2012年全国各地中考数学解析汇编18 图形的相似与位似

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2012年全国各地中考数学解析汇编18 图形的相似与位似 15．（2012北京，15，5）已知【解析】

【答案】设a=2k,b=3k，原式=

5a?2b(a?2b)(a?2b)?(a?2b)?5a?2ba?2b?10k?6k2k?6k?4k8k?12a2?b3≠05a?2ba?4b22，求代数式

??a?2b?的值．

【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质

（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E ,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）

A．

5?12 B．

5?12 C． 3 D．2

考点：多边形的相似、一元二次方程的解法

解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似 所以DF:EF=AB:BC 即 （AD-1）:1=1:AD 整理得：AD?AD?1?0,解得AD?21?25

由于AD为正，得到AD=

5?12，本题正确答案是B.

点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三角形的判定

（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（ ）

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A.BC=2DE B. △ADE∽△ABC C.

ADAE?ABAC D. S?ABC?3S?ADE

解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE；因DE//BC，所以△ADE∽△ABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，S?ABC?4S?ADE.所以选项D错误. 答案：D

点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.

（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是 A．63

CMN B．123 C．183

D．243 ADB（第10题图）

【解析】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由

MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.

【答案】C

【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.

（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。10

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解析：：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴答案：10

点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。

28.4 相似三角形的性质

(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______

解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。 答案：9：1

点评：本题考查相似三角形的基本性质。

（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)

AEAB?DECB，DE=10

【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可. 【答案】12a

【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．

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（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.

【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.

【答案】?D??B或?AED??C -----------------------------------------------------2分

理

由

：

两

角

对

应

相

等

，

两

三

角

形

相

似

------------------------------------------------------6分

【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.

（湖南株洲市6,20题）（（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.

（1）、求证：△COM∽△CBA； （2）、求线段OM的长度.

【解析】要证明△COM∽△CBA就是要找出∠COM=∠B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.

【解】（1）证明： ?A与C关于直线MN对称

?AC?MN ?∠COM=90°

在矩形ABCD中，∠B=90°

?∠COM=∠B----------------------------------------1分

又?∠ACB=∠ACB------------------------------------2分

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?△COM∽△CBA ---------------------------------3分

（2）?在Rt△CBA中，AB=6，BC=8

?AC=10----------------------------------------- -----4分 ?OC=5

?△COM∽△CBA----------------------------------------5分 ?OCBC=OMAB

?OM=

154----------------------------------------------6分

【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.

（2012湖南娄底，25，10分）如图13，在△ABC中，AB?AC，∠B?30?，BC?8，D在边BC上，E在线段DC上，DE?4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N. （1）求证：△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD?x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x 之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.

F A M N B D

E

C

【解析】（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；

（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；

（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．

【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°，∴∠MDB=

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∠NEC=120°，∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，∴△BMD∽△CNE；（2）过点M作MH⊥BC，∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，∴MH=MF，设BD=x，∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=MH=

MD4-xx=32，解得：x=16?83，∴当BD=16?83时，以M为圆心，以MF为半径的圆

1212与BC相切；（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4。∵∠B=30°，

11163∴AK=BK?tan∠B=4×3=43，∴S△ABC=BC?AK=×8×43=，由（2）得：MD=BD=x，∴MH=MD

332233?sin∠MDH=

32x，∴S△BDM=

12?x?

32x=

342x.∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴

EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=(BDCE)=

2x22，∴S△CEN=34(4?x)，∴y=S

2(4?x)△ABC

-S△CEN-S△BDM=

1633?342x?342(4?x)= ?32x?23x?2233=?32(x?2)?2833（0≤x≤4），当

x=2时，y有最大值，最大值为833．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用．

(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______

解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。 答案：9：1

点评：本题考查相似三角形的基本性质。

（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为 .(用a的代数式表示)

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【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可. 【答案】12a

【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．

（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.

【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.

【答案】?D??B或?AED??C -----------------------------------------------------2分

理

由

：

两

角

对

应

相

等

，

两

三

角

形

相

似

------------------------------------------------------6分

【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.

（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB?与△B?DG的面积之比为（ ）

A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9

【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得B?F=BF=3-x,在Rt△FCB?中，由由勾股定理得CF2+CB?2=FB?2，x+1=(3-x),解得x=【答案】D.

【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。

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2

2

2

43,由已知可证Rt△FCB?∽Rt△B?DG，AR所以S△FCB?与S△B?DG的面积为（

43：1）=

2

169.

