概率统计习题

第一章 随机事件与概率

例题精选

1．已知Ｕ为必然事件，Ｖ为不可能事件，则Ｐ（Ｕ）＝1，Ｐ（Ｖ）＝0 2．已知事件Ａ的概率Ｐ（Ａ）＝0.6，Ｕ为必然事件，则 Ｐ（Ａ＋Ｕ）＝1，Ｐ（ＡＵ）＝0.6

3.设Ａ、Ｂ、Ｃ是三个事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ表示出来. （1）{Ａ发生而Ｂ、Ｃ都不发生}＝ABC （2）{Ａ、Ｂ都发生，而Ｃ不发生}＝ABC （3）{Ａ、Ｂ、Ｃ都发生}＝ABC

（4）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个发生}＝A+B+C

（5）{Ａ、Ｂ、Ｃ中恰好一个发生}＝ABC?ABC?ABC （6）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个不发生}＝A?B?C

4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球（2个红球，3个白球，4个黑球），每次摸取1个，有放回地取两次，求取得的球中无红或无黑球的概率.

解： 设A={无红}，B={无黑}，C={全白}，则 C=AB 故P(无红或无黑球)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

725232 =2+2-2

999 =

65 815 某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件，如果10件中有3件次品，求

（1）第一次检得次品的概率

（2）第一次检得次品后，第二次检得次品的概率 （3）两次都检得次品的概率

解：设A={第一次检得次品}，B={第二次检得次品}，得

(1)P(A)=3/10 (2)P(B|A)=2/9 (3)P(AB)=P(A) P(B|A)=

321 ??109153?21? 或按古典概型计算，P(AB)=

10?915

6.甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率

解：设A={甲击中敌机}，B={乙击中敌机 }，C={敌机被击中}，则 C=A+B，且A与B独立。故

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6＋0.5-0.6?0.5 =0.8

练习选解

练习1-2

1.在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个，取得的两数之和为偶数的概率是多

少？

解：设A={取得的两数之和为偶数}，则

2C32?C2 P(A)==4/10=0.4 2C5

2.将一均匀硬币抛投两次，求下列事件的概率 （1）出现两次正面 （2）恰好出现一次正面

（3）至少出现一次正面

解：设A={出现两次正面}，B={恰好出现一次正面}，C={至少出现一次正面}，则

1＝1/4 222 P(B)＝2＝1/2

2 P(A)＝

P(C)=P(A)+P(B)=3/4

3.袋中有大小相等、质量相同的球（3个蓝色球和5个红色球），从中任取2个球，问取出的2个球都是红色的概率是多少？

解：设A={取出的2个球都是红色}，则

C52 P(A)=2=5/14≈0.357

C8

4.65件产品，有正品60件，次品5件。求

（1）从中任取一件而取得正品的概率？

（2）任取二件都取到正品的概率？

（3）任取两件取到一件正品、一件次品的概率？

解：设A={任取一件而取得正品}，B={任取二件都取到正品 }，C={取到一件正品、一件次品}，则

1C60 P(A)＝1＝12/13≈0.9231

C652C60 P(B)＝2＝177/208≈0.8510

C6511C60C5 P(C)=＝15/104≈0.1442 2C65

练习1-3

2.若某地区人群中患结核病的概率为0.006，患沙眼病的概率为0.04，兼患此两种病的概率为0.001，问该地区人群中至少患有一种病的概率。

解：设A={患结核病}，B={患沙眼病}，则A与B独立。 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.006＋0.04-0.001 =0.045

3.某机械零件的加工由两道工序组成。第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为0.02,假定两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。

解：设A={第一道工序生产的废品}，B={第二道工序生产的废品}，C={合格的产品}，则

解法1： P(C)=P(AB)=P(A?B)=1-P(A+B)

=1-[P(A)+P(B)-P(AB)] =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

=1-0.015-0.02+0.015?0.02 =0.9653 =96.53%

解法2： P(C)=P(AB)=P(A)P(B)

=[1-P(A)][1-P(B)] =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

=1-0.015-0.02+0.015?0.02 =0.9653 =96.53%

4.某医疗器械厂的全部产品中有废品3%，在合格品中有80%是一级品。求从产品中任取出一产品恰是一级品的概率。

解：设A={合格品}，B={一级品}，显然，A包含B，得P(A)=1-3%=97%, P(B|A)=80%

∴P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%?80%=0.776

5.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，从中每次任取一个，连取二次（无放回的抽取），求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。

解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}

233∴P(AB)=P(A)P(B|A)=??

