常见递推数列通项公式的求法

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常见递推数列通项公式的求法

类型一：an?1?kan?b

（1）累加法：k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b)

例1：已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N*）求通项公式。

解：an?an?1?2(n?1)

an?1?an?2?2(n?2)

an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2

?a2?a1?2?1

an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n

∴ a2n?n?n?1

（2）待定系数法：k?1时，设an?1?m?k(an?m)

∴ an?1?kam?bn?km?m，比较系数：km?m?b，、∴

k?1，

∴

{an?bk?1}是等比数列，公比为k，首项为ab1?k?1

1 ∴

an?bk?1?(abbb1?k?1)?kn? ∴

an?(a1?k?1)?kn?1?k?1 例2：已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。

解：设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ an?1n?1?4?2 ∴ an?2n?1?1

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变式1:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 变式2:已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). （I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列{bn}滿足4142（Ⅲ）证明：

b?1b?14bn?1?(an?1)bn(n?N*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n????...?n?(n?N*). 23a2a3an?12变式3:已知数列?an?中，a1?2,an?1?(2?1)(an?2),n?1,2,3,.求?an?的通项公式。

）

（key:an?2[(2?1)n?1],n?1,2,3,

类型二：an?1?kan?f(n)（一阶线性递推数列）

（1）累加法：k?1时，an?1?an?f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法。 解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3：已知{an}满足a1?1，

an?1?an?1n(n?1)求{an}的通项公式。

解：∵

an?1?an?111??n(n?1)nn?1

1111?an?1?an?2??n?1n n?2n?1

∴

an?an?1?an?2?an?3?

11111?a3?a2??a2?a1?1?n?3n?2…… 23 2

an?a1?1?11an?2?n n ∴

对这（n?1）个式子求和得：

变式1：已知数列?an?满足a1?11，an?1?an?2，求an。 2n?n2变式2：已知数列{an}满足an?1?an?2n?1（key:an?n） ，a1?1，求数列{an}的通项公式。

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变式3: 已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式.

变式4: 数列?an?中，a1?2,an?1?an?cn(c是常数,n=1,2,3,),且a1,a2,a3成等比不为1的等比数列. 求这个数列的通项公式。(key:a2n?n?n?2)

（2）待定系数法：k?1时，当f(n)?an?b则可设an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B)

∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A

?∴ ?(k?1)A?aa?(k?1)B?A?b 解得：A?k?1B?b?a，k?1(k?1)2

∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列

∴ an?An?B?(a1?A?B)?kn?1

∴ an?(a1?A?B)?kn?1?An?B 将A、B代入即可。 例4：已知：aa1?1，n?2时，

n?12an?1?2n?1，求{an}的通项公式。

1解：设an?An?B?2[an?1?A(n?1)?B] a2a111n?1n?1?2An?2A?2B

????1A?2?2??1A?1B??1?A??4∴ ??22 解得：??B?6 ∴ a1?4?6?3 1∴ {an?4n?6}是以3为首项，2为公比的等比数列 ∴ an?6?3?(13n?42)n?1 ∴ an?2n?1?4n?6

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nf(n)?qk?1（3）时，（q?0，1），an?1?pan?qn（或an?1?pan?rqn,其中p，q, r均为常数）

①待定系数法：例5：已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ① 将an?1?2an?3n2?4n?5代入①式，得 2an?3n2?4n??5xn(?21)?yn?(?z1)?an?2xn(2?yn?z，则 ) 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z

等式两边消去2an，得(3?x)n?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn?2yn?2z，

22?3?x?2x?x?3?? 解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入①式，得

?x?y?z?5?2z?z?18?? an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ②

由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?182 则，故数列?2{a?3n?10n?18}为以n2an?3n?10n?18a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，

则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3n2?4n?5转化为

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列{an?3n2?10n?18}是等比数列。变式1：已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。（key:an?13?3n?1n?5?2n?2）

变式2：已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 Time waits for no one

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②同除法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1得

an?1pan1??n?， 引入辅助数列?bn? n?1qqqq （其中bn?anp1），得：再待定系数法解决。 b?b?n?1nqqqn例6：已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得

an?1an2an?1an211??????，则，故 n?1nn?1n?1nn?133333333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?n?2)?(n?2?n?3)?nn33an?1an?1333