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（2012年四川省德阳市，第11题、3分．）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点P、E在直线AB的同

14侧），如果BD?AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为

AA.

1415 B.

3534

BGFEPCC. D.

D【解析】连接FP, 延长AP交BC的延长线于H, 过点A、P分别作

AM?BC,PN?BC,垂足M、N.∵四边形BDEF是平行四边形，EF?AD,又AP//BE，∴E、F、P共

14141334线，即PF?AB,四边形APEB是平行四边形，∴EP=AB，又BD?PNAMPFAB34AB∴ EF=DB=AB=PF,∴PF=AB,

∵△ABH~△PFH,∴??,∴

S△PBCS△ABC?PNAM?34.

【答案】D.

【点评】此题应用了平行四边形，相似三角形和三角形面积的相关知识，能够合理作出辅助线是解决本题的关键，

（2012山东省荷泽市，18,10）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点并且与△ABC相似；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）

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【解析】在网格中借助勾股定理求△ABC三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断△ABC的形状. 【答案】解：

（1）根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 ； 显然有AB2?AC2?BC2，

根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形 （1） △ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5

DE?42，DF?22，EF?210．

B ?BCEF?522D P5 F C

A

P4

P1

P2

P3 E

?ABDE?ACDF，

∴△ABC∽△DEF． （3）如图：△P2P4 P5．

【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似，常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.

（2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； 解：

（2）求证：DG平分∠EDF; 证：

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（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG. 证：

解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知DF?12b,DE?12c，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得BG?b?c2.（2）由（1）的

结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.

解（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点 ∴DE∥12AB,DF∥12AC，

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等 即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ∴BG=

AB?AC2=

b?c22

b?c2（2）证明：BG=

b?c，FG=BG－BF=－

c2?b2

∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG平分∠EDF

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形, ∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形, ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,

则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG

点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.

（2012山东泰安，28，10分）如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。

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（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明； （3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，可得∠BAE=∠CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：△ABE∽△ECF；（2）由BG⊥AC，易证得∠ABH=∠ECM，又由（1）中∠BAH=∠CEM，即可证得△ABH∽△ECM；（3）首先作MR⊥BC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，即可求得MR的长，又由EM=

MRsin45?，即可求得答案．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠ECF=90°．∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEB+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF.（2）△ABH∽△ECM．证明：∵BG⊥AC，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ABH=∠ECM，由（1）知，∠BAH=∠CEM，∴△ABH∽△ECM.（3）解：作MR⊥BC，垂足为R，∵AB=BE=EC=2，

∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，∴∠MER=45°，CR=2MR，∴MR=ER=RC=，∴EM=

MRsin45?=．

【点评】考查了矩形的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似”定理的应用．

（2012贵州铜仁，8，4分如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2:1，则下列结论正确的是（ ）

A．∠E=2∠K B. BC=2HI

C. 六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D. S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJK

【解析】A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；

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8题图

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B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确； C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；

D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．

【解答】B.

【点评】本题考查相似图形的性质.两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积比与相似比之间的关系. （2012陕西5，3分）如图，在?ABC中，AD,BE是两条中线，则S?EDC:S?ABC?（）

A．1∶2

B．2∶3 D．1∶4

C．1∶3

【解析】由题意可知，ED为?ABC的中位线，则△CED∽△CAB

∴S?EDC:S?ABC?(ED)2?(1)2?1:4，故选D．

AB2【答案】D

【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等.难度中等.

（2012湖北咸宁，6，3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）．

y F C B E O A （第6题）

D x

A．(2，0)

B．(

32，

32) C．(2，2) D．(2，2)

【解析】由已知得，E点的坐标就是点A坐标的2倍． 【答案】C

【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是同向位似．

(2012山东日照，8，3分)在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F, 若EC=2BE,则

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BFFD的值是

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（ ）

A F B

E C D

1111A. B. C. D.

3524解析：如图，由菱形ABCD得AD∥BE,，所以△BEF∽△ADF, 又由EC=2BE,得AD=BC=3BE,故BFFD=

BEAD=

13.

解答：选B．

点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质，正确画出图形是解题的关键.

（2012·湖南省张家界市·10题·3分）已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与

△DEF的相似比为 ．

【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根. 【解答】△ABC与△DEF的相似比为

425=

25.

【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方.

