29 回归分析的基本思想及其初步应用3

回归分析的基本思想及其初步应用（第3课时）

一、 教学目标

（1） 知识与技能: 通过典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想方法及初步应用；了解两个变量非线性相关关系.

（2） 过程与方法: 让学生体会统计方法的特点；让学生体会可以借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系.

（3） 情感态度与价值观: 培养学生学好数学、用好数学的信心，加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相互关系；培养学生运用所学知识，解决实际问题的意识.

二、 教学重点和难点

教学重点: 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型. 教学难点: 有些非线性模型如何通过变换转化为线性回归模型 .

三、 教学过程

（一） 导入新课

问题1 你能回忆建立线性回归模型的基本步骤吗? 选变量→画散点图→选模型→估计参数→分析与预测. 教科书上所列“建立回归模型的基本步骤”，不仅适用于线性回归模型，也适用于一般回归模型的建立.

（二） 讲解新课 1. 讲解例4

幻灯片出示例4，引导学生理解例题含义.

例4 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关.现收集了7组观测数据列于表4中.

表4一只红铃虫的产卵数y与温度x的数据

温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325(1) 试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28℃时产卵数目.(2) 你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

问题2 例4中如何选择解释变量和预报变量？（选变量） 回答： 选取温度为解释变量x，红铃虫的产卵数为预报变量y.

多媒体展示散点图，引导学生观察散点图的特点: 随着自变量的增加，因变量也随之增加.（画散点图，如图4所示.）图4

问题3 一只红铃虫的产卵数y和温度x具有线性关系吗？除线性关系外，还学过哪些常见的函数关系？目的引导学生探究红铃虫的产卵数y与温度x之间更可能是什么关系，选择几个模型，如线性回归模型、二次函数模型、指数函数模型.学生讨论、回忆一些常见函数图像的特点，判断红铃虫的产卵数y与温度x之间的可能关系.

2. 介绍两个变量非线性相关关系

问题4 两个变量是线性相关时，利用最小二乘法得到了两个参数的估计公式，当模型不是线性回归模型时，如何估计模型中的参数？

目的使学生了解最小二乘法的思想同样适用于非线性回归模型，但却不能给出统一的公

式，多数情况下用数值计算的方法.

问题5 模型y=bx2+a中怎样求a，b的最小二乘估计？

目的让学生知道有时因变量与自变量的非线性关系经过变换后可以转化为两个新变量间的线性关系.

教师引导，学生观察模型，探究变换的方法并发表自己的意见，最后给出具体的方法. 平方变换: 令t=x2，y和x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为y和t之间线性回归模型y=bt+a.

问题 6经过怎样的变换可以把模型y=c1ec2x转化为另外两个变量的线性相关?

目的使学生进一步体会把因变量与自变量的非线性关系经过变换后转化为另外两个变量的线性关系的方法.

教师提出问题，引导学生寻找变换的方法，并鼓励学生思考、讨论、解释，在学生讨论后给出具体的方法:

对数变换: 在y=c1ec2x中两边取常用对数得lny=c2x+lnc1，令z=lny，a=lnc1，b=c2，则y=c1ec2x就转化为z和x之间线性回归模型z=bx+a.

问题7 经过变换后这几个模型都转化为线性回归模型，如何得到这几个线性回归模型的参数估计？

目的使学生熟悉线性回归模型的参数估计方法. 教师提出问题，引导学生分组讨论，启发学生把原变量的观测数据转化为新变量的数据，利用最小二乘估计求得参数值.

（三） 归纳小结

(1) 建立回归模型的基本步骤，不仅适用于线性回归模型，也适用于一般回归模型的建立.

(2) 模型y=bx2+a和模型y=c1ec2x如何转化为另外两个变量的线性相关.

（四） 课后作业

阅读教材第78—89页，使学生对以上问题有所认识. 回归分析的基本思想及其初步应用（第4课时）

一、 教学目标

（1） 知识与技能: 通过典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想方法及初步应用，明确解决回归模型的基本步骤；使学生逐渐熟悉探究更有效的回归模型的方法和步骤.

（2） 过程与方法: 鼓励学生尝试建立不同的非线性回归模型，通过残差图和相关指数比较各个模型的拟合效果；提高学生分析问题、解决问题的能力.

（3） 情感态度与价值观: 加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.

二、 教学重点和难点

教学重点: 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.

教学难点: 了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对

不同的模型进行比较.

二、 教学过程

（一） 导入新课

问题1你能回忆建立线性回归模型的基本步骤吗?

选变量→画散点图→选模型→估计参数→分析与预测.

问题2模型y=bx2+a和模型y=c1ec2x如何转化为另外两个变量的线性相关？ 幻灯片出示转化过程.

