矩阵理论研究生课程大作业

研究生“矩阵论”课程课外作业

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人口迁移问题和航班问题

(重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室)

摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。

人口迁移问题

假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：

0.5

N S 0.5 0.75 0.25

问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？

解 设n年后北方和南方的人口分别为xn和yn， 我们假设最初北方有x0人，南方有y0人。则我们可得，n?1时，一年后北方和南方的人口为

?x1?0.5x0?0.25y0 ? (1-1)

?y1?0.5x0?0.75y0将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式

?x0??x1? ??y???A??y??

?1??0??0.50.25?A?其中 ?0.50.75?

??n?2时，两年后北方和南方的人口为

x?x2??x1?2?0?? ??y???A??y???A?y??

?2??1??0?依次类推下去，n年后北方和南方的人口为

x?xn?n?0??? ??A?y??y?? (1-2) ?n??0?现在只需求出An就可得出若干年后北方和南方的人口数。 下面将使用待定系数法[1]求An

?E?A???0.5?0.5?0.25?(??0.5)(??0.75)?0.5?0.25??0.75 ??2?1.25??0.25?(??0.25)(??1)所以 ?1?0.25,?2?1

矩阵A的最小多项式为 m(?)?(??0.25)(??1) 设An?a0E?a1A 由此可得方程组

?a0?0.25a1?0.25n ?

a0?a1?1?解方程组得

??0.25?0.25na???00.75 ? n?a1?1?0.25?0.75?所以

?0.25?0.25n1?0.25nA?a0E?a1A?E?A0.750.75 nn?1??10.25?0.5?0.250.25?0.25???0.75?0.5?0.5?0.25n0.5?0.25n?1?n所以由式(1-2),我们得到n年后北方和南方的人口

0.25?0.5?0.25n0.25?0.25n?1x0?y0 北方:xn?0.750.750.5?0.5?0.25n0.5?0.25n?1x0?y0 南方:yn?0.750.75当n??时，得

0.25?0.5?0.25n0.25?0.25n?1limxn?lim(x0?y0)n??n??0.750.75 1?(x0?y0)3?0.5?0.5?0.25n0.5?0.25n?1?limyn?lim?x0?y0??n??n????0.750.75?? 2??x0?y0?3 由上面计算可以得到，如果移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方。最终北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的两倍。

结论

本文论述的南北方人口迁移问题是一个比较理想化的问题，但还是有一些实际的参考价值，通过本问题的演算过程，我们可以推论，若一个地区有人口迁出(迁出率<1)，那么只要有人口迁入，则该地区始终有人口住居。

航班问题

一家航空公司经营A、B、C、D和H五个城市的航线业务，其中H为中心城市。各个城市间的路线见图1。

图 1

假设你想从A城市飞往B城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即A?H和H?B。如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下： (1)从A到B，有多少条路线刚好是三个相连的航班； (2)从A到B，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。

解 为了方便计算，设1、2、3、4、5分别代表A、B、C、D、H五个城市。令A??aij?，其中aij表示i城市到j城市单连航班的路线条数?i,j?1,2,3,4,5?，若aij?1表示i城市到j城市的单连航班有1条，若aij?0表示i城市到j城市的单连航班有0条[2]。则表示i城市到j城市单连航班的路线条数用矩阵A表示为

?0?1? A??0??0??10001110001001011?1??1? ?1?0??令B?bij?A2，则bij表示i城市到j城市两个相连航班的路线条数

???1?1? B?A2??1??2??11121?1211??2111?

?1111?1114??令C?cij?A3，则cij表示i城市到j城市三个相连航班的路线条数

?2?2?3 C?A??3??2??53225?2235??2225?

?2325?5554????令D?dij?A4，则cij表示i城市到j城市四个相连航班的路线条数

?8?7? D?A4??7??7??97778779?9??7879?

?7789?99920????(1)由上面的计算可得，c12代表从A到B刚好是三个相连的航班路线条数。 所以，从A到B，有3条路线刚好是三个相连的航班。

(2)要求从A到B，不多于四个相连的航班路线条数，即是要把单个相连、两个相连、三 个相连和四个相连的全部航班路线条数加起来。 即 a12?b12?c12?d12?0?1?3?7?11

所以，从A到B，有11条路线不多于四个相连的航班。

参考文献

[1]李新,何传江.矩阵理论及其应用[M].重庆：重庆大学出版社,2005.8:117-120 [2]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京：高等教育出版社,2007.5:30-37

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k1ia.html