数模4 产销平衡

佛山科学技术学院

上 机 报 告

课程名称 数学建模 上机项目 产销平衡

专业班级 姓 名 学 号

一、问题提出

问题一、

某厂根据产品成本和销售情况，在产销平衡条件下（产品的产量等于市场的销售量），如何确定商品的最优价格，使获得利润最大。根据PPT课件中的假设条件等说明，请同学们建立模型并求解。

问题二、

某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌，试讨论产销平衡下，如何确定各自的产量，从而获得最大利润。

利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格p1固然会随其销量x1的增长而降低；同时乙品牌销量x2的增长也会使甲的价格有稍微下降，根据该厂的实际情况进行大量调查，价格与销量呈现线性关系，即

p1＝300－2.35x1－0.09x2 乙的价格p2遵循同样的规律，有

p2＝480－0.14x1－2.98x2

甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按该厂的实际情况进行大量调查，呈现为负指数关系，即有

q1＝38e q2＝94e?0.023x1＋116 ＋145

乙品牌的成本q2遵循同样的规律，有

?0.018x2试确定甲、乙两种品牌的产量，使公司获得的总利润最大。

问题一：

模型假设：

1）产量等于销量（产销平衡），记作 x； 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格； 3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本； 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数。

5）进一步设x(p)?a?bp,a,b?0，即假设它是线性函数。

模型建立：

利润时销售收入与生产支出之差，设每件产品售价为p，成本为q，售量为x（与产量相同），则总收入与总支出分别为

S=px (1) Z=qx (2)

在市场竞争的情况下，售量x依赖于售价p，记为

x=f(p) (3)

f称需求函数，是p的减函数。于是不论成本q是否与x相关，收入S和支出Z都是售量p的函数。

因此，利润U可以表示为U(p)?S(p)?Z(p) （4）

模型求解：

要使利润U（p）达到最大的最优价格p*可以由得到，即有：

dSdZ|p?p*?|p?p* （5） dpdpdU|p?p*?0 dp再由

x(p)?a?bp,a,b?0 （6）

并且每件产品的成本q与产量x无关，将（1）~（3）式代入（4）式可得

U(p)?(p?q)(a?bp) （7）

最后用微分法可求出使U（p）最大的最优价格p*为

qap*?? （8）

22b

问题二：

模型假设：

1. 价格与销量成线性关系

利润既取决于销量和价格，也依赖于产量和成本，按照市场规律，甲的价格

p1会随其销量x1的增长而降低，同时乙的销量x2的增长也会使甲的价格有稍微的下降，可以简单地假设价格与销量成线性关系。即： p1?b1?a11x1，且a11?a1；?a1，xb1,a11,a1?22 20同理：p2?b2?a21x1?a22x2，b2,a21,a22?0，且a22?a21。

2．成本与产量成负指数关系

甲的成本随其产量的增长而降低，且有一个渐进值，可以假设为负指数关系，

??1x1即：q1?re?c1，r1,?1,c1?0 1

同理，q2?r2e??2x2?c2，r2,?2,c2?0

模型建立：

有题设可知，甲品牌产品单件获利为p2?q2，由产销平衡原理，所有产品德销量就是产量，则甲、乙两种产品总获利为

z(x1,x2)?(p1?q1)x1?(p2?q2)x2

若根据大量的统计数据,找出式中的系数分别为： b1=100, a11=1,

a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,?1=0.015,c1=20,r2=100,

?2=0.02,c2=30,则问题即转化为无约束优化问题：求甲,乙两个品牌的产量

x1，x2，使总利润z最大.

模型求解：

容易看出，原问题实际上转化为求二元函数z(x1,x2)的极大值，为用matlab优化工具箱中的fminunc求解，需要将其转化为求函数y(x1,x2)??z(x1,x2)的最小值。

为确定初始值，先忽略成本，并令a12=0,a21=0,问题转化求

z1?(b1?a11x1)x1?(b2?a22x2)x2的极值.显然其解为x1?b1b= 50, x2?2= 70,2a112a22我们把它作为优化问题的初始值。下面写出M文件中的目标函数命令，再用

matlab优化问题中的fminunc函数求解 。

Matlab程序：

先编写M文件chanxiaopinheng1.m定义目标函数： function y=chanxiaopinheng1(x) p1=100-x(1)-0.1*x(2); p2=280-0.2*x(1)-2*x(2); q1=30*exp(-0.015*x(1))+20; q2=100*exp(-0.02*x(2))+30; y=(p1-q1)*x(1)+(p2-q2)*x(2);

再编写另一M文件，取名为chanxiaopinheng2.m

x0=[50,70];

x=fminunc('chanxiaopinheng1',x0)

y=chanxiaopinheng1(x); z=-y

结果为： x =

1.0e+10 *

3.5304 2.7848 z =

3.0923e+21 截图为：

结果是：

所以，甲种品牌的产量为3.5304，乙种品牌的产量为2.7848，最大的利润为3.0923e+21。

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