:NA?G?FB?0 2

???0:NB?3G?FA?0 2 22

?MO?FA?r?FB?r?0 补充：FA?NAf

得：P?G

2(1?f)注：NA?P

（2）圆柱滑动时，这时B处达到临界态。

?Z?0:NA?G?FB?0 2

???0:NB?3G?FA?0 2?MO?FA?r?FB?r?0 补充：FB?NBf

得：P?1?(3?1)fG

2(1?f)结论：由（1）、（2）得：Pmin?3.1是非题

G

2(1?f)1．空间力对某一点之矩在任意轴上的投影等力对该轴的矩。（×） 2．空间平行力系不可能简为力螺旋。（√） 3．空间汇交力系不可能简化为合力偶。（√）

4．空间平行力系的平衡方程可表示为两投影方程和一矩方程。（×）

??5．空间平行力系的平衡方程能否出现形式：?FX?0,?mY(F)?0,?mZ(F)?0（√）

??6．空间平行力系的平衡方程能否出现形式：?FX?0,?mX(F)?0,?mY(F)?0（×）

??7．空间任意力系向某点0简化，主矢R?0，主矩MO?0，则该力系一定有合力。（×）

8．力偶可在刚体同一平面内任意转移，也可在不同平面之间移转，而不改变力偶对刚体的作用。（×）

3.2选择题

??1．力F作用在OABC，F对ox，oy，oz三轴之矩为（ 3 ）。

???（1）mx(F)?0my(F)?0mz(F)?0

23

???（2）mx(F)?0my(F)?0mz(F)?0 ???（3）mx(F)?0my(F)?0mz(F)?0 ???（4）mx(F)?0my(F)?0mz(F)?0

????2．空间同向平行力系F1,F2,F3,F4如图所示。该力系向O点简化，主矢和主???矩分别用R、MO表示，则 （1）。

??（1）R?0MO?0 ??（3）R?0MO?0

??（2）R?0MO?0 ??（4）R?0MO?0

3．上题中，简化的最后结果是 （ 1 ）。 （1）一合力

（2）一合力偶

（3）一力螺旋

（4）平衡

4．长方体上受三个相等的力，若使力系简化为合力，长方体边长a、b、c应满足的条件是 （2）。

（1）a=b+c

（2）b=c+a

（3）c=a+b

（4）a+b+c=0

5-2-1将图示四力向O点简化为一等效力系，并求其合成的最后结果。 解：四个力的投影式为：

??????????F1??300k，F2?100i，F3?100i?100j，F4??100i?100k

???∴RO?2F??200k ???OA?2i,Ob?2i?2j,??OC?2j?2k,

??????MO?OA?F2?OB?F4?OC?F3?400i?200k

??????，则应MO中400i与RO可再合成为F???200k，设R?过点0，1（x，y，z）

??有：O?O?RO?400i?0

ijkz??400i，可得x?0,y??2,z?0 即：xy00?200?????R???200k?过点0?(0,?2,0)。 R∴最后合成结果为一个力螺旋：??，其中合力???M?200k 24

5-2-2将图示空间力系（两个力和两个力偶）向A点简化为一等效力系，并求出力系对AB轴的主矩。

?????解：F1??20i，F2??30j?40k

?????，m1??80im2?80j?60k

?AD?4k,??AB??4i?3k

?????∴RA?F1?F2??20i?30j?40k

??????MA?AD?F1?AB?F2?m1?m2?40i?160j?180k MAB?MA?ABAB?1?40?(?4)?160?3??64NM 53.14 长方形门的转轴AB是铅直的，门打开成60?，并用两根绳子维持平衡。其中绳系在C点，跨过小滑轮D而挂着重量为P=320N的物体，另一绳EF系在地板的F点上。门重Q=740N，宽AC=AD=1.8m，高AB=2.4m。求绳了EF的张力T及轴承A、B的约束力。

??解：[取门]设A、B两处的约束反力为NA、NB分别为： ???????NA?ZAi??Aj，NB?ZAi??Aj?ZAk ?????3?1?而Q??Qk，TC?P(?i?j)，T??Tj

22

???BA?2.4k,BE?0.93i?0.9j

??????BQ?0.453i?0.45j?1.2k，BC?0.93i?0.9j?2.4k ??????力学向B点简化，得：RB?NA?NB?Q?TC?T

??3?P?(ZA?ZB?P)i?(?A??B_?T)i?(ZB?Q)k

22?????MB?AB?NA?BQ?Q?BC?TC?BE?T

????(?2.4?A?0.45Q?1.2P)i?(2.8ZA?0.453P)j?(0.93P?0.93T)k

?ZB?207.85N???Z?69.28N?由RB?0，MB?0，可得：T?320N,?A，??B?440N

??A?280N?Z?640N?B

25

3.15 重G=10KN的圆柱被电机通过链条传动而匀速提高。链条两边都和水平面成30?角。已知豉轮半径r=10cm，链轮半径R=20cm，链条主动边（紧边）的拉力T1是从动边（松边）拉力T2的两倍。求轴承A和B的约束力以及链条拉力的大小。图中长度单位是cm。

