浅谈中学数学的一题多解与一题多变

中学数学解题研究 一题多解 一题多变

浅谈中学数学的一题多解与一题多变

学生姓名：学生学号：院系班级：指导老师：

Q Q Q xxxxxxxxxxx

10级数学与应用数学（2）班 Q Q

中学数学解题研究 一题多解 一题多变

浅谈中学数学的一题多解与一题多变

摘要:一题多解与一题多变是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法,

它对沟通不同知识间的联系,开拓思路,培养发散思维能力,激发学生的学习兴趣都十分有益。在教学中，恰当而又适量地采用一题多解和一题多变的方法,进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”,能“以少胜多”地巩固基础知识,提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧。

正文：对于所有中学生来说，要学好数学这门学科，却不是一件容易的事。

大多数中学生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于中考和高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做题肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义，推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就几道典型的一题多解与一题多变问题在教学中的运用谈谈我个人的几点看法，借以使学子们初步认识一题多解与一题多变问题，领略一题多解与一题多变问题的魅力，激发起学习兴趣，活化其解题思想。

一题多解

1、解不等式3 2x-3 5

解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解

（1）当2x-3 0时，不等式可化为3 2x-3 5 3 x 4 （2）当2x-3 0时，不等式可化为3 -2x 3 5 -1 x 0 综上：解集为x3 x 4或-1 x 0 解法二：转化为不等式组求解

原不等式等价于

2x-3 3且2x-3 5 3 x 4或1 x 0

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综上：解集为x3 x 4或-1 x 0

解法三：利用等价命题法 原不等式等价于

3 2x-3 5或-5 2x-3 -3，即3 x 4或-1 x 0 解集为x3 x 4或-1 x 0 解法四：利用绝对值的集合意义 原不等式可化为

33335

x- ，不等式的几何意义时数轴上的点x到的距离大于，

22222

5

且小于2，由图得， 解集为

x3 x 4或-1 x 0

解法分析：本题利用了定义法、等价转化及数形结合等常用解题方法。

1

2、求函数f(x) x (x 0)的值域

x

解法一：判别式法

1

设y x ，则x2-yx 1 0，由Δ y2-4 0 y 2

x 当y 2时，x2-2x 1 0 x 1， 因此当x 1时，

1

(x 0)有最小值2，即值域为 2, x

解法二：单调性法

1

先判断函数f(x) x (x 0)的单调性

x

f(x) x

任取0 x1 x2，则f(x1)-f(x2)

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

当0 x1 x2 2时，即f(x1) f(x2)，此时f(x)在(0,1]上时减函数 当2 x1 x2时，f(x1) f(x2)f(x)在 2, 上是增函数

上是增函数，知 由f(x)在 0,1 上是减函数，f(x)在 1, ∞

x 1时，f(x)有最小值2，即值域为 2,

解法三：配方法 f(x) x

1112

(x-) 2，当x- 0时，x 1，此时

xxx

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f(x)有最小值2，即值域为 2,

解法四：基本不等式法

f(x) x

111

(x)2 ()2 2x 2 xxx

f(x)有最小值2，即值域为 2,

解法分析：本题利用了函数的性质，一元一次方程解的判断和已知不等式转化成等价问题。 3、已知函数f（x） 2

2x ax

， ，f（x）＞0 恒x 1， 若对任意x 1

成立，试求实数a的取值范围。 解法一：在区间 1， 上，f（x）成立，设y 当且仅当y

x 解法二：f（x）

a

2，x 1， 当a 0的值恒为正,当a<0时,函数x

2

2x ax

0恒成立

x

2

2x a 0恒

x

2

2x a在 1， 递增 ，∴当x=1时y

min

3 a，于是

min

3 a 0时，函数恒成立，故 a>—3。

f（x）为增函数故当x=1时a>—3。

f（x） 3 a于是当且仅当3+a>)时恒成立, 故

min

解法三：在区间 1， 上f（x）

2

2

2x ax

2

恒成立

x

2

2x a 0恒成立

时的最大值—3， a —x—2x恒成立，故a应大于u —x—2x，x 1，

a —

x 1 1 当x=1时，取得最大值 —3 a —3。

2

解法分析：巧妙利用分析法和综合法解决问题。

4、已知sn是等比数列的前n想项和，s3,s6,s9成等差数列，求证：a2,a5,a8成等差数列

a1(1一qn)解法一：用公式sn ，

1一q

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因为s3,s6,s9成等差数列，所以s3 s6 2s9且q 1则

a1(1一q3)a1(1一q6)2a1(1一q9)

q3 q6 2q9(q≠1) 1 q3 2q6

1一q1一q1一q所以a2 a5 a1q a1q4 a1q(2q6) 2a1q7 2a8 所以 a2,a5,a8成等差数列｀ 解法二：用公式sn

a1一anq

，1一q

s3 s6 2s9,∴

a1一a3qa1一a6q2(a1一a9q)