（2012山东省滨州，18，4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．

【解析】（１）由于∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，可得△BDE∽△CDF。由于∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，可得△ABF∽△ACE。

解：（1）在△BDE和△CDF中∠BDE=∠CDF∠BED=∠CFD=90°，∴△BDE∽△CDF． （2）在△ABF和△ACE中，∵∠A=∠A，∠AFB=∠AEC=90°，∴△ABF∽△ACE． 【答案】△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE

【点评】本题考查相似三角形的判定方法．三角形相似的判定方法有，AA，AAS、ASA、SAS等．

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(2012贵州黔西南州，17，3分)如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD=1，BC=3，△AOD的面积为3，则△BOC的面积为___________．

【解析】由题意知AD∥BC，所以∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，所以△OAD∽△OCB．又AD=1，BC=3，所以△OAD与△OCB的相似比为1:3，面积之比为1:9，而△AOD的面积为3，所以△BOC的面积为27． 【答案】27．

【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键．

（2012贵州遵义，7,3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，

=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ）

A ． 9 解析： 求出B． 10 C． 12 D． 13 =，把S四边形BCFE=8代入求出即可． 的值，推出△AEF∽△ABC，得出解：∵∴==， =， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴==， ∴9S△AEF=S△ABC， ∵S四边形BCFE=8， ∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC， 解得：S△ABC=9． 故选A． 答案： A 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的 第14页（共31页） 12999数学网 www.12999.com

12999数学网 www.12999.com 平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．

（2012·湖北省恩施市，题号20 分值 8）如图8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B1，因而EB1=EB。类似的，在AB上折出点B使AB=AB。这是B就是AB的黄金分割点。请你证明这个结论。

1111111

【解析】设BE=1，可知BC=AB=2，AE=5，由EB1=EB得AB11=AB1= 5-1,根据黄金分割意义AB11：AB=（5-1）：2，问题得证。

【答案】证明：设BE=1，则BC=AB=2，，AE=ABAB=（5-1）：2，∴B11是AB的黄金分割点。

【点评本题既考查学生阅读理解能力，又考查考查黄金分割点的意义，难度中等。数学新课程标准非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展．

把握折叠过程中的等边是解答此类问题的关键，勾股定理是计算折叠问题中线段长度的重要工具。

（2012南京市，15，2）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10厘米，CD=6厘米，E为AD上一点，且BE=BC,CE=CD，则DE= 厘米.

AED2?BE2=5，∵EB=EB，∴AB=AB= 5-1,∴AB：

111111

解析：△BCE与△CDE均为等腰三角形，且两个底角

∠DEC=∠BCE，∴△BCE∽△CDE，∴∴

106BCCDBC=

CEDE,

=

6DE,∴DE=3.6厘米.

答案：3.6.

点评：在图形中，利用相似，得出比例式，可以求出线段的长.

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（2012湖北黄冈，25，14）如图，已知抛物线的方程C1:y=-轴相交于点E，且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标．

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

1m(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B、C，与y

【解析】（1）把M(2，2)代入y=-1m(x+2)(x-m)即可求出m；（2）求出B、C、E三点坐标即可求出S△BCE；

（3）利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；（4）分两种情况来探讨解

题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题.

【答案】解：（1）依题意把M(2，2)代入y=- （2）由y=0得：-141m(x+2)(x-m)得：2=-

1m(2+2)(2-m)，解得 m=4.

(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2，x2=4 ∴B（-2，0） C（4，0）.

12 由x=0得：y=2 ∴E（0，2） ∴S△BCE= （3）当m=4时，C1的对称轴为x=

12BCOE=

12×6×2=6.

×（-2+4）=1，点B、C关于直线x=1对称.连EC交对称轴于

点H，则H点使得BH+EH最小.设直线EC的解析式为y=kx+b，把E（0，2）、C（4，0）代入得y=-12x+2，把x=1代入得H（1，

32）.

BEBC?BCBF（4）分两种情况：①当△BEC∽△BCF时，则∠EBC=∠CBF=45°，

即BC2?BE?BF，作FT⊥x轴于点T，∴可设F（x，-x-2）（x＞0），则 -x-2=-∴BF=

1m(x+2)(x-m) ∵x+2＞0 ∴x=2m，F（2m，-2m -2）.

2?2m?2?2???2m?2??22?m?1?，BE=22，BC=m+2 .

2∴?m?2??22?22?m?1? 解得m=2?22，又m＞0，∴

m=2?22.