5410

6.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，第一次取出一球，取后放回，第二次再取一球，求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。

解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}

236∴P(AB)=P(A)P(B)=??

5525 练习1-3

1. 假定患有肺结核的人，通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%。而未患肺结核的人，通过透视被误诊为肺结核的概率为0.20%。设某地居民患肺结核的概率为0.1%，若从中随机抽出1人，通过透视被诊断为肺结核，问此人确实患有肺结核的概率是多少？

解：设A={诊断为肺结核}，B={患有肺结核}，由题意得：P(A|B)=95%,P(A|B)=0.20%,P(B)=0.1%,P(B)=99.9% 由逆概公式可知

P(B|A)＝

＝

P(B)P(A|B)

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.1%?95%

0.1%?95%?99.9%?0.20%＝32.225%

2. 10人抓阄，其中有两个是“有”，其余是无，试判定第一个抓阄者是否比第二个更合算。

解：设A={第一个抓阄者抓到“有”}，B={第二个抓阄者抓到“有”}， 依题意得：P(A)=2/10=1/5=0.2,根据全概率公式有

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P((B|A)

1142 =???

5959=0.2

由于P(A)=P(B),故先抓阄者与后抓阄者获得“有”的机会是相等的。

练习1-5

1. 用某药物治疗某种疾病，治愈的概率为P＝0.6,不愈的概率为q=1-P=0.4(这里我们观察的指标只定为治愈和不愈这两种)，而每次治疗的结果互不影响（即相互独立），现在用这种药物治疗4人，问下述事件的概率是多少？ （1）4人治愈 （2）4人都不愈

（3）4人中恰有1人治愈 （4）4人中至少有1人治愈 解：根据贝努里概型计算公式得：

4 P4(4)?C40.64=0.1296

0P4(0)?C4(0.6)0(0.4)4=0.0256 1P4(1)?C4(0.6)1(0.4)3=0.1536

P(4人中至少有1人治愈)=1?P4(0)=0.9744

2. 对某种新药进行研究，预计它对某种疾病的有效率为0.7,试问10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效的概率是多少？

解：P{10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效}

=P10(5)?P10(6)?P10(7)+P10(8)?P10(9)P10(10)

5678=C10(0.7)5(0.3)5?C10(0.7)6(0.3)4?C10(0.7)7(0.3)3?C10(0.7)8(0.3)2 910 ?C10(0.7)9(0.3)1?C10(0.7)10(0.3)0

=0.9527

3. 在一定的条件下，某种微生物菌落在培养基中出现的概率为0.8.现在保留相同条件下，分别在5个培养基中接种，求至少有4个培养基中出现菌落的概率？

解：P{至少有4个培养基中出现菌落}=P5(4)?P5(5)

45=C5(0.8)4(0.2)1?C5(0.8)5(0.2)0

=0.7373

习题一

1．10件产品中有3件次品，任取4件产品，求：（1）事件A=“恰有两件次品”（2）事件B＝“没有次品”；（3）事件C=“至少有一件次品”的概率

C32C72解： P(A)＝4＝3/10

C10C74 P(B)＝4＝1/6

C10 P(C)=1-P(B)=5/6

2 有20瓶“冬含补膏”，所装补膏的瓶中，有5只瓶口高低不平（属次品）。现

从中任取三瓶，求最多取到一瓶是次品的概率。

解：设Ai={取到i瓶是次品},i=0,1;A={最多取到一瓶是次品}，显然，

312C15C5CA=A0+A1,且P(A0)=3,P(A1)=315.

C20C20 ∴P(A)=P(A0)+P(A1)=49/57

4 某个人群中患沙眼病的概率为0.04，现抽查20人，求其中有二人患沙眼的概率。

解：已知P=0.04,n=20,k=2,根据贝努里概型计算公式得：

2P20(2)?C20(0.04)2(0.96)18=0.1462

6 今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只是新的，现从甲乙两盒中各任取一只。试求：（1）取到2只都是新球的概率；（2）取到2只都是旧球的概率（3）取到2球是一新一旧的概率。 解：设A={从甲盒中取得一新球}，B={从乙盒中取得一新球}，则

