线性代数典型例题

线性代数

第一章 行列式

典型例题

一、利用行列式性质计算行列式

二、按行（列）展开公式求代数余子式

12343344??6，试求A41?A42与A43?A44.

15671122 已知行列式D4?三、利用多项式分解因式计算行列式

1112?x21．计算D?1313xbcbxc2．设f(x)?bcxbcd2323.

1519?x2dd，则方程f(x)?0有根x?_______. dx四、抽象行列式的计算或证明

1.设四阶矩阵A?[2?,3?2,4?3,?4],B?[?,2?2,3?3,4?4]，其中?,?,?2,?3,?4均为四维列向量，且已知行列式|A|?2,|B|??3,试计算行列式|A?B|. 2.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|??(3A)?1?2A*O?2??.

OA??1，试计算行列式23.设A是n阶(n?2)非零实矩阵，元素aij与其代数余子式Aij相等，求行列式|A|.

?210??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,则|B|?_____. 1204.设矩阵A??????001??5.设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3),B?(?1??2??3,?1?2?24?3,?1?3?2?9?3)

如果|A|?1，那么|B|?_____. 五、n阶行列式的计算

六、利用特征值计算行列式

1.若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为

1111,,,，则行列式2345|B?1?E|?________.

2.设A为四阶矩阵，且满足|2E?A|?0,又已知A的三个特征值分别为?1,1,2，试计算行列式|2A*?3E|.

第二章 矩阵

典型例题

一、求逆矩阵

1.设A,B,A?B都是可逆矩阵，求：(A?1?B?1)?1.

?00021??00053???2.设A??12300?，求A?1.

??45800????34600??二、讨论抽象矩阵的可逆性

1.设n阶矩阵A满足关系式A3?A2?A?E?0,证明A可逆，并求A?1. 2.已知A3?2E,B?A2?2A?2E,证明B可逆，并求出逆矩阵。 3.设A?E?xyT,其中x,y均为n维列向量，且xTy?2,求A的逆矩阵。 4.设A,B为n阶矩阵，且E?AB可逆，证明E?BA也可逆。 三、解矩阵方程

?11?1??，矩阵X满足A*X?A?1?2X,求矩阵X. ?1111.设矩阵A??????1?11???100??011??,B??101?，且矩阵X满足 1102.已知矩阵A?????????111???110??AXA?BXB?AXB?BXA?E，求X.

四、利用伴随矩阵进行计算或证明 1.证明下列等式

(1)(AT)*?(A*)T； (2)若|A|?0,则(A?1)*?(A*)?1； （3）|A|?0,则[(A?1)T]*?[(A*)T]?1；

(4)|A|?0,则(kA)*?kn?1A*(k?0,A为n阶矩阵）； （5）若A,B为同阶可逆矩阵，则(AB)*?B*A*.

2.设矩阵A?(aij)3?3满足A*?AT,若a11,a12,a13为三个相等正数，则a11?_______. 五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）

第三章 矩阵

典型例题

一、判断向量组的线性相关性

1.设?i?(?i1,?i2,?,?in)T(i?1,2,?,r;r?n)是n维实向量，且?1,?2,?,?r线性无关，已知??(b1,b2,?,bn)T是线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ??????ar1x1?ar2x2???arnxn?0的非零解向量，试判断向量组?1,?2,?,?r,?的线性相关性。

2.设?1,?2,?,?n是n个n维的线性无关向量，?n?1?k1?1?k2?2???kn?n，其中

k1,k2,?,kn全不为零，证明?1,?2,?,?n?1中任意n个向量均无关。

?11?1??121??，证明B的3.设A为4?3矩阵，B为3?3矩阵，且AB?0,其中A???230???0?1?2??列向量组线性相关。

4.设?1,?2,?,?n?1为n?1个线性无关的n维列向量，?1和?2是与?1,?2,?,?n?1均正交的n维非零列向量，证明（1）?1、?2线性相关；（2）?1,?2,?,?n?1，?1线性相关。

二、把一个向量用一组向量线性表示

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn证明线性方程组?的解都是

?????am1x1?am2x2???amnxn?0b1x1?b2x2???bnxn?0的解的充要条件是?是?1,?2,?,?m的线性组合，其中

??(b1,b2,?,bn)，?i?(?i1,?i2,?,?in)(i?1,2,?,m).

三、求向量组的秩

1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

2.已知向量组（1）?1,?2,?3；（2）?1,?2,?3,?4；（3）?1,?2,?3,?5.如果各向量组的秩分别是3、3、4，证明：向量组?1,?2,?3,?5??4的秩为4. 四、有关矩阵秩的命题

1.设A为m?n实矩阵，证明：R(A)?R(ATA).

2.设A为n阶方阵，且满足A2?A?2E，证明：R(A?2E)?R(A?E)?n. 综合题

B为n?(n?m)矩阵，R(A)?m,R(B)?n?m，1. 设A为m?n矩阵，且已知AB?0，

设?是满足Ax?0的一个n维向量，证明：存在唯一的一个(n?m)维列向量?，使??B?.

1??02.已知随机变量X~?，P?Y??0.5??1，又n维向量?1,?2,?3线性无??0.250.75?关，求向量?1??2,?2?2?3,X?3?Y?1线性相关的概率。

第四章 线性方程组

典型例题

一、基本概念题（解的判定、性质、结构） 二、含有参数的线性方程组的求解 三、抽象线性方程组求解

?a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0?ax?ax???ax?0?2112222,2n2n1.已知线性方程组：(?)?

?????an1x1?an2x2???an,2nx2n?0的一个基础解系为(b11,b12,?,b1,2n)T,(b21,b22,?,b2,2n)T,?,(bn1,bn2,?,bn,2n)T.试写出

?b11y1?b12y2???b1,2ny2n?0?by?by???by?0?2112222,2n2n线性方程组：(??)?的通解，并说明理由。

?????bn1y1?bn2x2???bn,2ny2n?02.已知4阶方阵A?(?1,?2,?3,?4),?1,?2,?3,?4均为4维列向量，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3，如果???1??2??3??4，求线性方程组Ax??的通解。 四、讨论两个方程组的公共解

?x1?x2?x3?0?1.设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值

?x?4x?a2x?023?1及所有公共解。

?x1?x2?2x4??6?x1?mx2?x3?x4??5??2.已知下列非齐次线性方程组(?)?4x1?x2?x3?x4?1，(??)?nx2?x3?2x4??11

?3x?x?x?3?x?2x??t?112334??（1）求解方程组(?)，用其导出组的基础解系表示通解；

（2）当方程组(??)中的参数m,n,t为何值时，方程组(?)与(??)同解。

3.设A,B都是n阶级矩阵，且r(A)?r(B)?n，证明齐次方程组Ax?0与Bx?0有非零公共解。

五、讨论两个方程组解之间的关系 1.Ax?0与ATAx?0的解的关系。

2.设有齐次线性方程组Ax?0与Bx?0，其中A,B都是m?n矩阵，现有4个命题：

①若Ax?0的解均是Bx?0的解，则r(A)?r(B)；

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