2014届资阳一诊、绵阳一诊、成都七中、石室中学、成都外国语学校

2014年四川省高考模拟试题10

(函数压轴题)

2013.11.9 理科数学

第I 卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

ba1?1??1?1、设???????1，那么▲

2?2??2? A.aa?ab?ba B.aa?ba?ab C ab?aa?ba D.ab?ba?aa 2、（2014届南充高级中学高三月考3）关于x,y的方程：x2?y2?4tx?2t2y?t4?4t2?实数解都满足x?y，则实数t的取值范围是▲ A [1?1?0的任一组8222,1?] B [0,1?] C [1?2,1?2] D [2,1?2] 22222223、已知x1,x2是关于x的一元二次方程ax?bx?c?0的两根，若x1?1?x2，则(x1?x2)?x1x2 的取

值范围是▲

11 A．(5,??) B．(1,??) C．(,??) D．(,??)

421的一个零点，若x1?(1,x0),x2?(x0,??),则▲ 1?x A.f(x1)?0,f(x2)?0 B. f(x1)?0,f(x2)?0 C. f(x1)?0,f(x2)?0 D. f(x1)?0,f(x2)?0

4、已知x0是函数f(x)?2?x

5、定义在R上的可导函数f(x)，当x?(1,??时)，f(x)?f'(x?)xf'恒(x成立，

1,c)，则的大小关系为 ▲ a?f(2),b?f(3)c?,(?2f1)a(,b22 A．c?a?b B．b?c?a C．a?c?b D．c?b?a

16、（2014四川省自贡市一诊）已知函数f(x)满足：f(1)?，对任意实数x,y都有

2f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)，则f(1)?f(2)?f(3)?...f(2013)?▲

1 (A）1 （B）0 （C） （D）-1

27、已知函数f(x)?3x?2，x?R．规定：给定一个实数x0，赋值x1?f(x0)，若x1?244，则继续赋值x2?f(x1)，…，以此类推，若xn?1?244，则xn?f(xn?1)，否则停止赋值，如果得到xn称为赋值了n次(n?N*)．已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是▲

(3?1,3?1] A．(3,3] B．(3k?6?1,3k?5?1] C．(3?1,3?1] D．

8、设S,T,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y?f(x)满足:(i)T?{f(x)|x?S};(ii) 对

任意x1,x2?S,当x1?x2时,恒有f(x1)?f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同

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k?6k?55?k6?k4?k5?k构”的是▲

A．A?N,B?N B．A?{x|?1?x?3},B?{x|x??8或0?x?10} C．A?{x|0?x?1},B?R D．A?Z,B?Q

*?s??t??f??，则

1???1???x称f?x? 在[0，1]上为凸函数.在三个函数f1?x??x?1,f2?x??e?1,f3?x??lgx?1 中，在[0，1]

9、若函数f?x?在[0，1]上满足：对于任意的s,t??0,1?,??0 ，都有

上第▲个是凸函数

A.1 B.2 C.3 D.没有

10、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即

f?s???f?t?[k]??5n?k|n?Z?,b?0,1,2,3,4，则下列结论①2013?[3]； ②?1?[3]；③Z?[0]?[1]?[2]?[3]?[4]；④“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a?b?[0]”；⑤命题“整数a,b满足a?[1],b?[3]，则a?b?[4]”的原命题与逆命题都为真命题。正确的为▲

A.① B.①② C.①③④ D.①②③

第II卷

二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．将答案直接填写在各题中的横线上）

11、已知函数f(x)?2且f(x)?g(x)?h(x)，其中g(x)为奇函数, h(x)为偶函数，若不等式

x2a?g(x)?h(2x)?0对任意x?[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是

▲.

?，3

12、已知点A?x1,f?x1??，B?x2,f?x2??是函数f?x??sin??x???图象上的任意两点，其中

??0,?则f??2???0，|x1?x2|的最小值为且角?的终边经过点P?1,?1?，若|f?x1??f?x2?|?2时，

????的值是?2?▲.

x13、（2014届自贡市一诊）设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意 x?M(M?D)，有x?l?D，且f(x?1)?f(x)，则称f(x)为M上的高调函数.现给出下列三个命题：

?1?①函数f(x)???为R上的l高调函数；②函数f(x)?sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是

?2???1,???的函数f(x)?x2为??1,???上的m高调函数，那么实数m的取值范围?2,???；其中正确的命题

是

▲.

214、函数f?x?的定义域为A,若x1,x2?A且f?x1??f?x2?时总有x1?x2,则称f?x?为单函数. 例如,函数f?x??x?1?x?R?是单函数.下列命题:

?log2x,x?2,①函数f?x??x?2x?x?R?是单函数; ②函数f?x???是单函数;

2?x,x?2?有单调性,则f?x?一定是单函数. 其中的真命题是

③若f?x?为单函数,x1,x2?A且x1?x2,则f?x1??f?x2?; ④函数f?x?在定义域内某个区间D上具

▲. (写出所有真命题的编号).