?(a2a1a1?)1?2333

212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331n?1(1?3)21n1an2(n?1)3n2n11na??n?3??3?. 因此n?， 则??1???nn322331?3322?3 评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为

an?1an21???，进而求出n?1nn?13333(anan?1an?1an?2an?2an?3?)?(?)?(?)?3n3n?13n?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?an??)?，即得数列?n?的通项公式，最后再求数32313?3?列{an}的通项公式。

511n?1,an?1?an?()，求an。 63241n?12变式2:设数列?an?的前n项的和Sn?an??2?，n?1,2,3,333变式1:已知数列?an?中，a1?

n2n（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,Sn，证明：

?T?2

ii?13n变式3:已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。（key:an?(n?)2）

3212n变式4:在数列?an?中，a1?2,an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N*),其中??0,求数列{an}的通项公式。（key:an?(n?1)??2.

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类型三：累积法：an?1?f(n)an

（1）若f(n)是常数时，可归为等比数列。

（2）若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 解法：把原递推公式转化为

an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an例7：已知{an}中，

an?1?nann?2且a1?2求数列通项公式。

anan?1an?2a3a2n?1n?2n?3n?4212???????????a2a1n?1nn?1n?243n(n?1) 解：an?1an?2an?3an24?an?n(n?1) ∴ n(n?1) ∴ a1例8：已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3? 解：因为an?a1?2a2?3a3? 所以an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。

①

?(n?1)an?1(n?2) ?(n?1)an?1?nan

②

用②式－①式得an?1?an?nan.，则an?1?(n?1)an(n?2)，故

an?1?n?1(n?2) an 所以an?anan?1??an?1an?2?a3?a2?[n(n?1)?a2?4?3]a2?n!a2. 2 ③

由an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则

?n?n!n!。 所以，{an}的通项公式为an?.

22a2?1，代入③得an?1?3?4?5? 评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为

an?1?n?1(n?2)，进而求出ananan?1??an?1an?2?a3?a2，从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的通项公式。 a2Time waits for no one

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变式1：已知a1?3，an?1?3n?1an (n?1)，求an。 3n?2变式2：已知：

a1?3112n?1an?a1??an?an?12n?12n?1）3，2n?1（n?2）求数列{an}的通项。（key:

变式3：已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n(n?1)2（key: an?3?2n?1?5?n!.）

2n2an，求an（key: ?an?，an?1?）

3n?13n变式4：已知数列?an?满足a1?变式5：已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 (n≥2)， 则{an}的通项an??

n?1?1

n?2___?类型四：取对数法：an?1?panr

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1?pan?q，再利用待定系数法求解。

5例9：已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

55解：因为an?1?2?3n?an式两边取常用对数得，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3n?anlgan?1?5lgan?nlg3?lg2

①

设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)

②

将①式代入②式，得5lgan?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y，两边消去)5lgan并整理，得

lg3?x???lg3?x?5x?4(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则?，故?

?x?y?lg2?5y?y?lg3?lg2?164?代入②式，得lgan?1?由lga1?lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??) ③ 41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0及③式， 416441647

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得lgan?lg3lg3lg2n???0，则4164lgan?1?lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan?n??4164所以数列{lgan?lg3lg3lg2lg3lg3lg2n??}是以lg7???为首项，以5为公比的等比数列，则41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1lgan?n???(lg7???)5，因此

41644164lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??4164464141614n?1n4?(lg7?lg3?lg3?lg2)5?[lg(7?3?3?2)]514116141411614n?1?lg3?lg3?lg211614n411614?lg(3?3?2)n411614

?lg(7?3?3?2)5n?1?lg(3?3?2)?lg(75n?1?3?lg(75n?1?3n?15n?1?n4?35n?1?116?2)5n?1?14)5n?4n?116?25n?1?14 则an?75?35n?4n?116?25n?1?14。

5 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3n?an转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??)，从而可知数列41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2{lgan?n??}是等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项公式，最后再求

41644164lgan?1?出数列{an}的通项公式。

变式1：已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?1an(4?an),n?N. 2（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 变式2：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 变式3：已知数列｛an｝中，a1?1,an?1?变式4：记bn=

12?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. a112?，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 anan?23Tn?1Time waits for no one

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3n?1?n!?2n(n?1)2变式5：已知数列{an}满足an?1?a3(n?1)2nn（key:an?5，a1?5，求数列{an}的通项公式。

）

变式6：已知函数f(x)?x2?4,设曲线y?f(x)在点(xn,f(xn)处)的切线与x轴的交点为

*，其中x1为正实数，若x1?4时，记an?lg(xn?1,0)n(?N)xn?2.试证明：数列?an?为等比数列，xn?22(32n?1?1)并求此数列的通项公式。(xn?)