解：[取整体]?mY?0:(T1?T2)R?Gr

∵已知：T1?2T2，∴立即得：T2?5KN，T1?10KN

?mZ?0:ZB?100?(T1?T2)3?60?0 ZB??4.53??7.8KN 21?mX?0:ZB?100?(T2?T1)?60?0

2ZB?1.5KN

?Z?0:ZA?6KN ?Z?0:ZA??5.2KN

?T1?10KN?ZA??5.2KN?ZB??7.8KN答：?，?，?

T?5KNZ?6KNZ?1.5KN?2?A?B3.16 均质吊臂AB重Q=500N，长AB=5m，由A处的球铰链及从C到在YZ平面内的点D和E的两索支持在XY平面内，与Z轴成倾角30?，如图所示。若吊臂在B处承受一个P=5000N的载荷，求平衡时铰链A的约束力。（只允许列三个方程求解）。

解：[取AB]?my??0:ZA?0

?mED?0:ZA?5683.13N

?mZ??0:?A?2718.6N

5-2-6正方形板ABCD由六根直杆支撑，各杆尺寸如图示。在板上点A处沿AD边作用已知水平力P，板和各杆的重量都不计，求各杆的内力。

S1?P,S2??2P S3??P,S4?2P S5?2P,S6??P

3.17 各平面图形尺寸如图所示，单位是cm，求它们的重心坐标。 1．xC?5.3cm 2．xC?19cm

xY?13.24cm xY?19cm

3.18均质的细长杆被弯成如图所示的形状，求重心的坐标。图中长度单位是mm。

26

xC?31.12cm

yC?48.88cm zC?31.12cm

理论力学练习册 （运动学部分）

5.1 选择题

1．点作直线运动，方程为x?12?ta（x以cm计，t以s计）可算出点在0~3秒钟内经过的路程为（ 3 ）。

（1） 30cm

（2） 15cm

（3） 27cm

2．图示M点作圆周运动，运动方程为S?R2t2（S以cm, t以s计），当第一

次到达Y坐标最大值时，点的加速度在X，Y轴上的投影分别为 （ 3 ）。

（1）aX??RaY?2?2R （2）aX???RaY?2?2R （3）aX??RaY???2R

3．动点的运动方程若以弧坐标为s=f(t)，在某一瞬时沿坐标的正向运动，但越来越慢，则（ 4 ）。

ds（1）?0dt

d2s?0 dt2

ds（2）?0dtd2s?0 dt227

ds（3）?0dtd2s?0 2dt

ds（4）?0dtd2s?0 2dt5.2 填空题

1．动点的运动方程以直角坐标标示为：x=t2+1,y=2t2(xy以cm计)，则t=1

??时，全加速为（a?2i?4icm/s），此时动点所处位置的曲率半径为（?）。

2．动点在运动过程中，当切向加速度等于零，则动点做（ 匀速 ）运动。当法向加速度等于零，则动点作（ 变速直线 ）运动。当动点的全加速度等零则动点作（匀速直线）运动。

?3．点沿图示轨迹运动，请按下列条件标出各点的全加速度a。

（1）动点在B点附近沿弧坐标正向运动，速度越变越大。

（2）动点在C点（拐点）沿弧坐标正向运动，速度大小没有变化。 （3）动点在D点附近沿弧坐标正向匀速运动。

（4）动点在沿弧坐标正向减速接近E点，到达E点速度恰好为零，并开始向反向运动。

注：拐点处曲率半径?。

5.5 曲柄OB的转动规律为??2t，它带动杆AD，使杆AD上的点A沿水平轴OX运动，C点沿铅直轴OY运动。如AB=OB=BC=CD=12cm，求当??45?时杆上D点的速度，并求D点的轨迹方程。

解：由几何关系的D点的运动方程为：

xD??DCcos???12cos2t yD?ADsin??36sin2t ?D?24sin2t ∴ x

（1） （2）

?D?72cos2t y当??45??

