高二预习：空间几何基本定理公理和性质

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填写时间 2014年 月 日 教 学生姓名 师 年高一 学科 数学 上课时间 2014年 月 日 级 阶基础（ √） 提高（ ） 强化（ ） 课时计划 第（ ）次课 共（ 2 ）次课 段 教 学 目标 教学 难点 知识梳理 集合的语言 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A在直线l上，记作：A?l；点A不在直线l上，记作A?l； 点A在平面?内，记作：A??；点A不在平面?内，记作A??； 教 学 过 程 直线l在平面?内（即直线上每一个点都在平面?内），记作l??； 直线l不在平面?内（即直线上存在不在平面?内的点），记作l??； 直线l和m相交于点A，记作lm?{A}，简记为lm?A； 平面?与平面?相交于直线a，记作? ??a． 平面的三个公理 ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 1

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lAB? 符号语言表述：A?l,B?l,A??,B???l?? ⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面， 也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面． 图形语言表述：如右图， A?CB 符号语言表述：A,B,C三点不共线?有且只有一个平面?， 使A??,B??,C??． ⑶ 公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线． 图形语言表述：如右图： ?aA? 符号语言表述：A???????a,A?a． 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线． 平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 1．公理１反映了直线与平面的位置关系，由此公理我们知道如果一条直线与一个平面有公共点，那公共点要么只有一个，要么直线上所有点都是公共点，即直线在平面内． 2．公理２可以用来确定平面，只要有不在同一条直线上的三点，便可以得到一个确定的平面，后面的三个推论都是由这个公理得到的．要强调这三点必须不共线，否则有无数多个平面经过2

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它们． 确定一个平面的意思是有且仅有一个平面． 3．公理３反应了两个平面的位置关系，两个平面（一般都指两个不重合的平面）只要有公共点，它们的交集就是一条公共直线．此公理可以用来证明点共线或点在直线上，可以从后面的例题中看到． 4．平面基本性质的三个公理是不需要证明的，后面的三个推论都可以由这三个公理得到．推论１与２直接在直线上取点，利用公理１与２便可得到结论，推论３是由平行的定义得到存在性的，再由公理２保证唯一性． 共面与异面直线 如果空间中几个点或几条直线可以在同一平面内，那么我们说它们共面． 既不相交又不平行的直线叫做异面直线. 判断两条直线为异面直线的方法 判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线.如图，ABaα 符号语言：已知a??,A??,B??,B?a,则直线AB与直线a是异面直线. 反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们不相交，也不平行即可. 点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指结论是几个点或几条直线在同一个平面内的问题. 证明一个图形是平面图形的主要依据：(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（基本性质1）；(2)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（基本性质2），及其推论. 证明一个图形是平面图形的常用方法：(1)先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内，这种方法通常称为落入法；(2)经有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.这种方法称为重合法；(3)反证法. 具体操作方法：(1)证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点），确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内；(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内. 3

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点共线、线共点的证明 点共线：所谓点共线问题就是证明三个或是三个以上的点在同一个直线上；线共点：所谓线共点问题就是证明三条或是三条以上的直线交于一点. 证明点共线、线共点的依据是基本性质3：如果两个平面有一个公共点，那么他们有且仅有一条直线经过这个点的公共直线，也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上.对于这个基本性质的进一步理解下面三点：(1)如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；(2)如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；(3) 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上. 证明多点共线，通常是过其中两点作一条直线，然后证明其他的点也在这条直线上，或者根据已知条件设法证明这些点同时在两个相交平面内，然后根据基本性质2就得到这些点在两个平面的交线上.证明三点共线问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证明这两点重合，从而得三点共线. 直观图 1．概念用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 画法：斜二测画法和正等测画法： 2．斜二测画法规则 ①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使?xOz?90?，?yOz?90?．（三维空间中） O?y?，O?z?，使?x?O?y??45?或135?，②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O?x?，?x?O?z??90?，x?O?y?所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） ③已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x?轴，y'轴或z? 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． ④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． ⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图． 经典例题 4

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例1.已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是( ) A．0 C．2 例2.若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l( ) A．与直线a，b都相交 C．至多与a，b中的一条相交 例3.正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( ) A．相交 C．平行 例4.设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC 例5.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 例5.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( ) A．点A C．点C但不过点M 例6.以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 5

B．1 D．3 B．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b中的一条相交，另一条平行 B．异面 D．垂直 B．点B D．点C和点M

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