信号与系统习题及部分知识

学习内容及安排第一章 第二章 第三章 第四章 绪论(8学时) 连续时间系统的时域分析(6学时) 傅里叶变换(12学时) 连续时间系统的复频域分析 (10学时)

第五章第七章 第八章

傅里叶变换应用于通信系统 (6学时)离散时间系统的时域分析 (8学时) 离散时间系统的Z域分析 (10学时)

第十二章 系统的状态变量分析(4学时)信号分析；系统分析(分为连续系统和离散系统);

系统分析方法(三种重要分析域：时域，频域和复频域，Z域)

【例1】 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定 其周期。 (1)f (t) = sin2t + cos3t (2)f (t) = cos2t + sinπt解：两个周期信号x(t),y(t)的周期分别为T1和T2,若其 周期之比T1 /T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是 周期信号，且其周期为T1和T2的最小公倍数。 (1)sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1=2rad/s,T1= 2π/ω1=πs 。cos3t是周期信号，其角 频率和周期分别为ω2=3rad/s,T2= 2π/ω2= (2π/3) s 。 由于T1 /T2 = 3/2为有理数，故f (t)为周期信号，其周期 为T1和T2的最小公倍数2π。 (2)cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs,T2 = 2 s,由 于T1 /T2为无理数，故f (t)为非周期信号。

【例2】 判断正弦序列f(n) = sin(βn)是否为周期信 号，若是，确定其周期。解：f (n) = sin(β n) = sin(βn+2mπ) ,m=0,〒1,〒2,…

= sin[β(n+m2π/β)]式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上 式可见：仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/β。 当2π/β为有理数时，正弦序列仍具有周期性，但

其周期为N= m(2π/β),m取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。

【例3】判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。

(1)f1(n) = sin(3π n /4) + cos(0.5π n)(2)f2(n) = sin(2 n) 解 (1)sin(3π n /4) 和cos(0.5π n)的数字角频率分

别为β= 3π/4 rad、β= 0.5πrad。由于2π/β= 8/3、2π/β= 4为有理数，故它们的周期分别为N1= 8 ,

N2= 4,故f 1(n)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。 (2)sin(2 n) 的数字角频率为β=2rad;由于 2π/β=π为无理数，故f 2(n) = sin(2 n)为非周期序列。

【例】(平移与反转相结合)已知f(t),画出f(2-t)。

解：

平移

反转

注意：是对t的变换！

【例】(平移与反转相结合)已知f(t),画出f(2-t)。

解：

反转

平移

注意：是对t的变换！

【例】(平移、反转、尺度变换相结合)已 知f(t),求f(-2t-4)。解:方法一，先平移，再压缩，再反转。

【例】(平移、反转、尺度变换相结合)已 知f(t),求f(-2t-4)。解:方法二，先压缩，再平移，再反转。

【例】

注意：三种运算的次序可任意，但一定要注意始终对时间t进行。

【

例】已知f(t),画出g(t) =f ’(t)和g(2t)。

τ=2存在阶跃，但无冲击。

(4)

课堂练习题计算下列各题。(1) 4t 2 (2t 4)

(4t 2 )(0.5) (t 2) 4(2) 2 (0.5) (t 2) 8 (t 2)

(2)

0

4t 2 (t 1)dt

0 因为 (t+1)位于积分范围之外。

(3)

2 2

[(t 3) (2t 2) 8 cos( t ) (t 0.5)]dt

(2t 2) 0.5 (t 1), (t 3) (2t 2) 2 (t 1)原式 2 [8 cos( t )] 0.5 2 8 sin 0.5 2 8 t

课堂练习题画出下列信号的波形。(1)

t u (2t 1)

t u(2t 1)

1 2

1 2

t

(2)

sin (t 1)[u(2 t ) u( t )]

0

1

2

t

【例】用积分器画出如下微分方程所代表的系统 的系统框图。

d 2 r(t) dr(t) de(t) a1 a0 r(t) b1 b0e(t) 2 dt dt dt(1)引入辅助函数 q (t ) ,使其满足：

右边含 输入函数 导数

q (t ) a1q (t ) a0 q(t ) e(t )(2)将上式代入原方程右端，整理得：

r ' ' (t ) a1r ' (t ) a0 r (t ) [b1q' (t ) b0 q(t )]' ' a1[b1q' (t ) b0 q(t )]' a0 [b1q' (t ) b0 q(t )]

r ' ' (t ) a1r ' (t ) a0 r (t ) [b1q' (t ) b0 q(t )]'' a1[b1q' (t ) b0 q(t )]' a0 [b1q' (t ) b0 q(t )]

r (t ) b1q' (t ) b0 q(t )q (t ) a1q (t ) a0 q(t ) e(t )b1

右边只含 激励

e(t )

q (t )+

-a1 -a0

q (t )

q (t ) q(t)

b0+

r(t) r (t )

【例】画出模拟差分方程所描述的离散系统。

y k a1 y k 1 a0 y k 2 b1 f k b0 f k 1 解：

y k a1 y k 1 a0 y k 2 b1 f k b0 f k 1 y(k )f(k) f ( k-1 )

D

b0 b1

y ( k 1)

Da1 a0

D

y ( k 2)

【例1】判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?

d r (t ) 10r ( t ) 5 e( t ) t 0 dt分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明： 系统不满足均匀性 系统不具有叠加性 所以此系统为非线性系统。

证明均匀性设信号e(t)作用于系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则d Ar( t ) 10 Ar( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 (1)

原方程两端乘A: d r (t ) A 10r ( t ) 5 Ae( t ) dt t 0 ( 2)

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性

证明叠加性假设有两个输入信号 e1 (t )及e2 (t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：d r1 t 10r1 t 5 e1 t dt d r2 t 10r2 t 5 e2 t dt t 0 t 0 ( 3) ( 4)

e 当 1 (t ) e2 (t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性 系统，应有 d r1 t r2 t 10 r1 t r2 t

5 e1 t e2 t t 0 (5) dt (3)+(4)得d r1 t r2 t 10 r1 t r2 t 10 e1 t e2 t dt t 0 ( 6)

(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性

【例2】判断下列两个系统是否为非时变系统。系统1: 系统2:

r t cos e t

t 0

r t e t cos t

t 0

1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。(1)e( t ) e( t t 0 ) r11 ( t ) cos e( t t 0 ) t 0 时 移t 0 经过系统

( 2)e( t ) 经 过 统 cos e( t ) 时 移t0 r12 ( t ) cos e( t t 0 ) t 0 系

r11 t r12 t

所以此系统为时不变系统。

系统2:r t e t cos t时 移0 t

t 0

系统作用:输入信号乘cost

(1)e( t ) e( t t 0 )

r21 ( t ) e(t t 0 ) cos t 经过系统

t 0

( 2)e( t ) e( t ) cos t 经过系统

t 0 r ( t ) e( t t ) cos(t t ) 22 0 0

时移

t 0

r21 ( t ) r22 ( t )

此系统为时变系统。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k1a1.html