最新人教版高中数学选修1-1《导数的概念》教学设计

教学设计

1．1.2 导数的概念

教材分析

一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．

课时分配 1课时．

教学目标 1．知识与技能目标

利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标

用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观

通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．

重点难点

重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．

教学过程

引入新课

1

问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝gt2，求1 s到2 s的平均速度．

21

问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝gt2，如何求t＝3 s这一时刻的速度呢？

2活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解

“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．

教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t＝3 s这一时刻”怎么理解？

学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．

教师提示：我们可以取t＝3 s临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t＝3 s时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt]内或在[3－Δt,3]内，不过时间间隔Δt要尽可能小．

学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．

活动成果：师生共同得出如下结论：

19Δsg

取一小段时间：[3,3＋Δt]，Δs＝g(3＋Δt)2－g，Δv＝＝(6＋Δt)．

22Δt2当Δt→0时，Δv→3g. 设计意图

从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．

探究新知

在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？

提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，试探求运动员在t＝2 s时的瞬时速度是多少？

活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt,2]内的平均速度和Δt＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt]内的平均速度．并观察当|Δt|逐渐变小时，平均速度v的取值变化情况．

活动成果：当Δt<0时，在[2＋Δt,2]这段时间内 h?2?－h?2＋Δt?4.9Δt2＋13.1Δt

v＝＝＝－4.9Δt－13.1.

2－?2＋Δt?－Δt当Δt＝－0.01时，v＝－13.051；

当Δt＝－0.001时，v＝－13.095 1； 当Δt＝－0.000 1时，v＝－13.099 51； 当Δt＝－0.000 01时，v＝－13.099 951； 当Δt＝－0.000 001时，v＝－13.099 995 1； ……

h?2＋Δt?－h?2?－4.9Δt2－13.1Δt

当Δt>0时，在[2,2＋Δt]这段时间内v＝＝＝－4.9Δt－

Δt?2＋Δt?－213.1.

当Δt＝0.01时，v＝－13.149； 当Δt＝0.001时，v＝－13.104 9； 当Δt＝0.000 1时，v＝－13.100 49； 当Δt＝0.000 01时，v＝－13.100 049； 当Δt＝0.000 001时，v＝－13.100 004 9； ……

可以看出，当|Δt|逐渐变小时，平均速度v的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v就无限趋近于t＝2 s时的瞬时速度．所以说，运动员在t＝2 s时的瞬时速度是－13.1 m/s.

为了表述方便，我们用

?t?0lim

h?2＋Δt?－h?2?

＝－13.1

Δt

来表示“当Δt→0时，v→－13.1”．

提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率吗？

活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．

活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：

运动员在某一时刻t0的瞬时速度为lim

?t?0h?t0＋Δt?－h?t0?

. Δt

类似地，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率可以表示为

?x?0

lim

f?x0＋Δx?－f?x0?Δf

＝lim .

Δx?x?0Δx

?x?0我们称它为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝lim

f?x0＋Δx?－f?x0?Δf

＝lim .

Δx?x?0Δx

理解新知

例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)，计算第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h时和第6 h时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．

活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．

活动结果：在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)． Δff?2＋Δx?－f?x0?

根据导数的定义，＝

ΔxΔx

?2＋Δx?2－7?2＋Δx?＋15－?22－7×2＋15?

＝＝Δx－3，

Δx所以，f′(2)＝lim

?x?0

Δf

＝lim (Δx－3)＝－3.同理可得：f′(6)＝5. Δx?x?0在第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．

点评：(1)函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率； (2)瞬时变化率是平均变化率的极限；

(3)Δx＝x－x0，当Δx→0时，x→x0，所以f′(x0)＝lim

x?x0f?x?－f?x0?

；

x－x0

(4)由定义知，求f(x)在x0处的导数的步骤为： 求增量Δy＝f(x＋Δx)－

Δyf?x＋Δx?－f?x?Δy算比值＝求极限y′＝lim .

ΔxΔx?x?0Δx

由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径

r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图

运用新知

例2(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．

思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．

2

Δf－?－1＋Δx?＋?－1＋Δx?＋2

解：(1)因为＝＝3－Δx，

ΔxΔx

2

Δy－?－1＋Δx?＋?－1＋Δx?＋2

所以f′(－1)＝lim ＝＝lim (3－Δx)＝3.

Δx?x?0Δx?x?0

ΔfΔf

(2)因为Δf＝Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝6Δx＋3(Δx)2，所以＝6＋3Δx，lim ＝6.

Δx?x?0Δx点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．

例3函数f(x)满足f′(1)＝1，则当x无限趋近于0时， (1) lim

x?0f?1＋x?－f?1?

＝__________，

2x

(2) lim →

x0

f?1＋2x?－f?1?

＝____________.

x

思路分析：因为f(x)在x＝1处存在导数，所以当x无限趋近于0时，2x也无限趋近于0，故lim →

x0

f?1＋x?－f?1?f?1＋2x?－f?1?

＝1， lim ＝1. x2x2x→0

x0

解：(1) lim →(2) lim →

x0

f?1＋x?－f?1?1f?1＋x?－f?1?1

＝lim ＝，

2xx2x→02

f?1＋2x?－f?1?f?1＋2x?－f?1?

＝2lim→ ＝2.

x2x2x0

Δyf?x＋Δx?－f?x?

点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx→0时，＝的变化趋势．

ΔxΔx巩固练习

1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 2．设函数f(x)可导，则lim

?x?0

f?1＋Δx?－f?1?

等于( )

3Δx

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