空间向量及其运算知识

空间向量及其运算

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

?????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

a3．平行六面体：

?平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形成的几何体，

D'A'B'C'DC叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边A形，每个面的边叫做平行六面体的棱 B4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.

?要注意其中对向量a的非零要求．

5 共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行

????向量．a平行于b记作a//b．

??????当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直

线，也可能是平行直线．

???????6． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a?＝λb.

?推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

??OP?OA?ta．其中向量a叫做直线l的方向向量.

空间直线的向量参数表示式：

OP?OA?ta或OP?OA?t(OB?OA)?(1?t)OA?tOB，

1中点公式．OP?(OA?OB)

2?7．向量与平面平行：已知平面?和向量a，作?????OA?a，如果直线OA平行于?或在?内，那么

??我们说向量a平行于平面?，记作：a//?．通常

我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的 ?MbaBAA'pP???8．共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p??与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

O 1

???p?xa?yb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使

?????????????????????????????MP?xMA?yMB ①或对空间任一点O，有OP?OM?xM?Ay②M ?????????????????或OP?xOA?yOB?zOM,(x?y?z?1) ③

上面①式叫做平面MAB的向量表达式 ????9 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有

????序实数组x,y,z，使p?xa?yb?zc ?????????若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任

意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，

????????????????使OP?xOA?yOB?zOC ????????????O10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点，作OA?a,OB?b，

??????则?AOB叫做向量a与b的夹角，记作?a,b?；且规定0??a,b???，显然有

????????????a,b???b,a?；若?a,b??，则称a与b互相垂直，记作：a?b.

2???????????11．向量的模：设OA?a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|.

??????????12．向量的数量积：已知向量a,b，则|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的数量积，记作a?b，即??????a?b?|a|?|b|?cos?a,b?．

??????已知向量AB?a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A?，作点B???????????????在l上的射影B?，则A?B?叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影. 可以证明A?B?的长度???????????????|AB|?|AB|cos?a,e??|a?e|．

13．空间向量数量积的性质：

?????????（1）a?e?|a|cos?a,e?．（2）a?b?a?b?0．

???（3） |a|2?a?a．

14．空间向量数量积运算律：

??????????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)．（2）a?b?b?a（交换律）．

???????（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律） z空间向量的直角坐标及其运算

1 空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫

A(x,y,z)kiOjy???单位正交基底，用{i,j,k}表示；

x??????（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

???O?xyz，点O叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；

2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使

2

??????OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖

坐标．

A' z D' B' D A x z A B C y C' 常见坐标系

①正方体 如图所示，正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为a，一般选择点D为原点，DA、DC、DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D?xyz，则各点坐标为

亦可选A点为原点.

在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体

如图所示，正四面体A?BCD的棱长为a，一般选择A在?BCD上的射影为原点，OC、OD（或OB）、OA所在直线分别为x轴、y轴、

B O C x D y z ③正四棱锥

P 如图所示，正四棱锥P?ABCD的棱长为a，一般选择点P在平面

ABCD的射影为原点，OA（或OC）、OB（或OD）、OP所在直线

D 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz，则各点坐标为

C ④正三棱柱 O x A 如图所示，正三棱柱 ABC?A'B'C'的底面边长为a，高为h，B y E一般选择AC中点为原点，OC（或OA）、OB、OE（为O在A'C'上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz，则各点坐标为 Az 3．空间向量的直角坐标运算律：

??E （1）若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

BC??A a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)， ???O a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)， ????C B y x a?b?a1b1?a2b2?a3b3， a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)，

z轴建立空间直角坐标系O?xyz，则各点坐标为

????（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 ??a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0．

??4 模长公式：若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，

??????222222则|a|?a?a?a1?a2?a3，|b|?b?b?b1?b2?b3．

????a1b1?a2b2?a3b3a?b??5．夹角公式：cosa?b??．

222222|a|?|b|a1?a2?a3b1?b2?b36．两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

????????2222则|AB|?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)，

3

或dA,B?

(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 空间向量应用

一、直线的方向向量

把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由

A(x,z,y????1,y11)与B(x22,z2)确定直线AB的方向向量是AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)平面法向量 如果?a??，那么向量?.

a叫做平面?的法向量.

二、证明平行问题

1．证明线线平行：证明两直线平行可用?a//b??a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)或

?a//?b?a1aab?2b?3.

12b32.证明线面平行 直线l的方向向量为?a，平面?的法向量为?n，且l??，若?a??n即?a??n?0则?a//?.

3.证明面面平行

平面?的法向量为?n?的法向量为??n???????????1，平面?2，若n1//n2即n1??n2则?//?.

三、证明垂直问题 1．证明线线垂直 证明两直线垂直可用?a?b???a?b??a1b1?a2b2?a3b3?0

2．证明线面垂直 直线l的方向向量为?a，平面?的法向量为?n，且l??，若?a//?n即?a???n则?a??.

3.证明面面垂直 平面?的法向量为?n?的法向量为??n??????即?n????1，平面?2，若n1?n21?n2?0则???. 四、夹角

1．求线线夹角

设??aa???(?b?|?a1,a2a|?|?,a3)，bb|?cos???(b1,b2,b3)，??(0?,90?]为一面直线所成角，则： a,?bcos??a,????；

b??a1b1?a2b2???|?a?ba|?|?b|?a3b3a222222；cos??|cos?a,b?|.

1?a2?a3b1?b2?b32．求线面夹角

如图，已知PA为平面?的一条斜线，?n为平面?的一

个法向量，过P作平面?的垂线PO，连结OA则?PAO为斜线PA和平面?所成的角，记为?易得

n P sin??|sin(?2?????OP?,???AP??)|?|cos????OP?,???AP??|

?|cos??n,???AP??|?|cos??n,??PA???|?|?n????PA??|. α O θ A |?n||???PA|3．求面面夹角

4

?????设n1、n2分别是二面角两个半平面?、?的法向量，

??????????当法向量n1、n2同时指向二面角内或二面角外时，二面角?的大小为???n1,n2?；

??????????当法向量n1、n2一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角?的大小为?n1,n2?.

五、距离

1．求点点距离

设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，dA,B?????????????|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 (x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 2．求点面距离

?如图，A为平面?任一点，已知PA为平面?的一条斜线，n为平面?的一个法向量，过P作平面?的垂线PO，连结OA则?PAO为斜线PA和平面?所成的角，记为?易得

???????????????????????????????|PA?n||PA?n|????. |PO|?|PA|?sin??|PA|?|cos?PA,n?|?|PA|????|PA|?|n||n|3．求线线距离

求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a、b的公

??垂线的方向向量为n, 这时分别在a、b上任取A、B两点，则向量在n上的正射影长就是两条

b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方异面直线a、

向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

??????????n|AB?n|?. 直线a、b的距离d?|AB??|?|n||n|4．求线面距离

一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离

和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.

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