金融数学（统计学）期末考试试卷含答案A

安徽师范大学 2016-2017 学年 第一学期

数学计算机科学学院2015级统计专业《金融数学》课程期末考试试卷

（(A卷) 120分钟 闭卷）

题号 得分 得分 评卷人 一 二 三 四 五 得分 复核人 一、填空题（6小题，每小题3分，共18分）

1. 如果每月复利一次的年名义利率为6%，则当每个季度贴现一次的名义贴现率为( ) 时，名义利率与

名义贴现率是等价

(m)(m)??n,a??n2. 设m?1,按大小顺序排an,an,an为( ) . . ,a3. 某人的活期账户年初余额为2000元，其在4月底存入1000元，又在6月底和8月底分别提取400元和200元，到年底账户余额为2472元，则用资本加权法计算该账户的年利率( ) . . 4．

1ani&j?i?( ) . .

0?k?1. 5. 半理论法下的，债券的市场价格计算公式为：Btm?k?( )，其中t?0,1,...,n；

6. IBM股票看涨期权，执行价格75美元，如果市场价格为80美元则多头执行期权，即按75美元买入可立即按80美元卖出股票，每股盈利5美元，则期权的内在价值为( )美元；如果市价为72美元，则不执行期权，期权内在价值为( )美元.

. 得分 评卷人 复核人 二、选择题（5小题，每小题4分，共20分）

1. 甲从银行借款10万元，每半年末还款一次，共12年，每年计息两次的名利率为4%，到第4年末，银行将这一债权转让给乙，乙的收益率为每年计息两次的名利率为5%，乙所得的利息收入为（ ）元. A.42287 B. 52870 C.84594 D.69023 E.15571

2. 一笔9.8万元的贷款，每月末还款777元，一直支付到连同最后一次较小的零头付款还清贷款为止，每月计息一次的年名义利率为4.2%，则第7次付款中的本金部分为( )元.

A . 399.27 B. 400.27 C. 443.19 D. 356.73 E. 366.73

3. 某人贷款10000元，期限为5年，每年计息两次的名收益率为10%，采用偿债基金法，偿债基金的半年实际利率为4%，借款人在第4次与第5次还款期间的净利息支出等于( )元.

A. 641.5 B. 283 C. 500 D. 141.5 E. 358.5

4. 面值100元的10年期债券每年计息两次的名息票率为8%，现以90元的价格出售，假设债券的息票只能以每年计息两次的名利率6%的利率再投资，则考虑了再投资利率的年名义收益率为( ). A.6% B.8.52% C.4.3% D. 2.3% E.8% 5. 关于年金的各种递推公式，以下选项中，不正确的选项是：( ). A. sn|i?an|i(1?i)n B. (Ia)n|?1?v?(Ia)n?1|

??C. a

(m)ni?(ii(m)?i(m)(m)(m)(m)??)ani D. ania?? E. =×a?s1asn|n1|ini m1

得分 评卷人 复核人 三、计算题（3小题，每小题10分，共30分）

1. 已知1单位元的投资，投资4年，第1年的实际利率为8％，第2年的实际贴现率为8％，第3年以每季度计息一次的年名义利率为8％，第4年的每半年计息的年名义贴现率为8％.求该投资的年实际利率.

2.面值1000元、名息率10%的15年期美式早赎债券，早赎保护期为12年，按面值实施早赎。已知投资者最小可接受名收益率为12%，计算该早赎债券的投资者可接受价格.

3.假设股票的当前市场价格为50元，不付红利，波动率为每年20%，连续复利的无风险年利率为5%，该股票3个月期的欧式看涨期权的执行价格为50元，求该期权的价值。 得分 评卷人 复核人 四、综合分析题（2小题，每小题12分，共24分）

1.假设一笔贷款的期限为5年，用偿债基金方法偿还，贷款利率为10%，偿债基金利率为8%.如果借款人每年末的总付款金额（包括支付当期利息和向偿债基金的储蓄）分别为：1000元，2000元，3000元，4000元，5000元，试计算原始贷款本金为多少？ 2.假定英镑和美元汇率为1英镑=1.5000美元。A想借入5年期的1000万英镑借款，B想借入5年期的1500万美元借款。但由于A的信用等级高于B，两国金融市场对A、B两公司的熟悉状况不同，因此市场向它们提供的固定利率也不同（如表1所示）。

表1 市场向A、B公司提供的借款利率

美 元 英 镑 A公司 6.0% 9.6% B公司 8.0% 10.0% 请问：A、B两公司如何做才能既满足各自的筹资需求又能降低筹资成本？ 得分 评卷人 复核人 五、简述题（1小题，每小题8分，共8分）

1、 简述期货合约与远期合约不同。

2

答案：

题目部分，（卷面共有17题，100分，各大题标有题量和总分） 一、填空题（6小题，共18分）

1. 如果每月复利一次的年名义利率为6%，则当每个季度贴现一次的名义贴现率为( ) 时，名义利率与名义贴现率是等价 答案：d(4)?5.94%

(m)(m)??n,a??n2.设m?1,按大小顺序排an,an,an为( ) . ,a(m)(m)??n??n . 答案：an?an?an?a?a

3. 某人的活期账户年初余额为2000元，其在4月底存入1000元，又在6月底和8月底分别提取400元和200元，到年底账户余额为2472元，则用资本加权法计算该账户的年利率( ) . 答案： 3% . 4．

1ani&j?i? ( ) .