?4时，t??8?2t??4

28

?D?122,y?D?362 xVD?22xD?yD?245?53.66cm/s，将（1）、（2）式消去t，得轨迹方程：

22xDyD?2?1 21236——椭圆

5.6 点的运动方程用直角坐标表示为：x?5sin5t2,y?5cos5t2，如改用弧坐标描述点的运动方程。自运动开始时位置计算弧长，求点的弧坐标形式的运动方程。P46 1-4

解：易得动点的轨亦方程为

x2?y2?52

——园

如图，动点的起点坐标为（0，5），以动点的运动方向作出弧坐标s的正向。 则s?500?5t2?25t2

5.7 点M的运动方程为x=t2,y=ts,(x,y以cm计，t以s计)，试求M在（1，1）处的曲率半径。

??2t?x解：?； 2??y?3t??2x?? ????y?6t?2?y?2?t4?9t2 ∴ V?x?2???2?21?9t2 a??xy?dV21222a???(4?9t)?9t(4?9t)2

dt1当M在（1，1）处，t=1时，这时

V?13，a?10，a??6 1322 13∴ an?a2?a?2?V2131313?????7.8cm

6an613 29

5.8 点沿一平南上的曲线轨迹运动，其速度在Y轴上的投影为一常数C，试

v2证明加速度值a?，（v为速度，?为曲率半径）。

C???????i?ij,a???i 证：v?xx???x???; 故v2?x2?c2求导vvxa2x2?2 x∴ v?a??2 ?a2??v22?2)a2c2a2(v2?x?2 而a?a?a??2vv2n22a2c2v4由a?2，得2?2

?v?2nvta?2v6c?22

v3∴a?

c?5.9 小车A与B以绳索相连，如图所示，A车高出B车1.5m，令小车A以VA=0.4m/s匀速拉动B车，开始时BC=LO=4.5m，求5秒后小车B的速度与加速度（滑车尺寸不计）。

解：以t=0时小车B的位置为X轴原点，则小车B的运动方程为

t2xB?4.52?1.52?(4.5?VA)?1.52

?18?18?3.6t?0.16t2

1?B??(18?3.6t?0.16t2)?12(0.32t?3.6) ∴x21xB?(18?3.6t?0.16t2)?32(0.32t?3.6)2?0.16(18?3.6t?0.16t2)?12

4当t?5s时，

VB?0.5m/s

aB?0.045m/s2

5.3 指出下列图示机构中，1、2号刚体各作什么形式的运动（答案填在括号

30

内）。

5.4是非题（对的在括号内画“√”，错的画“×”）

1．某瞬时平动刚体上各点速度大小相等而方向可以不同。（×） 2．定轴转动刚体，转动轴不能在外形轮廓之外。（×）

3．定轴转动刚体上与转动轴平行的直线，其上各点的速度均相等。（√） 4．平动刚体其上各点的轨迹一定是直线。（×）

5．定轴转动刚体的角速度?，角加速度?，其上各点的速度与转动半径垂直，各点加速度与转动半径的夹角为：??arctg?（√） ?25.10 揉茶桶由三个互相平行的曲柄来带动，ABC和A?B?C?为两个等边三角形。已知每一曲柄长均为r?15cm，且都为匀速n=45rpm分别绕A、B、C轴转动，求揉茶桶中心O的轨迹、速度和加速度（要求在图上标出O点速度、加速度方向）。

解：显然，茶桶作平动；其中心O的轨迹为r=15cm的园，其园心D位于△ABC的中心（∴无论曲柄长度r为多少，茶桶均作平动，O点的轨迹园的半径均r，见其园心D的位置不变，当r?0时，O与D重点，同时∴?ABC??A?B?C?，故D在?ABC中心）

?VO?VA???r?70.0cm/s 其中：??cao?0

nao??2r?333cm/s2

2?n 605.11 某飞轮绕固定轴O转动，在转动过程中，其轮缘上任一点的加速度与轮半径的交角恒为80?。当转动开始时其转角?o等于零，其角速度为?o，求飞轮的转动方程，以及角速度和转角间的关系。

解：an?1a??2r 231

ac?3a??r 2两式相除，得

?d??3??3dt ?2?2得?1??3t?c,由t?0时???。

得c1??1?o，∴???o1?3?ot （1）

即：

d??o，结合t=0，时??0，得转动方程： ?dt1?3?ot31ln 31??o3t?? （2）

由（1）、（2） ，得?~?中关系为

???oe3?

5.12 图示为连续印刷过程，纸厚b以匀速v水平输送，试以纸盘的半径r表示纸盘的角加速度？

解：??v r??d?vdr??2 dtrdt设纸盘面积为s，则

ds??vb而由s??r2得 dtdsdrdr?2?r?2?r??vb dtdtdtdrvb?? dt2?rv2b∴??

2?r35.13 图为车床走刀机构示意图，已知齿轮的齿数分别为

Z1?40,Z2?90,Z3?60,Z4?20，主轴转速n1?120rpm，丝杆每转一圈，刀架移动一个螺距h=6mm，求走刀速度？

32

解：

n4?n4Z3Z160404????? n1Z4Z2209034n1?160rpm 3走刀速度：V?n4h?160?6?960mm/min?16mm/s

5.14 杆AB以匀速V沿铅直导轨向下运动，其一端B靠在直角杠CDO的CD边上，因而使杆绕导轨轴线上一点O转动，试求杠杆上一点C的速度和加速度大小。（表示为角?的函数）假定CD?a,CD?2a。

解：OB?ODa? cos?cos??V?dOBasin???? dtcos2?2Vcos???? ?asin???0表示?随 加而减少，因此ODC杆逆时针转动，其角速度?为 ?Vcos2? ?????2asin?V(2cos?sin2??cos3?)???????

asin2?