32n?1?1变式7：已知数列{an.}各项都是正数且满足a0?1,an?1?1an(4?an),n?N.。求数列{an}的通项公式2an.（key:

12n?1an?2?() )

2m?an?1m?an?1型。

类型五：取倒数法：

an?k?11111k?k(?)?k??an?1m ∴ anan?1m 考虑函数倒数关系有anCn?1an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。

令

例10：数列{an}中，

an?12n?1?an?n?12?an，a1?2，求{an}的通项。

2n?1?an1111?n?1??n?12an ∴ an?1an2 解：an?1bn?111bn?1?bn?n?1bn?bn?1?nan ∴ 2 ∴ 2

12n 12n?1 12n?2……

设

∴

bn?bn?1?bn?1?bn?2?

bn?2?bn?3?Time waits for no one

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b3?b2?123

?b2?b1?122

11n?1[1?()]2112?2??n111122bn?b1?2?3???n1?2222 1112n?12nbn??n??an?nn22222?1 ∴ ∴

变式1：已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。

3?an?1?1变式2：已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－1，且an＝ （n?2，n?N?）22an－1＋n－1（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1?a2?……an?2?n！ 变式3：若数列的递推公式为a1?3,11??2(n?)，则求这个数列的通项公式。 an?1an变式4：已知数列{an}满足a1?1,n?2时，an?1?an?2an?1an，求通项公式。 变式5：已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛a｝的通项公式。

3?an?1?1n

变式6：若数列｛an｝中，a1=1，an?1=

2an n∈N?，求通项an．

an?2变式7：已知数列?an?满足：a1?3nan?13,an?(n?2,n?N*),求数列{an}的通项公式。22an?1?n?1n3n（key:an?n）

3?1

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类型六：作差法：利用an??sn?f(an)或an?f(sn)，

?s1,n?1与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)?sn?sn?1,(n?2)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。 例11：已知数列?an?前n项和Sn?4?an?12n?2.

（1）求an?1与an的关系； （2）求通项公式an. 解：（1）

（2）应用类型4（an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方法，上式两边同乘以2n?1得：2n?1an?1?2nan?2

由a1?S1?4?a1?1?a1?1.于是数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，所以1?22n2nan?2?2(n?1)?2n?an?n?1

2??

变式1：正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an

变式2:数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3(?)12n?13(n?3),且S1?1,S2??,求数列{an}的通项公式.

2变式3：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和sn满足s1?1,6sn?(an?1)(an?2),n?N*.，求数列{an}的通项公式。（key:an?3n?1）

变式4：设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an(n?N*)。1?anw4?(?)1n4(n?N*)。 求数列?an?与数列?bn?的通项公式；（key: an?(?)bn?41n1?(?)41n变式5：设数列?an?的前n项的和Sn?n412an??2n?1?，n?1,2,3,333n

求首项a1与通项an；（key: an?4?2）

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类型七：奇偶分离法：an?1?an?pn?q。

解法：这种类型一般可转化为?a2n?1?与?a2n?是等差或等比数列求解。 例12：（I）在数列{an}中，a1?1,an?1?6n?an，求an

（II）在数列{an}中，a1?1,anan?1?3n，求an

变式：已知各项全不为零的数列?ak?的前k项和为sk，且sk?1akak?1(k?N*)，其中a1?1,求数列2?ak?的通项公式。

类型八：特征方程根法：(1)an?1?pan?q(p,q,r,m?0). (2)an?2?pan?1?qan

ran?mpx?qa?x1有两个不等的根x1,x2时，则{n}是等比数列；当特征方

rx?man?x2对于（1）分两种情况：特征方程x?程x?px?q1有且仅有一根x0时，则{}是等差数列。

rx?man?x02对于（2）也分两种情况：特征方程x?px?q?0有两不等实根，则数列通项公式为 an?Ax1n?Bx2n(A,B为待定系数)；

若特征方程有两相等实根x0，则数列的通项公式为an?(A?nB)x0.

