概率论第1章的基本概念习题及答案

第一章 随机变量 习题一

系 班

姓名 学号 1、写出下列随机试验的样本空间

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和

3,4,?,18? ?= ?(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数

? 10,11,? ?= ?(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，

如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。

?={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 ?= {(x,y)|x2?y2?1}

(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 ?={(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}

其中x,y,z分别表示第一、二、三段的长度

(6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U =

“在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =

解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，? e10 。}

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 ?、

10

( 2 ) U = { e3 ， e4 ，? }

其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 ?

2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系

(1)|x?a|??与|x?a|?? 互不相容 (2)x?20与x?20 对立事件 (3)x?20与x?18 互不相容 (4)x?20与x?22 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:AB??

; 对立事件 : (1)AB?? 且 A?B??

1

3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件

(1)A发生，B与C不发生 - ABC (2)A与B都发生，而C不发生 - ABC (3)A,B,C中至少有一个发生 -A?B?C (4)A,B,C都发生 -ABC (5)A,B,C都不发生 - ABC (6)A,B,C中不多于一个发生 -AB?AC?BC (7)A,B,C中不多于两个发生-A?B?C (8)A,B,C中至少有两个发生-AB?AC?BC

4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.

(1)A?B 必然事件 (2)AB 不可能事件

(3)C 取到的球的号码不小于5 (4)A?C 1或2或3或4或6或8或10 (5)AC 2或4 (6)AC 5或7或9

(7)B?C 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或10 5、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.

(1)A?B?AB?B 成立

(2)AB?A?B 不成立 (4)(AB)(AB)?? 成立

(6)若AB??，且C?A，则BC?? 成立 (8)若B?A，则A?B?A 成立

(3)A?BC?ABC 不成立 (5)若A?B，则A?AB 成立 (7)若A?B，则B?A

成立

7、设一个工人生产了四个零件，Ai表示事件“他生产的第i个零件是正品”(i?1,2,3,4)，用A1,A2,A3,A4的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) B1?A1A2A3A4

(2)至少有一个产品是次品；(2) B2?A1?A2?A3?A4?A1A2A3A4 (3)只有一个产品是次品；(3) B3?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

2

(4)至少有三个产品不是次品

4)B4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

8. 设 E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)E?F??E?F?(2) ?E?F??E?F?E?F （3）?E?F???F?G? 解 :(1) 原式 ??E?E???E?F??E?F?F?F?E (2) 原式 ??E?F??E?F?E?F?F?E?F?F?E (3) 原式 ??E?F???E?G???F?F???F?G??F??E?G?

9、设A,B是两事件且P(A)?0.6,P(B)?0.7，问(1)在什么条件下P(AB)取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)A?B,P(AB)?0.6

(2)A?B?S,P(AB)?0.3

????????????????10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A，B，C 表示：(1) D = AB?C ；(2) D = ?A?B?C 。

acb 1111、设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?，

48 求A,B,C至少有一个发生的概率.

解:P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?AB?ABC

?11115???0??0?0?44488 0?P(ABC)?P(AB)?0

?P(ABC)?0

11112. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 P(AB)= .

5453

(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只

14球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 ___285____。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率

13 等于 ___24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = ? , P(A2) = ?，P(A3) = ? ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1??(1???)(1?? ?)(1???) .

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

34 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __57____。 13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求

(1)恰有90个次品的概率； (2)至少有2个次品的概率.

200119990110?C1100?C400C1100C400C1100P(2)?1??P(1)??C200?2000200C1500C1500?? 1500 解:

14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手

同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率. 解:A?“甲中”

B?“乙中”

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.9?0.8?0.72?0.98

15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: P(A)?8! 8816、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解：设所求事件A?“至少有两个人的生日在同一个月的”

A?“任何两个人的生日都不在同一个月”

44A12A12P(A)?4,P(A)?1?P(A)?1?4?0.4271212

4

17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少？

解：3个球放入4个杯子中去共有43种放法，设Bi表示杯子中球的最大个数为n的事件(n?1,2,3),B1表示每只杯子最多只能放一个球，共有A43种方法，故

3A43P(B1)?3?;B2表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个

84杯子中的任意一只，共有C32?4种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故B2包含的基本事件数为C32?4?3?36，于是

P(B2)?369 ;B3表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故?431641. ?3164P(B3)?18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其

中 D 是 x = 0 ，y = 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质

y 21D1点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。

1(1?2)3D1P(A)??12?D?2?24 2

o 2 x

19、(1)已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，求P(B|A?B)

(2)已知P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?，求P(A?B) 432 解: (1)P(B|A?B)?0.25

(2)P(A?B)?1 35

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