高考复习参考高三数学（理）配套黄金练习：7.2（含答

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第七章 7.2第2课时

高考数学（理）黄金配套练习

一、选择题

1

1．0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－m)＜0的解集为( ) 11

A．{x|m＜x＜m} B．{x|x＞m或x＜m} 11

C．{x|x＞m或x＜m} D．{x|m＜x＜m} 答案 D

1

解析 当0

2．若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{x∈R|≤1}，则M∩N的真子集的个

x－9

数是( )

A．15 B．7 C．16 D．8 答案 B

解析 由N＝{x|－4≤x<9}，M∩N＝{4,1,0} 真子集个数23－1＝7.

3．函数y＝log2

1x2－

的定义域是( )

A．[－2，－1)∪(1，2] B．[－2，－1]∪(1，2) C．[－2，－1)∪(1,2] D．(－2，－1)∪(1,2) 答案 A

2

?x－1>0

解析 由?2得[－2，－1)∪(1，2]．

x－1≤1?

4．已知集合M＝{x|x2－20xxx－20xx>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(20xx,20xx]，则( )

A．a＝20xx，b＝－20xx B．a＝－20xx，b＝20xx C．a＝20xx，b＝20xx D．a＝－20xx，b＝－20xx 答案 D

解析 化简得M＝{x|x<－1或x>20xx}，

由M∪N＝R，M∩N＝(20xx,20xx]可知N＝{x|－1≤x≤20xx}，即－1,20xx是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．

所以b＝－1×20xx＝－20xx，－a＝－1＋20xx，即a＝－20xx.

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>0，f(2)2m－3＝，则m的取值范围是 ( ) m＋1

33

A．m<2 B．m<2且m≠1

33

C．－12或m<－1 答案 C

解析 由题意得f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<0，即故选C.

6.

2m－33

<0，∴－1

已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为 ( )

A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A

解析 由导数图象知当x<0时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数； 当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，

2x－6<0，?222

?故不等式f(x－6)>1等价于f(x－6)>f(－2)或f(x－6)>f(3)，即2或?x－6>－2

0≤x2－6<3，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．

?2x＋1，x≥1，

7．设函数f(x)＝?2若f(x0)>1，则x0的取值范围为( )

x－2x－2，x<1，?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪[1，＋∞) C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案 B

?x0≥1?x0<1

解析 ∵f(x0)>1，∴?或?2，解得x0∈(－∞，－1)∪[1，

?2x0＋1>1?x0－2x0－2>1

＋∞)．

8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式 (x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )

1331

A．(－，) B．(－，) 2222

C．(－1,1) D．(0,2) 答案 A

解析 由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立．

13

解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－2

3

解法2：即y2－y

313

∴y－y<4，解之得－2

2－x

9．不等式>0的解集是________．

x＋4

答案 (－4,2)

2－x

解析 考查分式不等式的解法>0等价于(x－2)(x＋4)<0，所以－4

x＋4

10．若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．

答案 －1

解析 f(x)＝x2＋ax＋a2－1＝0有一正一负根，则f(0)<0得a2－1<0?－1

6

答案 －2≤a<5 解析 当a2－4＝0，即a＝－2或a＝2时，当a＝2时不等式为4x－1≥0，解集不是空集

当a＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a＝－2符合题意．

2a－4<0，?2

当a－4≠0时，需? 22

＋a－，?Δ＝a＋

6

解得－2

综上可知－2≤a<5. 11

12．关于x的不等式x2－(a＋a＋1)x＋a＋a<0(a>0)的解集为________．

1

答案 (1，a＋a) 1

解析 不等式可化为[x－(a＋a)](x－1)<0， ∵a>0，

1

∴a＋a≥2>1.

1

∴该不等式的解集为(1，a＋a)．

13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________． 答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)

解析 方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可． 三、解答题

14．关于x的不等式组

2

2

?x－x－2>0?2的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范

k＋）x＋5k<0?2x＋（

围．

解析 解x2－x－2>0得x>2或x<－1 解2x2＋(2k＋5)x＋5k<0(有解集)

得(2x＋5)(x＋k)<0由原不等式组，整数解为{－2}．得 5

－2

15．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)． 证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.