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例13：已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不动点。

4x?14x?121an?24?2a?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2????因为n?1。 21a?24an?1?39an?3n?321an?24?3(4an?1)9an?274an?1所以数列??an?2?an?2a1?24?213n?113是以为首项，以为公比的等比数列，故??2?2()，则?9a?34?3a?39a?31n?n?1?3。

an?132()n?1?19变式1：数列{an}满足an?1?21n1n17an?2（key:an?()?()?） ，a1?2，求数列{an}的通项公式。

34232an?3变式2：若数列{bn}中b1?2,bn?1?3bn?4,n?1,2,3,2bn?3,求{bn}的通项公式

变式3：设p,q为实数，?,?是方程x2?px?q?0的两个实根，数列{xn}满足x1?p,x2?p2?q，

xn?pxn?1?qxn?2(n?3,4,...)

（1）求证：????p,???q；（2）求数列{xn}的通项公式； （3）若p=1,q=

1,求{xn}的前n项和Sn. 4变式4：已知数列{an}满足性质：对于n?N,an?1?an?4,且a1?3,求{an}的通项公式.

2an?313an?25.

an?3变式5：已知数列{an}满足：对于n?N,都有an?1?（1）若a1?5,求an;（2）若a1?3,求an;（3）若a1?6,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？

变式6：数列{an}满足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1).记bn?11an?2(n?1).

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.

Time waits for no one

13

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类型九、递推公式法：an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)，其中s，t满足??s?t?p

?st??q解法二(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程

x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x2时，数列?an?的

n?1n?1通项为an?Ax1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入?Bx2n?1n?1，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1，其an?Ax1n?1?Bx2n?1中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1，得到关于A、B

的方程组）。

解法三（待定系数——迭加法）:

例14：数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。

变式1：已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?21an?1?an，求an。 33变式2：已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). （I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式； （III）若数列?bn?满足4142...4nb?1b?1b?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列

变式3：已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?21an?1?an，求an 33变式4：已知数列?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2, ⑴设数列bn),a1?1，

?an?1?2an(n?1,2,??)，求证：数列?bn?是等比数列；

?an,(n?1,2,??)，求证：数列?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式及前n项和。 n2 ⑵设数列cn变式5：数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。 (key：?an?[3?3()23n?12](b?a)?a?3(a?b)()n?1?3b?2a)

314

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Just do it ! 类型十一、换元法

例15：已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24 解：令bn?1?24an，则an? 故an?1?12112112(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)，得(bn?1)?[1?4(bn?1)?bn] ?1241624162422 即4bn，因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 ?(b?3)?1n 则2bn?1?bn?3，即bn?1?131bn?，可化为bn?1?3?(bn?3)， 2221为公比的等比数列，因此2 所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以

11112111bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得an?()n?()n?。

22223423 评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn?1?13bn?形式，22从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

类型十二、数学归纳法

例16：已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。 122(2n?1)(2n?3)9解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 19(2n?1)2(2n?3)28(1?1)88?224???22(2?1?1)(2?1?3)99?25258(2?1)248?348 a3?a2????22(2?2?1)(2?2?3)2525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。

(2n?1)2Time waits for no one

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（1）当n?1时，a(2?1?1)2?181?(2?1?1)2?9，所以等式成立。

（2）假设当n?k时等式成立，即a(2k?1)2?1k?(2k?1)2，则当n?k?1时， a8(k?1)k?1?ak?(2k?1)2(2k?3)2 ?(2k?1)2?18(k?1)(2k?1)2?(2k?1)2(2k?3)2?[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)

(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2

(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?1(2k?3)2?[2(k?1)?1]2?1[2(k?1)?1]2 由此可知，当n?k?1时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何n?N*都成立。变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式