V(2cos?sin2??cos3?)Vcos2? ?2asin?asin?V2[1] ?2ctg3?(1?sin2?)

a[2] ?与同号，故同向，为逆时针向，如图

5Vcos2?[3] ∴VC???OC?

sin?5V2ctg3?cos?sin? [4] a???OC?anc2 33

5V2[5] a???OC?ctg3?(1?sin2?)

aCC5V2aC?(a)?(a)?ctg3?1?3sin2?

An2CC2C5.15 直角坐标系固定不动，已知某瞬时刚体以角速度??18rad/s绕过原点的OA轴转动，A点的坐标为（10，40，80，），求此瞬时刚体上另一点M（20，-10，10）的速度VMO。

?OA解：??? OA???18(10i?40j?80k) 90????2i?8j?16k ????OM?20i?10j?10k

???ijk?????VM???OM?2816?240i?400j?180k(mm/s)

20?1010VM?424.26mm/s

6.1 在下列各图示机构中，选取适当的动点及动参考系，分析三种运动，画出图示位置时三种速度矢量力。

（1）动点：滑块A 相对运动：直线运动 （2）动点：套角A 相对运动：直线运动

动系：OB杆

绝对运动：直线运动

牵连运动：定轴转动 动系：BC杆

绝对运动：圆周运动

牵连运动：平动

动系：凹轮O

（3）动点：AB杆上A点 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动

相对运动：圆周运动

（4）动点：环M 动系：OBC杆 相对运动：直线运动 （5）动点：滑块M

绝对运动：直线运动

牵扯连运动：定轴转动 动系：BD杆

34

绝对运动：直线运动

相对运动：直线运动 （6）动点：环M 相对运动：直线运动

牵连运动：平动 动系：OA杆

绝对运动：圆周运动

牵连运动：定轴转动

6.2选择题（请在正确答案的题号前画“√”）。 1．在点的复合运动中，有：

（1）牵连运动是指动参考系相对于静参考系的运动。

（2）牵连运动是指动系上在该瞬时与动点重合之点对静系的运动。 （3）牵连速度和加速度是指动系相对于静系的运动速度和加速度。 （4）牵连速度和加速度是指动系上在该瞬时与动点相生命之点对于静系运动的速度和加速度。

????dVdV2．a???和ar?r两式

dtdt（1）只有当牵连运动为平动时成立。 （2）只有当牵连运动为转动时成立。 （3）无论牵连运动为平动或转动均成立。 （4）无论牵连运动为平动或转动均不成立。

3．在应用点的复合运动法进行加速度分析时，若牵连运动为转动，动系的

?角速度用?表示，动点的相对速度用Vr表示，则在某瞬时

??（1）只要??0，动点在该瞬时的哥氏加速aK就不会等于零。

??（2）只要Vr?0，动点在该瞬时就不会有aK?0。 ??（3）只要??0，Vr?0，动点在该瞬时就不会有aK?0。

???（4）??0且Vr?0，动点在该瞬时也可能有aK?0。

?4．图标机构中，圆盘以匀角速度?绕O轴转动，取AB杆上的A点为动点，动系与圆盘固连，则在图示位置时，动点A的速度平行四边形为：

（1）图（1）所示 （3）图（3）所示

（2）图（2）所示 （4）图（4）所示

5．图标机构中，杆O2B以匀角速度?绕O2轴转动，取O2B上的B点为动点，动系与O2A固定，则动点B在图标位置时的各项加速度可表示为：

35

（1）图（2）所示 （3）图（4）所示

（2）图（3）所示 （4）图（5）所示

6．曲柄滑道机构，设OA=r，已知角速度与角加速度?和?，转向如图所标。取OA上的A点为动点，动系与T形构件固连，A点的加速度矢量图如图所示，为求ar,a?取坐标系A-xy，根据加速度合成定理有：

?（1）a?acos??aasin??aa

n（2）a?acos??aasin??aa n（3）aacos??a?asin???aa n（4）aacos??a?asin???a

?a?acos??aasin??aa

na?acos??aasin??a? na?acos??ansin???aa na?acos??aasin???ar

6.3由推杆BCD推动长为L的OA杆在图标平面内绕O点转动，设推杆速度u（向左）距离b。求当OC=x时，杆端A的速度大小（表示为距离x的函数）。

解：动点：BCD杆上B点 动系：OA杆

Ve?ubx?b22

Ve?bux?b22

Vebu?2 OBx?b2bLVA??OA?OA?2u

x?b2?OA?6.4 图标机构中，水平杆CD与摆杆AB铰接，杆CD作平动，而摆杆AB

?插在绕O点转动的导管内，设水平杆速度为V。求图示瞬时导管的角速度及摆杆在导管中运动的速度。

解：动点：铰链A；动系：导管O

Vr?Vsin? Ve?Vcos?

