2010高考数学一轮复习讲义—1.集合

2009~2010学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料

第1讲 集 合

一．【课标要求】

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 二．【命题走向】

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题或1个填空题；

（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．【要点精讲】

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a?A；若b不是集合A的元素，记作b?A；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

①确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

②互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

③无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同与元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

②描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N；

*

正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A?B（或A?B）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B ?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；

（2）简单性质：1）A?A；2）??A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，A?S，则，CSA={x|x?S且x?A}称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）CS(CSA)=A；2）CSS=?，CS?=S。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集A?B?{x|x?A且x?B}。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集A?B?{x|x?A或x?B}

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

（1）A?A?A,A????,A?B?B?A; （2）A???A,A?B?B?A; （3）(A?B)?(A?B);

（4）A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；

（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。 四．【典例解析】 题型1：集合的概念

例1. (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ __ 答案：12

解析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15?x)人，只喜爱乒乓球的有

(10?x)人，由此可得(15?x)?(10?x)?x?8?30，解得x?3，所以15?x?12，

即所求人数为12人。

例2．（2009广东卷理）已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和

N?{xx?2k?1,k?1,2,?}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示

的集合的元素共有

( )

A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案：B

解析：由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??1,3?，有2个，选B.

题型2：集合的性质

2例3．(2009山东卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值

??为 A.0 B.1 C.2 D.4 答案：D

2 ( )

?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,故选D.

?a?4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

例4．已知全集S?{1,3,x?x?2x}，A={1,2x?1} 如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由 解：∵CSA?{0}；

∴0?S且0?A，即x?x?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2 当x?0时，2x?1?1，为A中元素； 当x??1时，2x?1?3?S 当x?2时，2x?1?3?S

∴这样的实数x存在，是x??1或x?2。 另法：∵CSA?{0} ∴0?S且0?A，3?A ∴x?x?2x＝0且2x?1?3

∴x??1或x?2。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x?0时，不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA?{0}是两层含2x?1?1”义：0?S且0?A。

323232

变式题：已知集合A?{m,m?d,m?2d},B?{m,mq,mq2}，其中m?0,且A?B,求q的值。

解：由A?B可知，

?m?d?mq?m?d?mq2（1）?，或（2）? 2?m?2d?mq?m?2d?mq解（1）得q?1， 解（2）得q?1,或q??1， 2又因为当q?1时，m?mq?mq2与题意不符， 所以，q??

题型3：集合的运算

例5．(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数f(x)?数g(x)?lg[x2?(2a?1)x?a2?a]的定义域集合是B （1）求集合A、B

（2）若A?B=B,求实数a的取值范围． 解：（1）A＝x|x??1或x?2 B＝x|x?a或x?a?1

1。 2x?1的定义域集合是A,函 x?2????（2）由A?B＝B得A

a??1?B，因此???a?1?2

所以?1?a?1,所以实数a的取值范围是??1,1?

例6.（2009宁夏海南卷理）已知集合A?1,3,5,7,9?,B??0,3,6,9,12?,则

?AICNB?( )

C?{(x,y)|y?kx?b},问是否存在自然数k,b,使(A?B)?C?试证明你的结论.分析：正确理解(A?B)?C?,

,并转化为具体的数学问题.

,必须A?C?且B?C?,

要使(A?B)?C?(A?C)?(B?C)??y2?x?1由??k2x2?(2kb?1)x?b2?1?0, ?y?kx?b当k=0时，方程有解x?b?1,不合题意；

24k2?1当k?0时由?1?(2kb?1)?4k(b?1)?0得b?①

4k222?4x2?2x?2y?5?0又由??4x2?2(1?k)x?5?2b?0,

?y?kx?b20?(k?1)2由?2?4(1?k)?16(5?2b)?0得b?②，

82由①、②得b?k?120?1,而b?, 4k8∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型5：课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

解：设集合A={甲站在最左端的位置}， B={甲站在最右端的位置}， C={乙站在正中间的位置}， D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示， ∴不同的排法有A7?4A6?4A5?2640种.

765

点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应

用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意都有?(2x)?(1,2) ； ②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，x?[1,2]，

都有|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|

（1）设?(x)?31?x,x?[2,4]，证明：?(x)?A

（2）设?(x)?A,如果存在x0?(1,2),使得x0??(2x0),那么这样的x0是唯一的; （3）设?(x)?A,任取xl?(1,2),令xn?1??(2xn),n?1,2,???,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xk?l解：

对任意x?[1,2],?(2x)?31?2x,x?[1,2],33??(2x)?35,1?33?35?2,所以?(2x)?(1,2) 对任意的x1,x2?[1,2]，

Lk?1?xk|?|x2?x1|H。

1?L|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|3?

323?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2，

?1?2x1?23?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，

3? 所以0<

2?1?2x1?22?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?22?2, 3令

3?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?=L，

0?L?1，|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|

所以?(x)?A

??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0),x0???(2x0?)。 反证法：设存在两个x0,x0则由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|，

得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。

////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1，

所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1

Lk?1|xk?p?xk|??xk?p?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1|

1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk

?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1+?Lk?1x2?x1

LK?1?x2?x1。 1?L点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖

五．【思维总结】

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如?、

?、?、、=、CSA、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2－1, 所有非空真子集的个数是2?2

④区分集合中元素的形式： 如A?{x|y?x2?2x?1}； B?{y|y?x2?2x?1}；

nnnC?{(x,y)|y?x2?2x?1}；

D?{x|x?x2?2x?1}；

E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

F?{(x,y')|y?x2?2x?1}；

y

G?{z|y?x2?2x?1,z?}x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系。空集

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。

⑥符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k0x2.html