第4讲圆锥曲线的定点与定值问题

第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程； H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点，交yC轴与点P，记PM??1MF,PN??2NF.求证：λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点，线段AB的长为23，33RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B，3. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95右焦点为F.设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0.

（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?13，求点T的坐标； （3）设t?9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.

2

4.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y2?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图. （I）证明: OM?OP为定值; （II）若△POM的面积为

52，求向量OM与OP的夹角； (Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.

第4题

3

y2x25.已知F1、F2分别为椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的上、下焦点,其中F1也是抛

ab5物线C2:x2?4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|?.

3(Ⅰ)求椭圆C1的方程.

(Ⅱ)已知点P(1,3)和圆O:x2?y2?b2,过点P的动

直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点

Q,满足:AP???PB,AQ??QB,(??0且???1). 求证:点Q总在某定直线上.

y

x2y2(选做)已知A1,A2,B是椭圆2?2?1(a?b?0)的顶点（如图）,直线l与椭圆交于

ab第3题图

M F1 O · x · F2 异于顶点的P,Q两点,且l//A2B．若椭圆的离心率是

3,且|A2B|?5．（１）求此椭圆的方程； 2yBP（２）设直线A1P和直线BQ的倾斜角分别为?,?．试判断???是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．

A1OA2Qlx4

3.解: (Ⅰ)方法一、由C2:x2?4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x0?0), 因M在抛物线C2上,故x02?4y0…①

55226,则y0?1?……②, 由①②解得x0??,y0?. 3333椭圆C1的两个焦点F1(0,1),F2(0,?1),点M椭圆上,

又|MF1|?由

椭

圆

定

义

得

2a?|MF1|?|MF2|?(?262262?0)2?(?1)2?(??0)2?(?1)2?4 3333y2x2222??1. ∴a?2,又c?1,∴b?a?c?3, ∴椭圆C1的方程为432方法二、由C2:x?4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x0?0),因M在抛物线C2上,故

x02?4y0…①

55226,则y0?1?……②, 由①②解得x0??,y0?. 33332262()2()4833??1??1…③, 又c?1,则而点M椭圆上,故有即

a2b29a23b2b2?a2?1…④

y2x222??1. 由③④可解得a?4,b?3,∴椭圆C1的方程为43(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),

又|MF1|??x1??x2?1??由AP???PB可得:(1?x1,3?y1)???(x2?1,y2?3),即?

y??y?3(1??)?12?x1??x2?(1??)x由AQ??QB可得:(x?x1,y?y1)??(x2?x,y2?y),即?

?y1??y2?(1??)y⑤?⑦得:x12??2x22?(1??2)x ⑥?⑧得:y12??2y22?3y(1??2)

两式相加得(x12?y12)??2(x22?y22)?(1??2)(x?3y)

22又点A,B在圆x?y?3上，且???1,所以x12?y12?3,x22?y22?3

即x?3y?3, ∴点Q总在定直线x?3y?3上.

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。

（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222由PF?PB?4，得(x?2)?y?[(x?3)?y]?4, 化简得x?229。 2故所求点P的轨迹为直线x?

9。 25

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