15、（2014届绵阳一诊15）对于定义域为[0，1]的函数f (x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f (x)≥0；②f (1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f (x1+ x2)≥f (x1)+ f (x2)成立，则称 （1）函数为“美好函数”．给出下列结论： （2）若函数f (x)为美好函数，则f (0)=0；

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（3）函数g(x)=2x-1(x∈[0，1])不是美好函数； （4）函数h(x)=xα(α∈(0，1)，x∈[0，1])是美好函数； 若函数f (x)为美好函数，且?x0∈[0，1]，使得f(f (x0))=x0，则f (x0)=x0．以上说法中正确的是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.设函数f(x)?Asin(?x??)(其中A?0,??0,?????? )在x?相邻两个交点的距离为

▲.．

?6处取得最大值2,其图象与轴的

? 26cos4x?sin2x?1f(x?)6(1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)??的值域.

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17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM?平面ABCD，

?DAB?600,AD?2,AM?1,E为AB的中点.

(1)求证：AN//平面MEC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P?EC?D的大小为

?？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由. 6

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18．（2014绵阳一诊20）已知函数y?lg(1?tx?x2)的定义域为M，其中t∈R．

3，求函数f (x)=3?4x?2x?2在M上的最小值及相应的x的值； 22x?t（2）若对任意x1，x2?M，函数g(x)?2满足g(x1)?g(x2)?3，求t的取值范围．

x?1（1）若t?

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19．对a，b∈R，已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，前n项和Sn?等比数列{bn}的首项为b，公比为a. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；

521n?n(n?N*)； 22?an?4n?2,n?2k?1，? (2)对k∈N*，设f(n)=?若存在正整数m使f(m+11)=2f(m)成立，求数列{f(n)}的前bnlog?n,n?2k.2?5?10m项的和.

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20．已知函数f(x)?4x3?3x2sin??（1）求?的取值范围；

1的极小值大于零，其中x?R，??[0,?]． 32（2）若在?的取值范围内的任意?，函数f(x)在区间(2a?1,a)内都是增函数，求实数a的取值范围； （3）设x0?sin?sin?，f(x0)?，若f[f(x0)]?x0，求证：f(x0)?x0． 22

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121．（2014绵阳一诊21）已知函数f(x)?ex?x2?ax（a∈R）．

2（1）若函数f (x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值； （2）若函数f (x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；

x?x1（3）如果函数g(x)=f (x)-(a?)x2恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：12?ln2a．

22【资阳一诊21（3）思考】若函数f(x)的图象与x轴交于不同的点A(x1,0),B(x2,0),且0?x1?x2，

/求证：f(px1?qx2)?0（其中实数p,q满足0?p?q,p?q?1）

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2014年四川省高考模拟试题10

参考答案10

16【答案】：（Ⅰ）???6（Ⅱ）[1,)?(,]

74754211(cos2x?)因cos2x?[0,1]，且cos2x?

22775故g(x) 的值域为[1,)?(,]

442

3?cos2x?1213118．解：（I）由1?x?x2?0解得??x?2．即M?(?，2)．……………2分

222∵f(x)?3?4x?2x?2?3?(2x)2?4?2x，

令2x=t，则∴ g(t)在(242?t?4， f(x)?g(t)?3t2?4t?3(t?)2?， 2332，4)上是增函数． 22∴ g(t)在(，4)上无最小值，即f(x)在M上无最小值．………7分

22(1?tx?x2)（II）∵g?(x)??0，

(x2?1)2∴ g(x)在M上是增函数． ………………8分

设1+tx-x2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t，αβ=-1，M=(α，β)． 2??t2??t(2??t)(?2?1)?(2??t)(?2?1)?于是g(?)?g(?)?2 ?222(??1)(??1)??1??12??(???)?2(???)?t(???)(???)?4(???)?t2(???)=????(???)2?4???t2?4． ??222(??)?(???)?2???14?t由题意知，要使原不等式恒成立，只需t2?4?3，解得t?[?5，5]．………13分 20. 解：（I）f'(x)?12x?6xsin?,令f'(x)?0,得x1?0,x2?2sin?. 2函数f(x)存在极值，sin??0， …………（1分）

由??[0,?]及（I），只需考虑sin??0的情况．当x变化时，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下

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表：

x f'(x) f(x) (??,0) ＋ 0 0 极大值 sin?(0,) 2－ sin? 20 极小值 sin?(,??) 2＋ ? ? ?

sin?sin?sin?11处取得极小值f(),且f()??sin3??.222432

sin?111要使f()?0,必有?sin3???0,可得0?sin??,24322

?5?所以?的取值范围是??(0,)?(,?)

因此，函数f(x)在x?66（II）由（I）知，函数f(x)在区间(??,0)与(sin?,??)内都是增函数． 2由题设，函数f(x)在(2a?1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

?2a?1?a?2a?1?a?，或， ??1a?02a?1?sin????2111∵0?sin??.∴要使不等式2a?1?sin?关于参数?恒成立，必有2a?1?.