VeVcos?Vcos2? ????LOALcos?6.5 杆O1A=r以匀角速度?绕O1轴逆时针转动，图标位置O1A水平，O2A=AB=L，O2B的倾角为80?，杆CDE的CD段水平，DE段在倾角为60?的滑

36

槽内滑动。求杆CDE的速度。

解：动点：套角A、B，动系：OB杆、CDE杆

1VeA?VAcos60???r

2VB?O2B2L1?VeA???r??r O2AL2???VB?VeB?VrB，向Y轴投影，得 VBcos60??VeBcos30?

VeB?3?r——此即CED杆的速度。 3??6.6 直杆AB和CD的交角为a，两杆分别以垂直于杆的方向的速度V1和V2运动。求套在两杆交点处的小环M的速度大小。

解：动点：环M

动系：AB杆、CD杆

取AB杆为动系时

??? VM?V1?VrAB 取CD杆为动系时 ???VM?V2?VrCD

（1）

（2） （3）

????∴V1?VrAB?V2?VrCD

上式向y轴投影，得：V1?V2cos??VrCDcos?

VrCD?V2??V1 sin?12由（2）式，得：

2VM?V22?VrCD?V12?V22?2V1V2cos????? 2sin???6.7 半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅直导轨滑??动，在图标位置时，凸轮有速度V和加速度a，求该瞬时推杆AB的速度和加速度。

解：动点：AB杆上A点，动系：凸轮

37

Ve?V，∴VA?Vtg30??3V 3?????aA?arn?ar?a,向y?轴投影得： aAcos30???arn?acps60? a2arn aA??33Vr2(2V3)24V2∵a? ??RR3Rnr38V2∴aA?(a?)

33R6.8求图标连杆机构中，当???4时，摇杆OC的角速度和角加速度，设AB

杆以匀速u向上运动，开始时??0。P60 3-8

解：（一）求角速度：动点：AB杆上A点，动系：OC杆

Ve?uc??

VeVua2?u?????

OAL/a2?L??45?2LVr?usin???45??2u 2（二）求角加速度

?????由O?ar?acn?aec?ak，向ak所在轴投影，

u22u2?u?得a??ak??2?Vr??2? 2L22Lcecaeu2????2

OA2L6.10 求图标机构中，曲柄O1A?r，角速度?为常量，L?4r，试以r和?表示在图标位置时水平杆CD的速度和加速度。

解：（一）求速度：动点：O1A上A点，O2B上B点

38

11VeA?VA??r

22

VB?L?VeA??r 2rVeB?33VB??r 22VeA?? 2r4VrA?33VA??r 22?AB?解：（二）求加速度：

aA??2r,aKA?2?ABVrA?32?r 4???n?由aA?arA?aeA?aeA?aKA向aKA所在轴投影，得

3?aA?aeA?aKA 2?得aeA?32?r 4L?32aeA??r 2r2∴a?D??n?由aB?aB?arB?aeB

1n3?向水平轴投影得：aB?aB?aeB

2212332?L???r ∴aeB??AB2227得：aeB??2r

86.12 一偏心圆盘凸轮机构如图所示，圆盘C的半径为R，偏心距为e，设凹轮以匀角速度?绕O轴转动，求导板AB的速度和加速度。

解：（一）求速度：动点：凸轮圆心C

动系：AB板

Ve?Vccos???ecos? （二）求加速度：

ae?acsin???2esin?

6.13 圆盘以角速度??2t(rad/s)绕轴O1O2转动，点M沿圆盘的半径OA

39

离圆心作相对运动，其运动规律为OM=4t2（长度以cm计，时间以s计），半径OA与O1O2的夹角为80?，求在t=1(s)时，点M的绝对加速度的大小。

解：动点：点M

动系：圆盘

t?1s时，??2,??2,OM?4,Vr?8

ar?8,ak?2?Vrsin60??163

nae??2?OMsin60??83

?ae???OMsin60??43

??????aM?ar?aen?ae?aK

?aMX?aK?ae?23

aMY?1ar?4 2aMZ?3?ar?ae?43 2222aMY?aMX?aMY?aME?1264?35.55cm/s2

6.15 平面上杆OA绕O轴转动，图示瞬时，OA水平，角速度?，角加速为零，杆BC平动，两杆都穿过小环P，该瞬时杆BC与OA垂直，离O点的距离为，速度大小为a，加速度为零，试分析该瞬时小环P的运动，求出小环P的绝对速度和绝对加速度的大小。