证明 易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R,2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b

b22

－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)－4(c－b)≤0，从而c≥4＋1.

b2于是c≥1，且c≥21＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.

4×

故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0. 即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.

16．设函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f(1－ax－x2)

分析 首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．

解析 由于f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f(1－ax－x2)

即不等式x2＋ax－a＋1>0在x∈[0,1]上恒成立．

方法一 令g(x)＝x2＋ax－a＋1，只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可．

2

aa??g(x)＝x2＋ax－a＋1＝?x＋2?2－4－a＋1.

??

a

①当－2<0，即a>0时，g(x)min＝g(0)＝1－a>0?a<1，故0

a

②当0≤－2≤1，即－2≤a≤0时，

a2?a?

g(x)min＝g?－2?＝－4－a＋1>0

??

?－2－22

a

③当－2>1，即a<－2时，g(x)min＝g(1)＝2>0，满足，故a<－2.

故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)

方法二 由1－ax－x2<2－a得(1－x)a

∴①当x＝1时，0<2恒成立，此时a∈R；

x2＋1

②当x∈[0,1)时，a<恒成立．

1－x

x2＋1

求当x∈[0,1)时，函数y＝的最小值．

1－x

令t＝1－x(t∈(0,1])，则 x2＋1(－t)2＋12y＝＝＝t＋

tt－2， 1－x

2

而函数y＝t＋t－2是(0,1]上的减函数， 所以当且仅当t＝1，即x＝0时，ymin＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a<1， 由①②得a<1.

故存在实数a，使得不等式f(1－ax－x2)

1．(苏北四市调研)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为?，则实数a的取值范围为________．

2

答案 [4，＋∞)

解析 解法1：原命题可等价于不等式ax2－|x|＋2a≥0对于任意的实数x均成立，即a(x2＋2)≥|x|对于任意的实数x均成立，由于x2＋2>0且|x|≥0，故a>0，分别作出f1(x)＝a(x2＋2)和f2(x)＝|x|的图象如图：

教师备选题

根据图象的对称性，只需研究x≥0时满足即可，当x≥0，二者相切时，应有f1′(x)

1111

＝2ax＝1，此时x＝2a，所以，欲使原命题成立，只需满足f1(2a)≥f2(2a)，即a×4a2122

＋2a≥2a?8a2≥1，解之得a≥4(a≤－4舍去)．

解法2：令t＝|x|≥0，原不等式可化为at2－t＋2a<0在t≥0不存在，即at2－t

a>0??1??a>02

?<0＋2a≥0在t≥0恒成立，∴或?2a解之得a≥4 ??Δ≤0

??2a≥0

2．设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2.

(1)求(1＋x1)(1＋x2)的值； (2)求证：x1<－1且x2<－1；

x11

(3) 如果x∈[10，10]，试求a的最大值．

2

11

解析 (1)(1＋x1)(1＋x2)＝1＋(x1＋x2)＋x1x2＝1－a＋a＝1. (2)令f(x)＝ax2＋x＋1，由Δ＝1－4a≥0，

1

得0<2a≤2，∴抛物线f(x)的对称轴

1

x＝－2a≤－2<－1. 又f(－1)＝a>0，

∴f(x)图象与x轴的交点都在点(－1,0)的左侧， 故x1<－1，且x2<－1.

1x2(3)由(1)，x1＝－1＝－. 1＋x21＋x2

x111＝－∈[，10]， x21＋x210

1110

所以－x∈[11，11]．

2

1＋x21111

所以a＝xx＝－x2＝－[(－x)－2]2＋4.

1222111

故当－x＝2时，a取得最大值为4.

2

1

得0<2a≤2，∴抛物线f(x)的对称轴

1

x＝－2a≤－2<－1. 又f(－1)＝a>0，

∴f(x)图象与x轴的交点都在点(－1,0)的左侧， 故x1<－1，且x2<－1.

1x2(3)由(1)，x1＝－1＝－. 1＋x21＋x2

x111＝－∈[，10]， x21＋x210

1110

所以－x∈[11，11]．

2

1＋x21111

所以a＝xx＝－x2＝－[(－x)－2]2＋4.

1222111

故当－x＝2时，a取得最大值为4.

2

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