P(A)=7/10,P(B)=6/10,且A与B独立。 (1){取到2只都是新球}=AB,

∴P(AB)=

76??0.42 1010(2){取到2只都是旧球}=AB

∴P(AB)=(1?76)?(1?)?0.12 1010(3){取到2球是一新一旧}=AB+AB ∴P(AB+AB)=

7436?+??0.46 101010107 甲乙两生产队分别有小麦种子250kg和750kg,假如甲队小麦的发芽率为88%,乙队小麦的发芽率为92%。现两队将所有小麦种子混合播种。求种子发芽的概率。

解：设A={甲队小麦种子}，A={乙队小麦种子},B={种子发芽}，

则P(A)=250/(250+750)=25%,P(A)=750/(250+750)=75%, P(B|A)=88%，P((B|A)=92%。 根据全概率公式有

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P((B|A) =25%?88%+75%?92%

=91%

8 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，这里以事件A表示“被检查者患有肝癌”，以事件B表示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。已知真阳性率为P(B|A)=95%,真阴性率为P(B|A)=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为0.05%，现有一人被此检验法诊断为患肝癌，求此人真的患肝癌的概率P(A|B)

解：由题意得：P(A)=0.05%, P(B|A)=95%, P(B|A)=92%,则P(A)=1-0.05%=99.95%,P(B|A)=1-P(B|A)=1-92%=8% 由逆概公式可知

P(A|B)＝

＝

P(A)P(B|A)

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.05%?95%

0.05%?95%?99.95%?8%＝0.0059

0 于是，F(X)?

X?00?X?11?X?2X?2

1/153/51

5. 随机变量X1，X2…，Xn相互独立，并且服从同一分布，即E(Xi)=?，

1nD(Xi)=?，i=1，2,…，求这些随机变量的算术平均值X??Xi的数学期望

ni?12与方差。

n111n 解：E(X)=E(?Xi)=E(?Xi)＝

nnni?1i?11?n?＝? =E(X)?ini?1nn111n D(X)=D(?Xi)=2D(?Xi)＝2nnni?1i?11?22 D(Xi)=2?n???nni?1n6．随机变量X的分布率为

X pk 试求E(X)，D(X)

解法一：E(X)??xipi??2?0.4?0?0.3?2?0.3＝-0.2

D(X)=?[xi?E(X)]pi?[?2?(?0.2)]2?0.4?[0?(?0.2)]2?0.3

＋[2?(?0.2)]2?0.3

2 —2 0 2 0.4 0.3 0.3 ＝1.296＋0.012＋1.452 ＝2.76

解法二：∵E(X)??xipi??2?0.4?0?0.3?2?0.3＝-0.2 E(X2)??(xi)2pi?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3＝2.8

∴D(X)=E(X2)?[E(X)]2 =2.8-(-0.2)(-0.2) =2.76

7．设X~N(3,4)，试求P(2?X?5)；P(?4?X?10)；P(X>3)。

解：(1) P(2?X?5)=?(5?32?3)—?()=?(1)-?(?0.5) 22 =0.8413-0.3085=0.5328

(2) P(?4?X?10)=?(10?3?4?3)—?()=?(3.5)-?(?3.5) 22 =?(3.5)-[1-?(3.5)]=2?(3.5)-1

=2?0.9997674-1=0.9995

(4) P(X>3)=1- P(X≤3)=1-?(

8设随机变量X~N(a,?2)，求X落在区间?a?k?,a?k??的概率。其中：k=1,2,3。

解： P(a?k??X?a?k?)=?(a?k??a3?3)=1-?(0)=1-0.5=0.5 2?)—?(a?k??a?)=?(k)-?(?k)

=2?(k)-1

当k=1时，P(a?k??X?a?k?)=2?(1)-1＝2?0.8413—1=0.6826 当k=2时，P(a?k??X?a?k?)=2?(2)-1＝2?0.97725—1=0.9545 当k=3时，P(a?k??X?a?k?)=2?(3)-1＝2?0.998650—1=0.9973

可见，随机变量X之值几乎全部落入区间?a?3?,a?3??内。

9.测量到某一目标的距离时发生的随机误差X（米）具有分布密度 f(x)?1402?e?(x?20)23200 —∞

求在一次测量中随机误差不超过30米的概率。

解：由题意可知：?＝20，?＝40

∴P(?30?X?30)=?(30?20?30?20)—?()=?(0.25)-?(?1.25) 4040＝0.5987-0.1056 ＝0.4931

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