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②当△BEC∽△FCB时，则∴可设F（x，-

2mBCBF?ECBC，∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴

2mTFBT?OEOC?2m，

（x+2））（x＞0），∴-

2?m?4?m（x+2）=-

1m(x+2)(x-m)，

4?m?4?m22∵x+2＞0 ∴x=m+2，F（m+2，- ），EC=

BC=m+2，BF=?m?2?2??m?4，22 ∴?m?2??m?4??m?2?2??2224?m?4?m22，整理得0=16，显然不成立.

综上：在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角与△BCE相似， m=2?22.

【点评】本题综合考查了二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的关键要充分运

用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式变形也是不小的考验.难度较大.

（2012河南，22，10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若

AFEF?3，求

CDCG的值.

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若出解答过程.

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若

ABCD?a,BCBE?b(a?0,b?0)，则

AFEF?m(m?0)则

CDCG的值是

CDCG的值是 （用含m的代数式表示），试写

AFEF的值是 （用含a,b的代数式表示）.

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解析：（1）如图1，利用EH∥AB得△EHF∽△ABF，对应边成比例得AB=3EH，然后利用中位线定理得CG=2EH，又∵CD=AB，∴得出CD与CG的关系；

（2）与（1）方法道理都相同；

（3）此问是（1）、（2）类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件

ABCDBCBE?a,?BCBE?b(a?0,b?0)，所以添加如图3，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有AFEF?ABEHCDEH,,两式相比就可得出

AFEF?ab

（1）AB?3EH;CG?2EH;(2)

m232

作EH∥AB交BG于点H，则△EHF∽△ABF ∴

ABEH?AFEF?m,AB?mEH

∵AB=CD，∴CD?mEH EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG ∴

?2，∴CG=2EH

BEmEHm∴??. CG2EH2EHCD?CGBC（3）ab

点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，对应线段成比例，关键是研究问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法总是类似的，原理是一样的.

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（2012湖北武汉，24，10分）已知△ABC中，AB＝25，AC＝45，BC＝6

（1）如图1点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；

（2）如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）

②试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个（不需证明）

解析：1、当△AMN∽△ABC时，易证MN为中位线，MN=当△AMN∽△ACB时,有

AMAC?MNBC12BC=3，

,根据AM,AC,BC的值，可求出MN。

2 ①从整数边BC出发,选定BC,然后分别过B、C作边25、45长即可，

②关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形，可考虑在格点中先画出最长的三角形最长边（AC的对应边）—正方形对角线，从而找到最大三角形。

解：1、如图，当△AMN∽△ACB时,有

AMAC?MNBC

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∵M为AB中点，AB=25 ∴AM=5 ∵BC=6，AC=45 ∴MN=

32

当△AMN∽△ABC时，有∠ANM=∠C, ∴

NMBC?MABA=

12

∴MN=

12BC=3

32∴MN的长为或3

2、（1）如图3（答案不唯一） （2）8个，如图4（答案不唯一）

点评：本题既考察了相似三角形的性质，也考察了图形的变换作图，在于学生需分两种情况讨论，学生容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形最长边对应。题目难度较大。

(2012山东日照，21，9分) 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为

H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.

(1)求证CG=BH; (2)FC2=BF·GF; (3) A FCAB22=

GFGB.

D

H B

E

G F

C

解析：(1)可证△ABH≌△BCG；(2)证△CFG∽△BFC可得；(3)先证△BCG∽△BFC得BC2=BF·BG,结合

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AB=BC可得.

证明： （1）∵BF⊥AE，CG∥AE, CG⊥BF, ∴ CG⊥BF.

∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o, ∠CBG+∠BCG=90o,

∠BAH+∠ABH=90o,

∴∠BAH=∠CBG, ∠ABH=∠BCG, AB=BC, ∴△ABH≌△BCG, ∴CG=BH;

(2) ∵∠BFC=∠CFG, ∠BCF=∠CGF=90 o,

∴△CFG∽△BFC, ∴

FCBF?GFFC,

即FC2=BF·GF;

(3) 由（2）可知，BC2=BG·BF, ∵AB=BC, ∴AB2=BG·BF, ∴FCBC22

=

FG?BFBG?BF=

FGBG

即

FCAB22=

GFGB

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）的条件.

（2012，黔东南州，21）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。

（1）求证：△ABC∽△BDC。

（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积。

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解析：第（1）小题要证三角形相似，由题意只需证两角

相等即可.