解：（一）求速度动点：小环P 动系：OA杆、BC杆

???当取OA杆作动系时，VP?Vr1?Ve1

???当取BC杆作动系时，VP?Vr2?Ve2 ????故Vr1?Ve1?Vr2?Ve2

2∴VP?Vr22?Ve2?[Y]:Vr2?Ve1??L

??L?2?u2

解：（二）求加速度

????当取OA杆为动系时，aP?ar1?ae1?ak1 ??当取BC杆为动系时，aP?ar2

40

????∴ar2?ar1?ae1?ak1

[Y]：ar2?ak1?2?Vr1?2?u

而aP?ar2?2?u

3-3-2 半径为R的圆轮，以匀角速度?绕O轴顺时针转动，从而带动AB绕A轴转动，试求在图示位置时，AB杆的角速度?AB和角角加速度?AB。

解：（一）求角速度?AB 动点：圆轮中心C点

动系：AB杆

?由VC?Vr?Ve得2Vecos30??Ve??k ∴Ve?VV33? ?R ?AB?e?e?AC2R633?R 3Vr?Ve?（一）求角加速度?AB

a??ne2AB?2R??2R6

aK?2?ABVr??2R3

???由aC?ar?aen?ae?ak向y轴的投影，得

n??accos30??aecos60??aecos30??ak

?ae??2?1n3?ae??a?aCK? ?23?2?2?131?2??????R ?3?1223???18?532?R 18?ae18?532????0.74?2 2R36?AB6.17 计算下列两机构在图示位置CD杆上D点的速度和加速度。设图示瞬时水平杆AB的角速度为?，角加速度为零，AB=r，CD=3r。

41

（一）套筒与AB杆连接 解：动点：AB上B点

1?rVe?VB?

22VD?动系：杆DC

DC3r3?Ve?Ve??r BCr2Vr?V?33VB??r，?DC?e?

r222aK?2?DCVr?32?r 2??由aB?ar?aeu?ae?aK，向aK所在轴投影，得：

??aBcos30??ae?aK，得ae?3?2r

??DC?2a??a?33?rDe??BC∴?

3?an??2?3r??2rDDC?4?2naD?(a?D)?aD??2??2r27?9212??r 164（二）套筒与AB杆刚性连接 解：动点：DC杆上C点、D点 由VC?VrC?VeC，向y投影，得

动系：AB杆

VrC?VeC?3?r

∴VrD?VrC?3?r

即VrD?3?r，而VeD???AD?3?r， 由此显然可得：VD?VrD?VeD?3?r

2??aKC?2?VrC?23?r ?22??aeC???AC?3?r由aC?arC?aeC?aKC，向y轴投影，得：

?arC?cos30??aeC?60??aKCsin30??0 arC?3?2r

∵ arD?arC，∴arD?3??R

42

2??aKD?2?VrD?23?r而?

22??aeD???AD?3?r由aD?arD?aeD?aKD，得

aD?aKD?aeDsin3012???2???arD?aeD?3012?2??

??33?2?9?2?????? ??????2???2?????33?2r

6.18平面机构如图示，已知CD∥EG，B为DG杆的中心，O、A、B、C、D、E、G均为铰链，CD=EG=20cm，DG=50cm，OA=40cm，在图示位置，CD杆铅直，OA∥CD，VB?20(cm/s)水平向左，B点的加速度沿水平方向的分量（1）CD杆和OA杆的角速度。（2）B点aBX?10(cm/s2),tg??0.3。求此瞬时：

的加速度沿铅垂直方向的分量。（3）OA杆的角加速度。

解：（一）求角速度

动点OA杆上A点（或经A）动系：DG杆， ∵DG杆平动 ∴VD?VB?20 显然，Ve?VB?20，由VA?Vr?Ve 向AB轴投影，得VA?Ve?VB?20 ∴?AB?Ve20??0.5同时，显然可得：Vr?0。 OA40?DC?VD20??1 DC20解：（二）求角加速度

ae?aBX?aBY?aB

Vr2?0 ∴a?ABnr

?n?∵ar?ar?，它与AB垂直！由aA?aA?ar?ae

n?即：aA?aA?ar?aBX?aBY向y轴投影，得： naA?arcos??aBY

（1）

向x轴投影得：

43

a?A?arsin??aBX

（2）

n?再由aB?aD，即aBX?aBY?aD ?aDn22向y轴投影，得：aBY?aD??DC?DC?20cm/s

a??aBX由（1）、（2）式得A?tg??0.3 naA?aBYn2即：a?A?0.3?(aA?aBY)?aBX?0.3?(0.5?40?20)?10??1

?AOa?1?A????0.025cm/s2（与假设方向相反） OA406.19 在图标机构中，已知V为常量，当O、A、D处于同一水平直线上时，

??30?，OA=AD=R，试求该瞬时AB杆的角速度?AB。

解：（一）求角速度 动点：滑块A，动系：套角C

3V 23VVVe3V??2? Vr?