1一q1一q1一q

则a3 a6 2a9 a2q a5q 2a8q a2 a5 2a8，所以 a2,a5,a8成等差数列｀

解法三：（用公式s2n sn(1 qn),s3n sn(1 qn q2n)） s6 s3 a4 a5 a6 s3 (a1 a2 a3)q3 (1 q3)s3

s9 s3(1 q3 q6) s3 s6 2s9 s3 s3(1 q3) 2s3(1 q3 q6) 1

解得q3 一（下略）

2

解法分析：数列相关性质及公式的灵活使用

5、设a lga 10 ，b 10b 10，求a b的值。 解法一（构造函数）：设f(x) x lgx，

则f(a) 10 b 10b lg10b 10b f(10b)，由于f(x)在(0, )上是 单调递增函数，所以a 10b，故a b 10b b 10。 解法二（图象法）

因为a是方程x lgx 10的一个根，也就是方程lgx 10-x的一个根 是方程x 10x 10的一个根，也就是方程10x 10-x的一个根 令g(x) lgx，h(x) 10x， (x) 10-x，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：

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a是方程g(x) (x)的根，即图中OA=a

b是方程h(x) (x)的根，即图中OB=b

易得OA+OB=10，所以a b 10

解法三：方程x lgx 10，x 10x 10的根为a，b由x 10x 10，得

10x 10-x， x lg(10-x)，又x lgx 10 lg(10-x) lgx 10，

即x(10-x) 1010，即x2-10x 1010 0

x1 x2 10 (虚根 0)

解法分析：本题利用了函数法、图像法和方程法等方法。

上面为大家展示了若干个问题转换方法，另外还有许多其他方法，此处不一一列举，教师在教学的过程中及学生在学习的过程中应慢慢渗透、掌握和熟练运用这些方法，一达到较佳的教学效果和学习效率。

一题多变

1、原题：f(x) mx2 8x 4 的定义域为R，求m的取值范围 解：由题意mx2 8x 4 0在R上恒成立

m 0且Δ 0，得m 4

变1：f(x) log3mx2 8x 4的定义域为R，求m的取值范围

2

解：由题意mx+8x+4>0在R上恒成立

m 0且Δ<0，得m>4

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变2：f(x) log3(mx2 8x 4)的值域为R，求m的取值范围 解：令t mx2 8x 4，则要求t能取到所有大于0的实数，

当m 0时，t能取到所有大于0的实数 当m 0时，m 0且Δ 0 0 m≤4 0 m 4

mx2 8x n

变3：f(x) log3的定义域为R,值域为 0,2 ，求m,n的值

x2 1mx2 8x n2

∈1,9解：由题意，令y ，得（y-m）x-8x y-n 0 2

x 1

y m时，Δ 0 y2-(m n)y mn-16 0- 1和9时y2-(m n)y mn-16 0的两个根

m n 5

当y m时，x n-m 0 x R，也符合题意

8

m n 5

1

2、原题：:若f() x x2(x 0),则f(x)

x

分析:用倒数换元

11

解: 令t 则x , 所以

xt

11

f(t) ()2(t 0)

tt

将t换成x得到:

f(t)