第（2）小题要利用相似三角形的对应边成比例求出CD 的长，这样就可以求出△BDC的面积 . 解：(1)证明：?AB是圆O的直径，

??ACB?90. ?BD是圆O的切线, ??ABD?90,

??A??ABC?90，?ABC??CBD?90,

???? ??A??CBD. 又??ACB??DCB?90?, ?△ABC∽△BDC. (2)?△ABC∽△BDC,

?ACBC?BCCD,

92?AC?8,BC?6,?CD??S?BDC?12?BC?CD?12.

92?272.

?6?点评：本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考察了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直

角三角形的面积计算等知识，是一道比较简单的题目，能让学生发挥自己的思维水平，难度较小.

（2012四川宜宾，24，12分）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。 （1） 求证：△ABE∽△ECM;

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（2） 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说

明理由；

（3） 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。

【解析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；

（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=﹣

2

+x=﹣（x﹣3）

+，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．

【答案】（1）证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C, 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE 又△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B, ∴∠CEM=∠BAE, ∴△ABE∽△ECM

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME＞∠C ∴∠AME＞∠AEF,∴AE≠AM 当AE=EM时，则△ABE≌ECM ∴CE=AB=5，∴BE=BC-EC=1 当AM=EM时，∴∠MAE=∠MEA ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM 即∠CAB=∠CAE

又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴

AC2CEAC?ACCB

∴CE=

CB?256,∴BE=6-

256=

116

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（3）解：设BE=x，又∵△ABE∽△ECM ∴

CMBE?CEABCMx156?x5156515,∴?∴CM=－

1x?2x=??x?3?2+

59∴AM=5-CM=5-﹝?又当BE=x=3=

12?x?3?2+﹞=?x?3?2+

559165,∴当x=3时，AM最短为

165，

BC,点C为BC的中点，

AB2∴AE⊥BC,∴AE=?BE22=4

2此时，EF⊥AC,∴EM=CE∴S△AEM=

?CM?125,

．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解。

（2012年广西玉林市，10，3）如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ）

分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．

解：∵在正方形ABCD中，AC=32∴BC=AB=3， 延长A′B′交BC于点E， ∵点A′的坐标为（1，2）， ∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，

∴正方形A′B′C′D′的边长为1，

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1∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是． 故选B．

3点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．

（2012年吉林省，第25题、10分．）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P, Q两点同时停止运动．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t s,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为Scm2． （1）当t=_____s时，点P与点Q重合； （2）当t=_____s时，点D在QF上；

（3）当点P在Q, B两点之间（不包括 Q, B两点）时，求S与t之间的函数关系式．

【解析】(1)由于P, Q的运动速度相同都是1cm/s，所以P, Q重合的点是AB的中点． (2) 由QF‖BC可证△AQF∽△ABC,得出比例式，问题得证．∽ （2） 要分两种情况：①当1＜t?△FAQ和△AQF∽△ABC. 4②当＜t＜2时，重合部分的图形是六边形．它的面积S?S?S△AQF?S正方形APDE343时，重合部分的图形是直角梯形．确定上下底和高．需证△FEG∽ △DHG【答案】

（1）∵P, Q的运动速度都是1cm/s, ∴P, Q在AB的中点重合． ∴当t=1s时，P, Q重合． （2） ∵QF‖AC

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∴AFAQAC?AB 即AF2?t4?2

∴AF=4-2t 又DP‖AF ∴DPPQAF?AQ

即

t4?2t?2?2t

2?tt?45

3）①当1＜t≤

43时，如图1、图2.

∵FQ‖BC ∴AFAC?AQAB

即AF=4-2t，EF=4-3t 又DE‖AB

∴△FEG∽△FAQ得，EGAQ?FEFA

EG3t2?t?4?2(2?t)

EG=?32t?2

∴GD=t-(?32t?2)=

52t?2

QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2 S=924t?2t

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（ 12999数学网 www.12999.com

CCFEAGDE(F)DQP图1BAQ图2PB

4AFAQ?②当＜t＜2时，由△AFQ∽△ABC得，,AF=4-2x.