2ACR/cos?4RVe?Vcos???AB解：（二）求角加速度

3V2V2aA?，aK?2?ABVr?

4RR?由aA?ar?aen?ae?aK，向aK所在轴投影，得： ?aAsin30??ae?aK

aA5V2ae??aK?

24R??AB?ae53V2?? AC8R23-3-6 小环A沿弯成两个半圆形的固定曲杆1滑动时，带动直杆2绕垂直于图面轴O转动，O与C点位于同一铅垂直线上。已知小环A沿曲杆1的运动方程为BA?s(t)30??t2(mm)，设R?30?(mm)，r?20?(mm),OC?40?3(mm)，求当

t?1(s)时杆2的角速度?2，角加速度?2及环A相对于杆2的加速度ar。

44

解：（一）求角速度?2，动点：小环A 动系：杆2

s?300?t2(mm) ??600nt s???600? s??600? 当t?1(s)时，s?300?，s???600? s?/t?1?600Va?s?

Vr?Vacos??600?

Ve?Vasin??600?400?300? 80040033???1.18rad/s 8004OA?(400)2?(4003)2?800

sin??4001? ∴??30? 8002解：（二）求角加速度?2及ar 当t?1(s)时，点A的轨迹为直线

2n??600??0，aa??s? aa?aen?ae??ar?aK ?0，aa?aa2其中ae?OA?2?800?2

322522aen?OA?2?800(?)2??

823aK?2?2Vr?2???3003??2253?2

8?2x:a?acos60?ae?aK

600??1?800?2?2253?2 2∴?2??3.63(rad/s2)

?rny: a?acos30?a?ae

3225?22242ar?acos30?a?600???3003????2742.8mm/s2

2222a?ne7.1 找出下列机构中作平面运动构件在图标瞬时的速度瞬心的位置。

7.2 下列两机构中，OA?O2B,AB?O1O2，请就所给结果作出判断（正确的括号里画“√”，错误的画“×”）

（1）?AB?0（√）

n（2）aBA?0（√）

45

（3）?AB?0（√）

?（5）a?A?aB（√）

（4）a?BA?0（√）

（1）?AB?0（√） （3）?AB?0（×）

?（5）a?） ?aAB（×

n（2）aBA?0（√）

（4）a?） BA?0（×

7.3 如图所示，半径为r的圆盘分别在水平面上，圆周曲线的内侧以及圆周曲线的外侧无滑动的滚动，角速度?=常数，试分别求出以上各种情况下轮心A点、轮边B点以及速度瞬心P点的加速度。

aA?0

aA?

aB??2r

aP??2r

aP?Rr?2 R?rRr?2 R?r?2r2R?r2r2?Rr2aB??

R?r2r2?Rr2aB??

R?raA??2r2R?r

aP?7.4 曲柄OA长为12cm，以匀转速n=60rpm转动。连杆AC长34cm，齿轮半径r=8cm。在图标位置时，??30?，AC成水平，求连杆AC的角速度与齿条D的速度。 P73 4-3

解：VA??OA?OA?n?2??12?24? 60VC?VAcos60??12?

?AC?VA23???0.64 217AC3VD?2rVC?24? V7.6 图示机构中，OB线水平，当B、D和F在同一铅垂线上时，DE垂直于EF，曲柄OA正好铅垂位置。已知OA=BD=DE=100mm，EF?1003mm，

?OA?4rad/s。求EF杆的角速度和F点的速度。

46

解：VB?VA??OA?OA?400 显然，D点为BC杆的瞬心，

?BC?VBVV?4由E?C??BC?4，得VE?400。 BDDEDCEF杆的瞬心为P，EP=300，FP?2003

?EF?VE44??1.33rad/s VF??EF?FP??2003?461.89mm/s EP337.7 轮O在水平面上滚动而不滑动，轮缘上有一固定销B，销B可在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O2轴转动。已知轮的半径R=0.5m，在图标位置时，AO1是轮的切线，轮心的速度VO?0.2m/s，摇杆与水平面的交角为80?。求摇杆的角速度。

解：P点为轮O的瞬心，PB?2Rcos30??0.866

VB?VO0.21?BP??0.866?0.346 Ve?VB?0.173 B0.52VV?e?e?0.2rad/s OBPB?OA7.8 图标机构中，销子B通过套筒带动摇杆O1C，B又与水平运动的滑块相连，设???t，OA?AB?0.15m，OO1?0.2m，O1C?0.5m，试求在瞬时t?7s3时，点C的速度。

解：（求B点绝对速度可有两种方法）

VA???OA?0.05?

