数形结合思想在高中物理解题中的应用

高中物理

Vol.23 No.239(S) 04.2005 .48 .

物 理 教 学 探 讨Journal of Physics Teaching

第23卷总第241期2005年第4期(上半月)

数形结合思想在高中物理解题中的应用

邵晓明

温州教育教学研究院,浙江省温州市325000

数学是研究空间形式和数量关系的科学,客观存在的数与形这两个概念是密切联系的,它们是对立统一的关系。

数形结合的思想,就是把物体的空间形式和数量关系结合起来进行考察,通过数与形之间的对应和转化来解决问题的思想。其实质是把抽象的数学语言、数量关系和直观的图形结合起来,把抽象思维与形象思维结合起来。一方面,可以 以形助数 ,从 形 入手,通过对图形的观察处理,实现抽象概念与具体形象的联系与转化,化抽象为直观,化难为易;另一方面, 以数解形 ,可以由 数 入手,将有些涉及图形的问题转化为数量关系来研究,对图形作精细的分析,从而使人们对直观图形有更精确、理性的理解。

数与形是一个辩证的统一体,有着各自的特点和优势。一般说来,用代数式进行表述和思维具有概括、可变、精确、深刻等优点;而用图形、图象进行表述和思维则显得直观、活泼。数形结合,

能使数与形优势互补。

结合思想进行解题的模式可用如图1的框图表示。

数与形都可以用来描写物理概念、物理规律以及概念和规律之间的联系和变化,两种形式之间可以相互补充、相互替代、相互转化。应用数形结合的思想,能给抽象的数量关系以形象的几何直观,也能把几何图形问题化为数量关系。数形结合的思想,往往能将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,找到简捷明快的解题思路和方法。

在解决物理问题时,我们可以根据具体的情况,认清数学表达式与物理图形、图象的功能、特点以及之间的辩证关系,选用更加合适的形式来描述、反映物理现象、规律,这样就会显得灵活、方便。1 以数解形

以数解形是指由 数 入手,将有些涉及图形的问题转化为数量关系来研究,对图形作精细的分析,从而使人们对直观图形有更精确、理性的理解。

1 1 变换图形,代数处理

有的物理问题,已知了一个图形,这里所指的图形是物理问题中所已知的物体实物图,或描述在物体运动过程中某一状态的示意图,或描述物体变化规律的示意图等,在解决这类问题时,只靠原图形是解决不了问题的,必须通过分析,

物理学是定量的科学,在物理学中,一方面,事物之间量的关系一般都可以用代数式来表述,物理问题的求解,一般都可以转化为代数式的求解;另一方面,任何事物,不管它是否为我们的感官所能感知到的对象,都可以通过某种 形 来直观地反映其形态或存在形式,这些 形 是人脑对客观事物的映象以物化形式的再现,是通过抽象思维形式而概括出来的,它可被人们感知和想象,物理解题中的 数形结合 ,就是指它们的协同统一,有机结合,以使问题获得最为顺利的解决。这是物理解题的一个重要策略。运用数形

忽略物理过程,将原图形进行变换,得到描述运

动过程中任一状态的图形,然后将图形问题转化为代数问题,找出所求物理量与已知物理量间的关系,建立方程,从而解决问题。

例1 如图2所示,点P1以速度v1由A向B做匀速运动,同时点P2以速度v2由B向C做匀速运动。已知AB=l,!ABC= <90 ,试求t为多大时,点P1和P2的距离r最短,并求最短距离。

析与解 本题已给出图形,但若用作图的方法确定动点P1和P2之间间距最短时的位置

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较为困难。为此,根据图形及有关已知量,将问题代数化,首先在原图形上建立直角坐标系,取P1

的出发点为坐标原点O,因v2不在坐标轴上,故将v2沿x、y两轴进行分解。经时间t,P1点到达D(v1t,0)点;P2点到达E(l-v2tsin )

点。

v2tcos ,

解。

由题中s- 图像可知,当木板倾角 = 1

=0 时,物体滑行距离s=s1=20m,即此时物体沿水平面运动,由牛顿运动定律和运动学公式可得

v2gs10=2

实际做竖直上抛运动,于是有v0=2gs2当 为任意值时,物体滑斜面上滑,有

v2+ gcos )s0=2(gsin

联立(1)、(2)、(3)式,消去v0和g得s=s1s2/(s1sin +s2cos )

2

(1)(2)(3)(4)(5)

当 = 2=90 时,s=s2=15m,此时物体

则D、E两点间的距离为r=

(l-v2tcos -v1t)+(v2tsin )=

以s1、s2的值代入(4)式后简化得s=12/(sin #0 8+cos #0 6)化为

s=12/sin( +37 )的坐标为(53 ,12m)2 以形助数

考虑到cos37 =0 8,sin37 =0 6,(5)式可

(6)

v)t-2l(v1+v2cos )t+l1+v2+2v1v2cos

(1)