22455解得a?0或?a?1，所以a的取值范围是(??,0]?[,1). …………（8分）

88

假设f(x0)?x0，则f(x0)?x0，或f(x0)?x0，∵x0?∴

（III）用反证法证明：

sin?sin?，f(x0)?，

22sin?sin? ?f(x0)?x0，或f(x0)?x0?22sin?sin?当,??)内是增函数， ?f(x0)?x0时，∵函数f(x)在区间(22∴f[f(x0)]?f(x0)，即x0?f(x0)矛盾；

sin?sin?时，∵函数f(x)在区间(,??)内是增函数， 22∴f[f(x0)]?f(x0)，即x0?f(x0)也矛盾；

当f(x0)?x0?故假设不成立，即f(x0)?x0成立． …………（12分）

21．解：（I）∵f?(x)?ex?x?a，∴ f?(0)?1?a．于是由题知1-a=2，解得a=-1．

1∴ f(x)?ex?x2?x．∴ f(0)?1，于是1=2×0+b，解得b=1．………4分

2（II）由题意f?(x)?0即ex?x?a?0恒成立，∴ a?ex?x恒成立．

设h(x)?ex?x，则h?(x)?ex?1．

x h?(x) h(x) (-∞，0) - 减函数 0 0 极小值 (0，+∞) + 增函数 ∴ h(x)min=h(0)=1，∴ a<1．………………9分

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（III）由已知g(x)?ex?121x?ax?ax2?x2?ex?ax2?ax， 22∴ g?(x)?ex?2ax?a．∵ x1，x2是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x1

∴ a>0（若a≤0时，g?(x)?0，即g(x)是R上的增函数，与已知矛盾），且g?(x1)?0，g?(x2)?0． ex1?ex2∴ e?2ax1?a?0，e?2ax2?a?0．两式相减得：2a?，

x1?x2x1x2x?x于是要证明12?ln2a，即证明e2x1?x22ex1?ex2?， x1?x2x1?x22两边同除以e即证(x1-x2)

x2x1?x2，即证e2ex1?x2?1?，即证(x1-x2)ex1?x2>ex1?x2?1，

t2tex1?x2e2t2t-ex1?x2?1>0，令x1-x2=t，t<0．即证不等式

t2?et2?t?et?et?1?0当t<0时恒成立．

tt设φ(t)?te?e?1，∴ ??(t)∵

t2由(II)知et1tt??et?(?1)e2?et??e2[e2?(?1)]． 222tt??1，即e2?(?1)?0，∴ ?(t)<0，∴ ?(t)在t<0时是减函数． 22∴ ?(t)在t=0处取得极小值?(0)=0．∴ ?(t)>0，得证．

x?x∴ 12?ln2a．…………………………14分

2【2014届四川省高考模拟1选择题10：成都七中2014届高三10月数学理、选择题10题答案试解】

??x??x??x??1,?0??x??x??x??1,由sin2[x]?sin2{x}?1可得sin2[x]?cos2{x}，

?[x]?k???316?101??0?k?100?m?101 22(3?x??3)x??x??1??x??2,?x??3又因为x?316 ?x??x??x????1?0?x?33?x??12(3?x??3)3?x??12??{x}所以100????

x?316??x??315?3??x??315?n?313

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（III）由已知g(x)?ex?121x?ax?ax2?x2?ex?ax2?ax， 22∴ g?(x)?ex?2ax?a．∵ x1，x2是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x1

∴ a>0（若a≤0时，g?(x)?0，即g(x)是R上的增函数，与已知矛盾），且g?(x1)?0，g?(x2)?0． ex1?ex2∴ e?2ax1?a?0，e?2ax2?a?0．两式相减得：2a?，

x1?x2x1x2x?x于是要证明12?ln2a，即证明e2x1?x22ex1?ex2?， x1?x2x1?x22两边同除以e即证(x1-x2)

x2x1?x2，即证e2ex1?x2?1?，即证(x1-x2)ex1?x2>ex1?x2?1，

t2tex1?x2e2t2t-ex1?x2?1>0，令x1-x2=t，t<0．即证不等式

t2?et2?t?et?et?1?0当t<0时恒成立．

tt设φ(t)?te?e?1，∴ ??(t)∵

t2由(II)知et1tt??et?(?1)e2?et??e2[e2?(?1)]． 222tt??1，即e2?(?1)?0，∴ ?(t)<0，∴ ?(t)在t<0时是减函数． 22∴ ?(t)在t=0处取得极小值?(0)=0．∴ ?(t)>0，得证．

x?x∴ 12?ln2a．…………………………14分

2【2014届四川省高考模拟1选择题10：成都七中2014届高三10月数学理、选择题10题答案试解】

??x??x??x??1,?0??x??x??x??1,由sin2[x]?sin2{x}?1可得sin2[x]?cos2{x}，

?[x]?k???316?101??0?k?100?m?101 22(3?x??3)x??x??1??x??2,?x??3又因为x?316 ?x??x??x????1?0?x?33?x??12(3?x??3)3?x??12??{x}所以100????

x?316??x??315?3??x??315?n?313

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