第十二章轴对称12.1及 12.2

第十二章 轴对称

12．1 轴对称(1)

教学目标

1.通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴． 2.了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别． 3.经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．4.体验数学与生活的联系、发展审美观． 教学重点：轴对称的有关概念；

教学难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别． 教学准备 教师：收集有关轴对称的素材(包括图形、实物、图片等)．

学生：准备复写纸；收集有关窗花的素材，并要求进行剪纸----双喜字或其他窗花． 教学设计

作品展示，交流体会

1．作品展示：让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)； 2．小组活动： (1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?为什么要这样?

(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?

概念形成

(一)轴对称图形

1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．

2．结合教科书第118页图14.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置． 3．学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子． 4．概念应用：(1)教科书第119页练习；

(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形?并简要说明理由．

(二)两个图形关于某条直线对称对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：先观察图形，再进行画图．其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义，比较合理．

1．观察教科书第119页中的图14.1-3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点?

2．操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系?

3．两个图形成轴对称的定义．如下图，图形F与图形F'就是关于直线l对称，点A与点A'是对称的．

4．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?

5．练习：教科书第120页． 辨析概念

分组讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别． 讨论后可列表比较如下： 区别 轴对称图形 一个图形 两个图形成轴对称 两个图形 联系 1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合(即直线两旁的两部分全等) 2．都有对称轴(至少一条) 3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形 实践和应用

1．下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?

奔驰 宝马 大众 奥迪 3．下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴．

归纳小结 通过本节课的学习，你有什么收获?

布置作业 教科书第125页第1、2题，第126页第6题．

课后反思: 1．本课努力体现数学与生活的联系，让学生能感受到数学就在我们身边．同时，学生在这

些图案的认识过程中学习新知，应用新知，激发他们学习数学的兴趣．

2．处理好概念教学与能力培养的关系．本课先让学生收集图案，然后在学生有了感性认识的基础上提出有关的概念，再让学生把概念运用到实际问题情景中，这样的设计过程有利于学生对数学概念的真正理解，也有利于学生学习能力的提高．

12.1 轴对称(2)

教学目标 ①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质． ②探索并理解线段垂直平分线的

两个性质． ③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法． ④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．

教学重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．

教学难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述． 教学准备 木棒、橡皮筋 教学设计

提出问题

1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．

2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称)

3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?

实验探究 1．折一折．

要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A'关于直线MN对称．连结点A，A'，交直线MN于点P．

图3

2．说一说．

观察图形，线段AA'与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗?

类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?

注：在这个基础上，教师给出垂直平分线的概念，然后把上述规律概括成图形轴对称的性质(教科书第121页)

3．想一想．

上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? (结合教科书第121页的图14.1-5让学生说明)

从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线． 合作探究

探究一：教科书第121页的“探究”． 学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究．任意画一条线段AB，再画出它的垂直平分线MN，在MN上任意取点P1，P2，P3(如图4)，分别量一量点P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现?你能说明理由吗?请与同伴交流．

处理方式：要求学生在独立尝试、独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报．学生可以量一量、折一折，也可以运用第十三章的知识证明三角形全等． 图4

在学生充分讨论的基础上归纳出：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

想一想：如图5，我们在教科书第99页的练习1中,应用三角形全等的知识说明了CB=CB，你能运用今天所学的知识给出解释吗?

问题：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?

图6

图5

探究二：如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB有怎样的位置关系? 从而得出：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 归纳结论：见教科书第122页的最后一段话． 3．练习：教科书第123页．

小结提高 1．本节课你学到了什么? 2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在

解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系

作业布置：教科书第125页第3题，第126页第5、9题．

课后反思: “实践探究、合作探究、折一折、说一说、想一想”，充分体现了新课程所倡导的理念，此

外本课非常注意知识的前后联系．如在复习轴对称概念的基础上探究轴对称的性质，轴对称的性质

与全等三角形联系，用本课的知识去解释前面的问题等等． 同时还注重知识的应用，因此，学生学起来兴致很高。

12.1 轴对称(3)

教学目标 ①了解线段垂直平分线的画法． ②会画两个成轴对称的图形(或一个轴对称图形)的对称

轴． ③通过画图和欣赏，陶冶学生的审美情操． 教学重点：画图形的对称轴． 教学难点：对对称轴画法的理解． 教学设计

提出问题

问题1：如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证? 问题2：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴? 学习新知

我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了．如何画一条线段的垂直平分线呢?

例1(补充)已知线段AB(如图1)，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．

图1

可按如下的步骤进行：

(1)教师启发：根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可． (2)作图示范．写出作法，根据作法一步一步地作出图形． (3)解后反思：①在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?

②如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点；

③你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗? 解决问题：

练习：教科书第123页中的例题．

图2 例2(补充)如图3，△ABC和△A'B'C'是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．

实践和应用

1．练习：教科书第124页．

师生小结 1．线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．

作业布置 教科书第125页第4题，第126页第7、8题；

课后反思： “问题是数学的心脏”．数学教学离不开问题的教学，在本课中始终围绕着问题展开．首先提出问题，引起学生的思考，然后从简单的问题着手进行探讨．在这个过程中，有教师的启发引导，有学生的独立思考，有解题后的反思，有问题的发散性，有解决问题方法的运用等，最后达到解决问题、提高学生解决问题能力的目的。 12.2.1

用坐标表示轴对称

教学目标 ①能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点． ②能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，

表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标．③在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法．④在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习的乐趣．

教学重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标． 教学难点：找对称点的坐标之间的关系、规律．

教学准备 画有网格的平面直角坐标系图的练习纸． 教学设计

创设情境,引入新课

引言：同学们，我们的首都北京是大家都向往的地方，你们去过北京吗?让我们一起去北京逛一逛，好吗?(多媒体放映北京城，抽象出形象地图)引出问题：

老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗?

用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，如工程建设的绘图等．

这节课我们就来学习用点表示轴对称．引入课题：用坐标表示轴对称． 合作探究,探索新知

(1)在直角坐标系中画出下列已知点．

A(2,-3)；B(-1，2)；C(-6，-5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，-3)． (2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点．并填写表格．

(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗? (4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性说说你是如何检验的．

利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形．

分享成果，巩固新知 看谁脑子转得快! (1、2抢答)：

1．说出下列各点关于X轴、y轴对称的点的坐标： (-2，6)，(1，-2)，(-1，3)，(-4，-2)，(1，0)

2．如下图，△ABC关于X轴对称，点A的坐标为(1，-2)，说出点B的坐标．

3．如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)、B(-2，1)、C(-2，5)、D(-5，4)，分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形．

变式探究,提升思维

1．分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形． 2．你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?

3．如果作关于直线x=3(记为m)和直线y=-4(记为n)对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

巩固练习：

如下图.1．请你画出下图关于y轴对称的图形，猜猜是什么图案?并说出一些对应点的坐标． 2．再画出此图案关于直线x=-2对称的图形．说出各点的坐标．

总结归纳

1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。

2．点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

布置作业: 教科书135页练习题第3题，习题14.2第2、4、6题．

课后反思：本节课的引入，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．本堂课采用探究、

发现式教学法，通过寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力．最后一个练习中的图案设计，能较好地激发学生的学习兴趣，符合八年级学生的心理特征，也是本节课所学内容的一个较好运用．

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