对AB杆用速度投影法，得：VAcos(2??90?)?VBcos?当t?7时，??∴VB?3VA

Ve?VBsin??VB?OO1 O1B7? 3VC?VeV?OO1?O1C3VA?OO1?O1C ?O1C?B?22O1BO1BO1B∵O1B2?O1O2?OB2?O1O2?OA2?0.0625 ∴VC?3?0.05??0.2?0.53???0.436m/s

0.062512.5 47

7.9 图标瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O2轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB绕定轴O转动，在O轴上还装有齿轮I，齿轮II与连杆AB连为一体，并带动齿轮I转动。已知r1?r2?0.33m，O1A?0.75m，AB?1.5m，又平衡杆的角速度?O1?8rad/s，求当a?80?时，曲柄OB及齿轮I的角速度。

解：VA??O1?O1A?4.5对AB速度投影，得：

3VAVB2???3.751

sOB2?0.33VB?VAcos30??3VA ∴?OB2P点为AB构件（与轮II）的瞬心， ∴I、II轮的齿合点C的速度VC为

VC?VAV?(3AB?r2)VA?1.23?PC?A??0.43VA AP2?AB3?I?VC0.43VA4VA???6rad/s r130.337.10 边长L?2cm的正方形ABCD作平面运动。在图标位置，其顶点A与B的加速度分别为aA?2cm/s2，aB?42cm/s2，方向如图所示。求正方形上顶点C的加速度。

解：（一）求正方形?和?：

???n??以A为其点，得aB?aA?aBA?aBA

[x]：

2nnaB?aBA,?aBA?4 2 [y]：

2?aB?aA?a?,?aBABA?2 2naBA∴???2rad/s

L

a???BA?1rad/s2

L?（二）求aC ?以A为基点求aC

???n??aC?aA?aCA?aCA

?aCA???AC?22

naCA??2?AC?42

48

n∴aCX??aCA?aA?245??32 ?aCY??aCA?2aA?32 2222aC?aCX??aCY??6rad/s

?aC方向水平向左。

7.11 杆AB长L?80cm，其A端搁置在斜面AC上，B端与圆轮铰接。圆轮的半径r?20cm，斜面CD与水平面成30?角，设圆轮沿CD斜面匀速滚动，其轮心的速度VO?12cm/s。求当杆AB位于图示水平位置时的角速度和角加速度。

解：（一）求?AB

D点为轮O的瞬心，故VB?2VO

VB2VO??0.61

sBP40P点为AB杆的瞬心，故?AB?解：（二）求?AB

?VO2∵?O?O，故aB如图所示，且aB?

r???n??以A为基点，得aB?aA?aBA?aBA

n?[x?]?aBA?30??a?BA?60?0

n2a??3a?3?BABAAB?AB

?AB?aba2??3?AB?0.623?0.6212

sAB7.12滑块A和B可分别沿彼此垂直的两直线导轨运动。滑块间用两杆AC和BC相铰接，且AC=L1，BC=L2，试求当两杆分别垂直于两导轨时点C的速度

??和加速度的大小。设这时两滑块分别具有速度VA和VB如图所示，并分别具有任意数值的加速度。

解：（一）求VC：

?由速度投影法知，必须有VC?AC,（二）求aC：

?VC?BC，∴只有VC?0

???n??分别以A、B为基点得：aC?aB?aCB?aCB

49

（1）

???n??aC?aA?aCA?aCA

（2）

??n????n??进而：aB?aCB?aCB?aA?aCA?aCA

[x]：aB?aCB??a?nCAVA2??两项同时求出，这正是本题的特殊之处，

L1即aB?aCB变量。

?VB2VB2n，另一方面aCB?此为（1）式右边的矢量和的两个正交??L2L1VA4VB4?2 ∴由（1）式，得：aC?(aB?aCB)?(a)?2L1L2?2n2CB7.13 在图标曲柄连杆机构中，曲柄OA绕O轴转动，其角速度为?O，角加速度为?O，在某瞬时，曲柄与水平线交成80?角，而连杆AB与曲柄OA垂直，滑块B在圆弧槽内滑动，此时O1B半径与连杆交成30?角。如

OA?r,AB?23r,O1B?2r，求在该瞬时滑块B的切向加速度和法向加速度。

?n解：（一）求aB：

解：VA??Or由A、B两点速度投影，得，VB?2VA?2?Or

VB2∴a??2?Or

O1BnB???由VB?VA?VBA，得VBA?VBcos30??3?or ??解：（二）求aB

?n???n???n??以A为其点，得aB?aB?aA?aA?aBA?aBA

n?n向AB轴投影，得：?aBcos30??aOcos60???a??aABA 222VBA3?Or2∴aB?3a???r? ?23?o?2?Or?2?AB23r?nB2?3?Or?2?Or

7.14 在行星齿轮差动机构中，曲柄和轮I都作变速运动。在给定瞬时已知轮

50

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