3ACAB∴

S△AQF??(2?t)212(4?2t)(2?t)

同理由△CEH∽△CBA可得EH=1?∴S=S?S正方形APDE?S△AQF?S =t? =-C212t，HD=

32t?2；△BPG∽△BAC,得PG=4-2t，DG=t-(4-2t)=3t-4

△DHG

122(2?t)?212(3t?4)(32t?2)

94t?10t?8

EFAQHD GPB图3

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质，利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键．

（2012陕西18，6分）如图，在?ABCD中，?ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB?AF；

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（2）当AB?3，BC?5时，求

AEAC的值．

AEEC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由△AEF∽△CEB先求出【答案】解：（1）如图，在?ABCD中，AD//BC， ∴?2??3．

∵BF是?ABC的平分线， ∴?1??2． ∴?1??3． ∴AB?AF．

（2）??AEF??CEB，?2??3， ∴△AEF∽△CEB， ∴∴

AEECAEAC??AFBC38?35，再求

AEAC.

，

．

等角对等边、相

【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、

似三角形的性质等.难度中等.

（2012陕西 25，12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由． 【解析】（1）连接AP并延长交AC于点P'，这是画图关键.

（2）利用等边三角形、正方形、30°锐角的直角三角形性质列方程求解.

（3）用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，再求最大值和最小值. 【答案】解：（1）如图①，正方形E'F'P'N'即为所求． （2）设正方形E'F'P'N'的边长为x． ∵△ABC为正三角形， ∴AE'=BF'=33x．

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∴x+233x=3+3．

∴x=9+3323+3，即x=33-3．

（3）如图②，连接NE，EP，PN，则?NEP=90?．

设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n?m?n?， 它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n． ∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2?m2+n2?． ∴S?m?n=2212PN．

2延长PH交ND于点G，则PG?ND．

在Rt?PGN中，PN2=PG2+GN2=?m+n?+?m-n?．

333322∵m+m+n+1n=3+3，即m+n=3．

∴S=91?3??m?n?2????m?n?2

?222?∴ⅰ）当?m-n?=0时，即m=n时，S最小．

∴S最小=12?3=22292．

ⅱ）当?m-n?最大时，S最大． 即当m最大且n最小时，S最大． ∵m+n=3，由（2）知，m最大=33-3． ∴n最小=3-m最大=3-33-3=6-33．

211∴S最大=?9+?m最大-n最小??=?22????9+33-3-6+33????2?=99-543． ??【点评】本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角关系等重要知识点.本题三小问之间互相关联，并逐级推进，其中第三小问在表示出面积的函数关系式的时候要朝着有利于解决问题的方向转化，仅此一点难度较大！

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（2012南京市，26，9）“？”的思考

下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.

题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室前内侧保留3米宽的空地，其他三内测各保留1米宽的道路，当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区的 面积为288m2?

我的结果也正确！

小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中化了一条横线，并打了一个“？”. 结果为何正确呢？

（1） 请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程； 变化一下会怎样??

（2）如图，矩形A`B`C`D`在矩形ABCD内部.AB∥A`B`，AD∥A`D`，且AD:AB=2:1,设AB与A`B`、BC与B`C`、CD与C`D`、DA与D`A`之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.

解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm. 空地蔬菜种植区域？ 根据题意，得2xx=288 解这个方程，得x1=-12(不合题意，舍去)，x2=12 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）. 答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. AA`B`DD`C`BC

解析：这里有长方形温室、长方形种植区域，弄清楚这两个长方形长宽之间的关系，再利用面积关系、相

似比例列出方程.

答案：（1）这里的长与宽的比为2：1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域.

设蔬菜大棚的宽为xm，则其长为2x,蔬菜种植区域的长为（2x-3-1）=(2x-4)m、宽为(x-1-1)=(x-2)m.

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有题意得，(2x-4) (x-2)=288

解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14 所以温室的长为2×14=28（m）

答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. （2）设AB=x，则AD=2x，那么A`D`=2x-a-c,A`B`=x-b-d ∵矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD

∴AD:AB=A`D`:A`B`=2:1 ∴A`D`=2A`B` ∴2x-a-c=2(x-b-d) ∴a+c=2b+2d

点评：此题主要考察一元二次方程、相似性质的应用，难度不高.

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有题意得，(2x-4) (x-2)=288

解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14 所以温室的长为2×14=28（m）

答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2. （2）设AB=x，则AD=2x，那么A`D`=2x-a-c,A`B`=x-b-d ∵矩形A`B`C`D`∽矩形ABCD

∴AD:AB=A`D`:A`B`=2:1 ∴A`D`=2A`B` ∴2x-a-c=2(x-b-d) ∴a+c=2b+2d

点评：此题主要考察一元二次方程、相似性质的应用，难度不高.

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