高一数学 新教材 新理念 新设计(必修1)第一章 集 合1

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第一章 集 合

1．1 集合与集合的表示方法

1．1．1 集合的概念 一、学习目标

集合是一个不加定义的概念，集合语言是现代数学的基本语言，要在理解集合概念的基础上，初步了解元素与集合的“属于”关系．

二、知识梳理 (一)选择题

1．下列各组对象

①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；

⑤2的近似值的全体．

其中能构成集合的组数有( ) A．2组 B．3组 C．4组 2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．下列命题中真命题的个数是( ) ①0∈?；

②?∈{?}

③0∈{0}；

D．5组

④??{a}．

A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 (二)填空题

5．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个． 6．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______．

7．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______． 8．用符号∈或?填空：

①1______N，0______N．－3______Q，0.5______Z，2______R． ②

1______R，5______Q，｜－3|______N＋，｜－3｜______Z． 29．若方程x2＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______． (三)解答题

10．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．

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11．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5?B，求实数a的值．

12．实数集A满足条件：1?A，若a∈A，则

1?A． 1?a(1)若2∈A，求A；

(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由； (3)求证：1?1?A． a

三、自我评价

完成时间 成功率 札记 1．1．2 集合的表示方法 一、学习目标

能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 二、知识梳理 (一)选择题

1．下列命题中正确的是( )

A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合

2．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( ) A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点

3．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( )

A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y?M 4．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( ) A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0}

B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R} C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} (二)填空题

5．若集合A＝{x｜x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．

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?x?y?1?6．方程组?y?z?2的解集为______．

?z?x?3?7．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．

8．用描述法表示下列各集合：

①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________．

③{,,,,}______________________________________________________． 9．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______． (三)解答题

10．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

11．用列举法把下列集合表示出来： ①A={x?N|②B={12345345679?N}; 9?x9?N|x?N}; 9?x③C＝{y｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；

④D＝{(x，y)｜y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{x|p?x,p?q?5,p?N,q?N*}? q

12．已知集合A＝{p｜x2＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．

三、自我评价

完成时间 成功率 札记 1．2 集合之间的关系与运算 1．2．1 集合之间的关系 一、学习目标

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

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2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．

二、知识梳理 (一)选择题

1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝

?；⑤?{0}；⑥0∈{0}，其中正确的个数是( )

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个及3个以下

2．若集合M＝{x∈R｜x≤6}，a?5，则下列表示法中正确的是( ) A．{a}M

B．aM

C．{a}∈M

D．a?M

3．若A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B?A，则这样的x的值有( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．设M?{x|x?m?1n1q1,m?Z},P?{x|x??,n?Z},Q?{x|x??， 62326q?Z}那么集合M，P，Q的关系是( )

A．P

Q

M

B．M

P＝Q

C．P＝Q

M

D．Q＝MP

(二)填空题

5．{x｜x≤－1}______{x｜x＜－1}，(用?，，?，6．已知A?{x|y?填空)．

x,x?R},B?{y|y?x,x?R}，则有下列说法：

B．其中，正确说法的序号是______．

①A?B；②A＝B；③A

7．已知集合A＝{x｜1≤x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若AB，则实数a的取值集合为______． 8．①设A＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，2，3，5，8}，C?A且C?B，那么这样的集合C有______个．

②设E＝{a，b，c，d}，F?E，那么这样的F共有______个．

9．设数集A＝{1，2，a}，B＝{1，a2－a}，若A?B，则实数a的值为______． (三)解答题

10．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值．

11．已知集合A＝{x∈R｜－2≤x≤5}，B＝{x∈R｜m＋1≤x≤2m－1}，满足B?A，求实数m的取值范围．

12．已知{a，b}X?{a，b，c，d，e}写出满足条件的各种集合X．

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三、自我评价

完成时间 成功率 札记 1．2．2 集合的运算 一、学习目标

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 二、知识梳理 (一)选择题

1．已知集合M＝{(x，y)｜x＋y＝2}，N＝{(x，y)｜x－y＝4}，那么集合M∩N为 ( )

A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} 2．已知集合A＝{x∈N｜x≤5}，B＝{x∈N｜x＞1}，那么A∩B等于( ) A．{1，2，3，4，5} B．{2，3，4，5} C．{2，3，4} D．{x｜1＜x≤5，x∈R} 3．若U＝{x｜x是三角形}，P＝{x｜x是直角三角形}，则UP＝( ) A．{x｜x是直角三角形} B．{x｜x是锐角三角形} C．{x｜x是钝角三角形} D．{x｜x是锐角三角形或钝角三角形} 4．设全集U＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，集合M?{(x,y)|＋1}，那么U(M∪P)等于( ) A．? C．(2，3) (二)填空题

y?3?1},P??(x,y)｜y≠xx?2B．{(2，3)}

D．{(x，y)｜y＝x＋1}

5．已知全集U＝{3，5，7}，数集A＝{3，｜a－7｜}，如果UA＝{7}，则a的值为______． 6．集合A＝{0，1，2，4，5，7}，B＝{1，3，6，8，9}，C＝{3，7，8}，则集合(A∩B)∪C＝______．