（二） 讲解新课 1. 讲解例4 幻灯片出示例4.

问题3 根据上节课学习的内容以及大家课后的相关阅读，哪个模型能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x之间的关系？

目的引导学生尝试进行建立不同模型的比较.

教师提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟合好坏的标准（相关指数、残差平方和）， 进一步引导学生探讨如何进行不同模型的比较，介绍计算模型相关指数和残差平方和的方法，说明一般在参数个数一定的条件下，相关指数越大或残差平方和越小说明模型拟合得越好.

学生讨论，提出自己的想法，建立回归模型，计算每个模型的相关指数，并进行模型的比较.

方案1 选用线性回归模型=bx+a.

解 例4中给出的数据画出的散点图如图5所示.选取温度为解释变量x，红铃虫的产卵数为预报变量y.假设线性回归方程为=bx+a，由计算器得，线性回归方程为=19.87x－463.73.相关指数R2=r2≈0.8642≈0.7464，当x=28时，=19.87×28－463.73≈93.所以，线性回归模型中温度解释了74.64%的产卵数变化. 图5

方案2 选用二次函数模型y=bx2+a.

解 选取温度为解释变量x，红铃虫的产卵数为预报变量y.假设非线性回归方程为 y=bx2+a，作平方变换: 令t=x2，红铃虫的产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a.变换后的数据见表5.

表5平方变换后的数据表温度x/℃21232527293235温度的平方t441 529 625 729 841 1024 1225产卵数y/个711212466115325作散点图，如图6所示，并由计算器得y和t之间的线性回归方程为y=0.367t－202.543，相关指数R2=0.802.图6将t=x2代入线性回归方程得红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=0.367x2－202.543.当x=28 时，y=0.367×282－202.543≈85，且R2=0.802.所以，二次函数模型中解释变量温度解释了80.2%的产卵数变化.

方案3 选用指数函数模型y=c1ec2x.

解 选取温度为解释变量x，红铃虫的产卵数为预报变量y.假设非线性回归方程为 y=c1ec2x.作对数变换: 在y=c1ec2x中两边取常用对数得lny=c2x+lnc1，令z=lny，a=lnc1，b=c2，则y=c1ec2x就转化为z=bx+a.数据转换表见表6. 表6对数变换后的数据表

温度x/℃21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个

711212466115325作散点图，如图7所示.由计算器得: a=－3.843,b=0.272，z与x间的线性回归方程为z=0.272x－3.843，且相关指数R2=0.985， 红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为y=e0.272x－3.843，当x=28 时，y=e0.272×28－3.843≈44，且R2=0.985.所以，指数回归模型中解释变量温度解释了98.5%的产卵数的变化.图7

我们将三种函数模型得到的相关指数R2列在表7中，通过比较相关指数可知: 指数函数模型能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x之间的关系. 表7函数模型与相关指数R2对照表

函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.802指数函数模型0.985还可引导学生从残差平方和的角度，分析比较哪个模型更好.

（三） 巩固练习

例5 为了研究某物种随时间x变化繁殖的个数，收集数据如表8所示.

表8繁殖个数随时间x变化一览表天数x/天123456繁殖个数y/个61225499519 (1) 用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； (2) 试求出预报变量对解释变量的回归方程； (3) 计算残差、相关指数R2. 解(1) 散点图如图8所示. 图8

(2) 由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=c1ec2x的周围，于是令z=lny，a=lnc1，b=c2，则y=c1ec2x就转化为z=bx+a.表9是对数变换后的相应数据.由计数器算得，=0.69x+1.112，则有=e0.69x+1.112.

表9对数变换后繁殖个数随时间x变化一览表

x123456z1.792.483.223.894.555.25（3） 计算i,可得i与yi对应表10.

表10与y对应表i6.0612.0924.0948.0495.77190.9yi612254995190利用已知的数据可

ni=1ei=ni=1(yi－i)2=3.1643，ni=1（yi-i）2=ni=1y2i-n2=25 553.3,

R2=1－3.164325 553.3=0.9999，即指数函数模型中解释变量天数解释了99.99%的该物种繁殖个数变化.

（四） 归纳小结

1. 我们希望找到两个变量的关系，如何发现它们之间的关系？如何比较不同模型的拟合效果？

2. 通过例题你能归纳建立回归模型的基本步骤吗? 建立回归模型基本步骤为：

(1) 确定研究对象，明确解释变量与预报变量； (2) 画出散点图，观察它们之间的关系； (3) 由经验确定回归方程的类型；

(4) 按一定规则估计回归方程中的参数；

(5) 得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.

3. 应用统计方法解决实际问题需要注意的问题:

对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据.可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好

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