答案：

1 . snj0?k?1. 5. 半理论法下的，债券的市场价格计算公式为：Btm?k? ( )，其中t?0,1,...,n；

答案：Bt(1?i)k?kFr

6. IBM股票看涨期权，执行价格75美元，如果市场价格为80美元则多头执行期权，即按75美元买入可立即按80美元卖出股票，每股盈利5美元，则期权的内在价值为( )美元；如果市价为72美元，则不执行期权，期权内在价值为( )美元. 答案：5,0

二、单选题（5小题，共20分）

1. 甲从银行借款10万元，每半年末还款一次，共12年，每年计息两次的名利率为4%，到第4年末，银行将这一债权转让给乙，乙的收益率为每年计息两次的名利率为5%，乙所得的利息收入为（ ）元. A.42287 B. 52870 C.84594 D.69023 E.15571 答案：E

2. 一笔9.8万元的贷款，每月末还款777元，一直支付到连同最后一次较小的零头付款还清贷款为止，每月计息一次的年名义利率为4.2%，则第7次付款中的本金部分为( )元.

A . 399.27 B. 400.27 C. 443.19 D. 356.73 E. 366.73 答案：C

3

3. 某人贷款10000元，期限为5年，每年计息两次的名收益率为10%，采用偿债基金法，偿债基金的半年实际利率为4%，借款人在第4次与第5次还款期间的净利息支出等于( )元.

A. 641.5 B. 283 C. 500 D. 141.5 E. 358.5 答案：E

4. 面值100元的10年期债券每年计息两次的名息票率为8%，现以90元的价格出售，假设债券的息票只能以每年计息两次的名利率6%的利率再投资，则考虑了再投资利率的年名义收益率为( ). A.6% B.8.52% C.4.3% D. 2.3% E.8% 答案：B

5. 关于年金的各种递推公式，以下选项中，不正确的选项是：( ).

nA. sn|i?an|i(1?i) B. (Ia)n|?1?v?(Ia)n?1|

??C. a(m)ni?(ii(m)?i(m)(m)(m)(m)????as)ani D. ani E. =× a?s1an|1|ninim答案：B

三、计算题（3小题，共30分）

1. 已知1单位元的投资，投资4年，第1年的实际利率为8％，第2年的实际贴现率为8％，第3年以每季度计息一次的年名义利率为8％，第4年的每半年计息的年名义贴现率为8％.求该投资的年实际利率.

答案：.因为第2年的实际贴现率d2?8%，所以

i2?d2?8%?i2?0.08696 1?i2因为第3年每季度计息的年名义利率为8%，所以

i(4)41?i3?(1?)?(1?2%)4?1.08243

4又因为第4年的每半年计息的年名义贴现率为8％，即d(2)?8%

1d(2)2所以?1?d?(1?)?(1?4%)2,所以1?i4?1.08507

1?i42设该投资的年实际利率为i,则(1?i1)(1?i2)(1?i3)(1?i4)?(1?i)4,即

1.08?1.08696?1.08243?1.08507?(1?i)4

解得i?0.08361.

2.面值1000元、名息率10%的15年期美式早赎债券，早赎保护期为12年，按面值实施早赎。已知投资者最小可接受名收益率为12%，计算该早赎债券的投资者可接受价格. 答案：.名收益率为12%时的价格公式为

P?1000[1?(0.05?0.06)an0.06]元，n?24,25,?,30.

经计算，得到价格变化范围：874.496 (n?24)?862.352(n?30)元。 所以，这时的可接受价格为862.352元

4

3.假设股票的当前市场价格为50元，不付红利，波动率为每年20%，连续复利的无风险年利率为5%，该股票3个月期的欧式看涨期权的执行价格为50元，求该期权的价值。 答案：把期权的有效期分为五段，每段为一个月。 则 ?t = 1/12，? = 20%，r = 5%

股价上升的参数：u?e?股价下降的参数：d?e???t?1.0594?0.9439?ter?t?d股价上升的概率：p??0.5217u?d

画出欧式看涨期权的二叉树图得到该期权的价值为2.4720。

四、综合分析题（2小题，共24分）

1.假设一笔贷款的期限为5年，用偿债基金方法偿还，贷款利率为10%，偿债基金利率为8%.如果借款人每年末的总付款金额（包括支付当期利息和向偿债基金的储蓄）分别为：1000元，2000元，3000元，4000元，5000元，试计算原始贷款本金为多少？ 答案：

分析：假设原始贷款金额为L0，则每年的利息为0.1L0，每年末向偿债基金的储蓄额分别为：

1000?iL0,2000?iL0,3000?iL0,4000?iL0,5000?iL0，

所以有1000?(Is)50.08?0.1L0?s50.08?L0

L0?1000(Is)50.081?0.1s50.08?10524.69

注意：上述结果存在问题。

按此本金计算，借款人第一年支付的总金额还不足以还当期利息(1052.47元)。换言之，向偿债基金的储蓄为-52.47元。这就意味着在上述计算中，借款人从偿债基金中借走了52.47元，而偿债基金是按8%的利率计算利息的。这不合理，因为贷款人所要求的贷款利率是10%。

若用L'0表示合理的贷款本金，则第一年末的贷款净额为

L1?1.1L'0?1000

L1应该在今后的四年由偿债基金积累。今后4年，借款人每年末向偿债基金的储蓄额分别为：2000?iL1,3000?iL1,4000?iL1,5000?iL1。

这些储蓄额在第5年末的累积值应该正好等于L1，所以有

1000(Is)40.08?(1000?0.1L1)?s40.08?L1L1?1000(Is)40.08?1000s40.081?0.1s40.08?10573.9

L'0?(L1?1000)/1.1?10521.73元。-----------6分

5

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