7．集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有______个元素．

8．已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x－1≤2}，B＝{x｜x－a≥0，a∈R}，

若UA∩UB＝{x｜x＜0}，UA∪UB＝{x｜x＜1或x＞3}，则a∈______． 9．在相应的图中，按各小题的要求，用阴影部分表示各小题．

(1) (2)

(1)(A∪B)∩U(A∩B)

(2)B∪C∪UA

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?a?2a?a?b2或? ?2?b?b?b?2a1?a??a?0?a?0??4解得? 或?或?b?1b?01???b??2?1?a??a?0??4

再根据集合中元素的互异性，得?或??b?1?b?1?2?11．解：①当B≠?时，如数轴所示：

∵－2≤m＋1≤2m－1≤5，

∴2≤m≤3．

②当B＝?时，∵m＋1＞2m－1，∴m＜2． 综合①、②得m≤3． 12．满足条件的X为：

{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，b，c，d，e}．

分析：关键是弄清集合X满足的条件，由{a，b}X知道{a，b}真包含于X，∴元素a，b都属于X，且X至少含三个元素；又由X?{a，b，c，d，e}知道X包含于{a，b，c，d，e}，∴X最多含有五个元素a，b，c，d，e．综合以上两个方面，就可以写出集合X.

1．2．2 集合的运算

1．D 2．B 3．D 4．B 解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M∪P就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此U(M∪P)就是点(2，3)的集合．即U(M∪P)＝{(2，3)}．故选B．

5．2或12．提示：由UA＝{7}知，7?A，故｜a－7｜＝5，∴a＝2或12．

6．{1，3，7，8}．解：∵A∩B＝{1}，∴(A∩B)∪C＝{1}∪{3，7，8}＝{1，3，7，8}． 7．15

8．{1}提示：由(UA)∩(UB)＝U(A∪B)＝{x｜x＜0}，得A∪B＝{x｜x≥0}，由(UA)∪(UB)＝U(A∩B)＝{x｜x＜1或x＞3}，得A∩B＝{x｜1≤x≤3}又A＝{x｜－1≤x－1≤2}＝{x｜0≤x≤3}，∴B＝{x｜x≥a}＝{x｜x≥1}．

∴a＝1．如图所示：

9．解析：各小题的阴影部分分别为：

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(1) (2)

(3)

10．解：由A∩B＝{9}，得集合A中x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5．

当x＝3时，A＝{9，－4，5}，B＝{－2，9，－2}，由集合的元素的互异性，∴x＝3应舍去．

当x＝－3时，A＝{9，－4，－7}，B＝{4，9，－8}，符合题意，∴x＝－3．

当x＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，与已知A∩B＝{9}相矛盾．∴x＝5舍去．

综上，x＝－3为所求．

11．解：用图示法表示集合U，M，N，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内， 由图可知：

∴M＝{3，5，11，13}，N＝{7，11，13，19} 12．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A且－3∈B，

将－3代入方程x2＋px－12＝0，得p＝－1，从而A＝{－3，4}， 将－3代入方程x2＋qx＋r＝0，得3q－r＝9，①

∵A∪B＝{－3，4}，∴A∪B＝A，即B?A，∵A≠B，∴BA，B为单元素集， ∴B＝{－3}，方程x2＋qx＋r＝0的判别式?＝q2－4r＝0，② 由①，②解得q＝6，r＝9，故得p＝－1，q＝6，r＝9．

(或在推得B＝{－3}后，也可由(x＋3)2＝0，即x2＋6x＋9＝0，得q＝6，r＝9．)

单元达标(一)

1．C 2．A 3．C 解析：∵x∈B，x?A，∴B中的元素以集合形式出现．又∵A的子集有?，{a}，{b}，{a，b}．∴集合B＝{?，{a}，{b}，{a，b}}，即A∈B，∴选C．

4．D 5．C 6．x＝y＝－1． 7．{1，7，9}． 8．A＝{2，3}，B＝{2，4}． 9．a＝－1，b＝2．

解析：A∩(B∪C)＝{x｜－1≤x≤2}∩{x｜－3＜x≤3}＝{x｜－1≤x≤2}．

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10．①a＜4 ②a≥－2 ③－2≤a＜4 11．5人

12．解：由已知条件求得B＝{2，3}，又A∪B＝B，且A≠B， ∴AB，又A≠?，∴A＝{2}或A＝{3}．

当A＝{2}时，将2代入A中方程，得a2－2a－15＝0，∴a＝－3或a＝5． 但此时集合A分别为{2，－5}和{2，3}与A＝{2}矛盾，∴a≠－3，且a≠5； 当A＝{3}时，同上也将导出矛盾．

综上所述，满足题设要求的实数a不存在．

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