观察括号内各项,根据二次三项式y=ax2

+bx+c求极值的方法知,当a>0,且x=-2a时,y有最小值。(1)式中,取时间为

l(v1+v2cos )

(2)

v22+2v1v2cos

将(2)式代入(1)式,得距离r的最小值为t=

v21+

2v1v2

cos

1 2 细读图形,寻找规律

有些物理问题,为了描述的方便,用图像来表述有关的信息。图像的好处是形象直观,但又不够精确。在处理这些问题时,我们只有充分挖掘图像的信息,根据图形和物理量之间的关系,对有关的物理规律进行分析,把图像问题转化为代数问题,才能精确地解决这些物理问题。

例2 物体以大小不变的初速度vo沿木板向上滑动,若木板倾角 不同,物体能上滑的距离s也不同,如图3所示是通过实验得出s- 图像,求图中最低点P的坐标。

析与解 这是一道物理情景非常熟悉但题型又较为新颖的数形结合题,要顺利解答这个问题,首先需获取图像的有关信息,然后寻找出题目所隐含的潜在规律,再转化为代数问题进行求

rmin=

lv2sin v1+

v2+

所以,当 =53 时,s有极小值12m,故P点

以形助数就是指从 形 入手,通过对图形的观察处理,实现抽象概念与具体形象的联系与

转化,化抽象为直观,化难为易。有的物理问题,较难直接找出未知量与已知量之间的关系,通常需要借助诸如受力分析图、运动过程图等草图来寻找未知量与已知量之间的关系,建立方程进行求解;有些物理问题,用代数运算比较繁杂,可以将代数运算转化成图形,利用图形来求解问题。2 1 借助草图,建立方程

描述物理现象、概念、规律和定理等,既可以用文字语言、也可以用数学语言(数学语言当然包括方程、函数与图形二种),还可以用物理语言(即简洁明快的图形或物理模型等)。一般情况下,所给的物理问题是用文字语言来描述的,我们为解决问题,不妨可先把文字语言翻译成物理语言,即用简洁明快的但又不是非常精确的图形(简称草图),诸如受力分析图、运动过程图等来描述,这样可使问题变得更为简便,能较快地寻找出物理量间的关系,从而建立方程求解问题。

例3 学校开运动会,在给参加百米跑的运动员计时的时候,某计时员听到发令枪声后才开始计时,当第一名运动员跑到终点时,这位计时员停止计时,表上的显示为12 4s,这样的计时对吗?如不对,应如何计时?按你的计时方法,这名运动员的百米成绩应是多少?已知百米跑道为直

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线,发令员与计时员分别在跑道的起点与终点,声速为340m/s。

析与解 此题是一道与学生生活紧密联系的题目,有些学生虽有生活经验,可以再现运动会时百米跑的情景,但还是无法处理声音的传播时间。如果采用数形结合的方法,首先根据题意作出如图4所示的草图,

情况就不一样了。

l1+l2=4 可以得出这样7组解:

l1=2 ,l2=2 ;l1= ,l2=3 ;l1= ,l2= ;l1=2 ,l2=2 ;l1= ,l2=222 ;l1=3 ,l2= ;l1= ,l2= ,所以222共有7个振动加强区。

作图操作:用两组同心圆分别表示从波源S1、S2发出的两列

图中AB是百米跑道,运动员和发令员在A端(忽略运动员的反应时间),可以认为运动员的起跑和发令员的枪声是同时的,由于声音传播速度快,先到达终点B,此时运动员已跑到C处(这

SAB

段时间t声== 0 3s)。这时计时员才

v声340

开始计时,实际纪录的时间是动员在CB上所用的时间。这样,学生就清楚了,这位计时员的计时是不对的。这名运动员的百米成绩应是t成=t记+t声=12 7s。由于声音的传播速度较慢,计时员计时不能听到发令枪声后才开始计时,正确的计时是计时员看到发令枪上冒出的烟就立即计时,因为光的传播速度很大,光从A处传到B处所需时间很短,可以忽略。

2 2 代数运算,图形解决

有些物理问题,用代数运算比较繁杂,如果将代数运算转化成图形,利用图形来求解问题,会使问题的解决取得事半功倍的效果。

例4 如果有两个频率相同、相差! =0的波源S1、S2,相距为四个波长,试问在S1、S2之间有几个振动加强区?