11

()2(x 0) xx

1

变题1：设f(x)满足关系式f(x) 2f() 3x,求f(x)的解析式

x

11

解：t 则x

xt

11f() 2f(t) 3 tt将t换成x得到: 11f() 2f(x) 3 xx

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1

与原式联立方程组消去f()得到

x

2

f(x) x(x 0)

x

变题2：已知(x) f( x) bx，其中a2 1试求f(x)的解析式 解：用相反数换元 令t x,x t代入到原式当中得到： af( t) f(t) bt 将t换成x得到:

af( x) f(x) bx

与原式联立方程组，得到：

(a2 1)f(x) b(a 1)x

a2 1

∴

f(x)

b(a 1)b

x x2

(a 1)a 1

22

变题3：已知af(4x 3) bf(3 4x) 2x,a b，试求f(x)的解析式

解：令4x 3 t，则2x

af(t) bf( t)

t 3

2

∴

t 3

2 1

将 1 中t换－t得到:

af( t) bf(t)

t 3

2

与(1)联立方程组得到：

(a2 b2)f(t) a2 b2

a b3

t (a b)22

f(t)

13t

2(a b)2(a b) 13

x

2(a b)2(a b)

f(x)

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nn2

af(x) f( x) bx，其中a 1,n为奇数，变题4：已知求f(x)

解：设xn t,x 代入原式得：

af(t) f( t) 将t换成—t得到:

af(—t) f(t) —b 与上式联立方程组得到

(a2—1)f(t) b(a 1)

a2 1

∴

f(x)

f(x)

∴ f

(x)的解析式为：

3、原题：已知f(x)对于任意实数x.y满足f(x y) f(x) f(y)，当x 0时，

f(x) 0

求证f(x) -f(-x)

判断f(x)的单调性

证明 （1）令x y 0,得f(0) f(0) f(0) ∴ f(0) 0

令x -y，得f(0) f(x) f(-x) 0

∴ f(x) -f(-x)

（2）设x1 x2，则

f(x2) f[x1 (x2-x1)] f(x1) f(x2-x1) f(x1) ∴ f(x)在R上是单调函数

x

变题 1. 已知函数是定义R在上的增函数，且满足f() f(x)-f(y)

y

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求f(1)的值

1

若f(6) 1,解不等式f(x 5)-f() 2

x

解 （1） 令x y 1，得 f(1) f(1)-f(1)

∴ f(1) 0-

x

在f() f(x)-f(y)中，令x=1,y=6得

y1

f() -f(6) -1 6

1

从而f(36) f(6)-f() 2

6

又原不等式可化为

f[x(x 5)] f(36)， 且f(x)是(0, )上的增函数，

∴ 原不等式等价于

x(x 5) 36

∴ -9 x 4

又 x 0 x 5 0 解得 0 x 4

∴ 原不

0，4）

1

0恒成立，求a的取值范围 2

1

解：1、当a 0 时 0

2

2、 a 0

0 a 2

1

a2-4a ≤0

2

4、原题：ax2-ax

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∴0 a 2

变式1：已知函数g x ax2 ax 围。

解：由题意得ax2-ax ∴1、当a 0 时

1

0恒成立， 2

1

的定义域为R，求实数a的取值范2

1

0 2

2、 a 0

0 a 2

1

a2-4a 0

2

∴0 a 2

变式2、函数g x ax2 ax

解：由题意得ax2-ax

∴1、当a 0 时

1

0 2

1

0恒成立， 2

1

的定义域为R的充要条件是什么 2

2、 a 0

0 a 2

1

a2-4a ≤0

2

∴0≤a≤2

变式3、y

1ax2 ax

12

的定义域为R，求实数a的取值范围。

解：由题意得ax2-ax

∴1、当a 0 时

1

0 2

1

0恒成立， 2

2、 a 0

0 a 2

1

a2-4a <0

2

∴0 a 2

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变式4、y

11

ax2 ax

2

的定义域为R，求实数a的取值范围。

11

0无解即 0,a2-4a 0 0 a 2 22

解：由题意得ax2-ax

或a 0

∴0 a 2

1

变式5、y=log2(ax2-ax+)的定义域为R，求a的取值范围

21

解：由题意得ax2-ax 0恒成立，

21

∴1、当a 0 时 0

2

2、 a 0

0 a 2

1

a2-4a <0

2

∴0 a 2

总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。一题多解与一题多变是发散思维在数学上的具体体现，应该说，通过一题多解与一题多变的训练，学生的解决问题上的能力会进一步提高和优化，但一题多解的最终目的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解决，而是要寻找一种最佳、最近的途径，也就是说，掌握一题多解的最终目的是为了一题一解。因此，教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题，更要善于帮助他们总结归纳问题，使其认知水平有所提高。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/k0pi.html