类型十三、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

?例17??2a1n,(0?an?)：若数列?an?满足an?1??2，若a61?，则a20的值为___________。???2a7n?1,(12?an?1)变式:已知数列{aan?3n}满足a1?0,an?1?3aN*)，则a20=（ ）

n?1(n? A．0

B．?3 C．3

D．

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【模拟试题】

1. 已知{ann}中，a1?3，an?1?an?2，求an。 2. 已知{an}中，a1?1，an?3an?1?2（n?2）求an。

3. 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2n（n?2）求an。

4. 已知{an}中，a1?4a?4?4，

nan?1（n?2）求an。

5. 已知{an}中，a1?1，其前n项和Sn与aa2S2nn?n满足

2Sn?1（n?2） {1} （1）求证：Sn为等差数列 （2）求{an}的通项公式

6. 已知在正整数数列{aSn}中，前n项和Sn满足

n?18(an?2)2

（1）求证：{an}是等差数列 （2）若b?1n2an?30，求{bn}的前n项和的最小值

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1、若数列?an?为等差数列，且a3??2,d?3，求数列?an?的递推公式 2、若数列?an?为等比数列，且a3??2,q?3，求数列?an?的递推公式 3、若数列的递推公式为??a1?3?2(n?N，则求这个数列的通项公式

?an?1?an?)4、若数列的递推公式为??a1?3，求这个数列的通项公式

?an?1??2an(n?N?)5、若数列的递推公式为??a1?1an?N，则求这个数列的通项公式

?n?1?2an?2(?)?a1?36、若数列的递推公式为??1??1?2(n?N)，则求这个数列的通项公式 ?a?n?1an7、若数列的递推公式为???a1?1，则求这个数列的通项公式 ??an?1n?1?3an?2?3(n?N?)8、若数列的递推公式为???a1?3??aan?1，则求这个数列的通项公式 n?1?n?2?3(n?N?)?a1?9、若数列的递推公式为?3???an，则求这个数列的通项公式 n?1?n?1an(n?N?)10、若数列?an?为等差数列，且a1?2,d?3,bn?a3n?1(n?N?)，求数列?bn?的通项公式11、若数列?an?为等比数列，且a1?2,q?3,bn?a3n?1(n?N?)，求数列?bn?的通项公式 12、若数列的递推公式为???a1?2??a2，求这个数列的通项公式 n?1?an(n?N?)13．若数列的递推公式为??a1?2a?2(n?N，求这个数列的通项公式 ?nn?1?2an?)14．已知数列a1?1,a2?5,且an?1?4an?4an?1(n?2)，求通项公式an。 15．设数列?an?满足a1?2,an?1?5an?42a,求an.

n?716．已知斐波那契数列a1?a2?1,an?1?an?an?1(n?2,3,…)，求通项公式an

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【试题答案】

1. 解：由ann?1n?1?an?2，得an?an?1?2

∴ an?an?1n?1?2

an?2n?1?an?2?2……

?a2?a1?2

∴ aa2(1?2n?1)n?1?1?2?2n?2 ∴

an?2n?2?a1?2n?1

2. 解：由an?3an?1?2得：an?1?3(an?1?1)

an?1?3∴ an?1?1 即{an?1}是等比数列

an?1?(a1?1)?3n?1 ∴ an?(a1?1)?3n?1?1?2?3n?1?1

a3. 解：由a?2annnn?1?2得2n?an?12n?1?1

an∴ {2n}an成等差数列，2n?12?(n?1) ∴ ann?1n?n?2?2

a42(an?ann?1?2?2?4. 解：

a?2)1a??1?1nn ∴ an?1?22(an?2)2an?2（n?1）111∴ an?1?2?a?2?2b1（n?1）设n?nan?2 1即

bn?1?bn?2(n?1)

1?1?(n?1)?1?n∴ {ba2n}是等差数列 ∴ an?2a1?222 n?n?2

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SS?2S2n5. 解：（1）

n?n?12Sn?1 ∴ Sn?1?Sn?2SnSn?1

111S?S?2{}nn?1 ∴ Sn是首项为1，公差为2的等差数列 1?2n?1∴ Sn

2(1)21a??n2n?121?4n2?8(n?2)（2）Sn?2n?1 ∴ 2?2n?1?1n?3?1n?1a??n?又 ∵ a1?1??2?4n2?8n?3(n?2) ∴

6. 解：（1）a11?S1?(a1?2)28 ∴ a1?2 ?2时，aS11n?n?Sn?1?8(an?2)2?8(an?1?2)2n

整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0

∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4 ∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ an?4n?2

（2）

bn?12(4n?2)?30?2n?31

∴ {b为等差数列 ∴ S2n}n?n?30n

∴ 当n?15时，Sn的最小值为152?30?15??225

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