析与解 此题我们既可以用代数运算,也可以用图形解决,现用两种方法运算如下

:

代数运算:当相干波源相差! =0时,若D点为振动加强

区,令S1波到D点的波程为l1、S2到D点波程为l2,如图5所示。它们的波程差#=l1-l2必须符合#=k 的条件,其中k=0,%1,%2,%3,&&

由于l1+l2=4 (已知条件),所以运用公式

#=k

波,实线圆弧表示波峰,虚线圆弧表示波谷,分别以波源为圆心,把波处于波峰时刻的波形图画出来,如图6所示。某一点如果是两列波的波峰相

遇(即图上的实线相切点),位移为正的最大值,这就是振动加强区;在另一点如果是两列波的波谷相遇(即图上的虚线相切点),位移为负的最大值,这一点也是振动加强区。由图上可见共有7个相切点,所以共有7个共振加强区。

这一方法也可用在例2中。例2要求出图中最低点P的坐标,其实除前面所叙解法之外,也可以变换一下思维方式,用图形进行解决:

观察(3)式v2+ gcos )s,由于0=2(gsin v0,g, 均为常量,所以该式是一个极径为s,极角为 的平面极坐标方程,现进行坐标变换

x=scos ,y=ssin 代入(3)式并整理,得2 gx+2gy-v20=0为

ax+by+c=0

(9)

这是一个标准的直线方程,可见,只要把(3)式当作极坐标方程处理,描出的图像即为一条直

线。

建立如图7所示的平面直角坐标系O-xy,在x轴上取OA=

s1=20m,在y轴上取OB=s2=15m,连接A、B,过原点O作OP垂直AB于P点,则OP与x轴的夹角 值和OP的长度s值,即为所求最低点

(7)(8)

再令a=2 g,b=2g,c=-v20,(8)式变

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数学思想与方法和物理内容统一的探讨

林慧芳

瑞安第五中学,浙江省瑞安市325207

从数学的角度研究物理问题,需要根据所研究对象的特点,运用数学思想与方法去描述、

计算和推导,从而对物理的问题作出分析、判断。在实际应用数学思想与方法描述、解决物理问题时应体现数学思想与方法和物理内容的统一。1 用数学思想与方法表述物理概念

概念是思维的基本单位,也是最基本的思维形式。物理概念不仅仅是实践发展的产物,同时也是抽象思维的结果。数学思想与方法的应用,给这一抽象、概括提供了最理想的工具。

在物理研究中,用数学思想与方法对各种物理概念进行数量方面的描述形成了各种物理量。物理量体现了质与量的统一。物理概念的建立,可以理解为对物理量的确切表述。例如:用数学的矢量法可以表示力的大小和方向;用数学的方程函数思想可以表示不同物理量之间的依赖关系;用数学的导数微元法可以表示各种物理量的变化率等等。

2 用数学思想与方法描述物理规律

数学思想与方法给物理规律的描述提供了最简洁、最准确的表达方式。如用方程函数思想描述物理规律有:自由落体运动的位移与速度的变化规律:S=gt2、v=gt,闭合电路中电流

2

,正弦交流电的变化规的变化规律:I=

R+r

律:i=Imsin&t,等等。又如:已知一物体作变速

直线运动,其速度u是时间的函数,求物体由时刻t=a到t=b这段时间内所经过的路程S。这

里可用分割、代替、求和、取极限的数学方法建立数学模型,把物理学上较为复杂的变速直线运动明确地表示出来。再如:在初速度为零的匀变速直线运动中,假设物体经过t秒通过的位移为S1,经过2t秒通过的位移为S2,经过3t秒通过的位移为S3&&,则根据初速度为零的匀变速直线运动的位移公式:S1=

2

at,S2=2

a(2t)2,S=a(3t)2&&,得到S S S

3123

22 &&=12 22 33 &&,即可得出结论:在初速度为零的匀变速直线运动中,物体所通过的位移与时间的平方成正比。这就告诉我们,运用数学思想与方法,通过计算可以揭示物理规律更深刻的内容。

3 用数学思想与方法求解物理问题时,数学解要反映物理解

数学解是运用数学思想与方法解决物理问题的数学结果,只有赋予它实际的 物理生命 ,使其符合实际的物理规律,才能正确地反映物理本质。因此运用数学思想与方法解决物理问题的最终结果,必须是数学解与物理解的统一。3 1 对数学解作出物理的解释

对数学解应当充分挖掘其内蕴的物理意义,并予以阐释,使之得到解题者的认同和接受。

P的坐标,解三角形得OP=s=12m, =53 ,故P点的坐标为(53 ,12m)。

综上所述,应用数形结合的思想解决物理问题,往往能将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而找到简捷明快的解题思路和方法。笔者对数形结合的思想在高中物理解题中的应用作了一点归类。尽管作了较大的努力,也肯定还没能很好地归纳和表述出数形结合的思想在高

中物理解题中的应用。因为物理学与数形结合的

思想是紧密联系在一起的,数与形不但可以用来描写物理概念、物理规律以及概念和规律之间的联系和变化,而且两种形式之间还可以相互补充、相互替代、相互转化,应用数形结合的思想解决物理问题,具有事半功倍之效。

(栏目编辑 陈 洁)

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