【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新

【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提

升 新人教A 版必修1

一、选择题

1．下列命题正确的是( )

A ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若存在x 1、x 2∈(a ，b )，使得x 1

B ．定义在(a ，b )上的函数f (x )，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b )，使得x 1

C ．若f (x )在区间A 上为减函数，在区间B 上也为减函数，则f (x )在A ∪B 上也为减函数

D ．若f (x )在区间I 上为增函数且f (x 1)

[答案] D

2．给出下列命题：①y ＝1x

在定义域内是减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；

③y ＝－1x

在(－∞，0)上是增函数； ④y ＝kx 不是增函数就是减函数．

其中错误的命题有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 [答案] D

[解析] ①y ＝1x

在定义域内不具有单调性；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上先减后增；④当k ＝0时，y ＝0不是增函数，也不是减函数，只有③正确．

3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( )

A ．f (－x 1)＞f (－x 2)

B ．f (－x 1)＜f (－x 2)

C ．f (－x 1)＝f (－x 2)

D ．无法确定 [答案] B

[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)＜f (－x 2)，故选B.

4．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．不能确定

[答案] D [解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)．

如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．

5．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a

A ．有且只有一个

B ．一个都没有

C ．至多有一个

D ．可能会有两个或两个以上

[答案] C

[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.

6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f b a －b

＞0，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减

B ．函数f (x )先减后增

C ．函数f (x )在R 上是增函数

D ．函数f (x )在R 上是减函数

[答案] C

[解析] 由f a －f b a －b ＞0，得????? a －b ＞0，f a －f b ＞0，或

????? a －b ＜0，f a －f b ＜0.

∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )，

∴f (x )在R 上单调递增，故选C.

7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(0，＋∞)

C ．(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) [答案] C

[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.

8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )

A ．f (－1)

B ．f (1)

C ．f (2)

D ．f (1)

[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)

二、填空题

9．若f (x )＝?????

x －2 x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________． [答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1]

[解析] 画出f (x )＝????? x －2 x x ＋x 的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]

和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.

10．已知函数f (x )＝4x 2

－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.

[答案] 21

[解析] 由已知得－－m 2×4

＝－2，解得m ＝－16 ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.

11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34

)的大小关系为________．

[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34

) [解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34

>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34

)． 12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x

是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数，其中错误的结论是________．

[答案] ①②④

三、解答题

13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．

[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．

[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．

由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的．

由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π2

)内，y ＝g (x )是单调递增的． 14．求证：函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数． [证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1

1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2

. 因为x 10，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

故函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数． 15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性

(1)y ＝f (x )＋a ；

(2)y ＝a －f (x )；

(3)y ＝[f (x )]2.

[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．

(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．

16．求下列函数的单调区间．

(1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.

[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间

[解析] (1)函数解析式变形为

y ＝????? －x 2＋x ＋－2≤x x 2－x －x ＜－2或x ＞

画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12

]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12

，3]．

(2)y ＝????? －x 2＋3x ＋1 x －x 2－3x ＋1 x

， 即y ＝????? －x －322＋134 x －x ＋322＋134 x ，

函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－32]，[0，32]，单调减区间为[－32，0]，[32

，＋∞)．