二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 动点个数 问题背景 两个 特殊菱形两边上移动 07 08 一个 特殊直角梯形三边上移动 两个 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 09 考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 ①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式 ①求直线解析式 ②四边形面积的表示 ③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定值 ④探究等腰三角形存在性 特 点

①菱形是含60°的特殊菱形； △AOB是底角为30°的等腰三角形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。 ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积 ②动点按到拐点时间分段分类 ③画出矩形必备条件的图形探究其存在性 ①直角梯形是特殊的（一底角是45°） ②点动带动线动 ③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA） ④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）

共同点：

①特殊四边形为背景；

②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）

1.如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)． （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形

MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取

值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

[解] （1）点A(?40，)，点B(?20，)，点E(08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，

F(0，?8)．

设抛物线C2的解析式是

y?ax2?bx?c(a?0)， ?16a?4b?c?0，?则?4a?2b?c?0， ?c??8．?，?a??1?解得?b?6，

?c??8．?所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． （2）由（1）可计算得点M(?3，?1)，N(31)，．

过点N作NH?AD，垂足为H．

当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t． 根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形． 所以S?2S△ADN．

所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4．

所以，所求关系式是S??4t2?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?所以t?22??7?81（0≤t?4）． ??，

4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形

MDNA是矩形．

所以OD?ON．所以OD2?ON2?OH2?NH2． 所以t2?4t2?2?0．解之得t1?6?2，t2??6?2（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

32x?bx?c与坐标轴交于A，B，C三点，43点A的横坐标为?1，过点C(0，点P是线段BC上3)的直线y??x?3与x轴交于点Q，

4t的一个动点，PH?OB于点H．若PB?5t，且0?t?1．

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y??（1）确定b，c的值：b?_____，c?_____；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）：

B(___，___)，Q(___，___)，P(___，___)；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

[解] （1）b?y9 4C P A O Q HB x c?3 （2）B(4，0) Q(4t，0) P(4?4t，3t)

（3）存在t的值，有以下三种情况 ①当PQ?PB时

?PH?OB，则GH?HB ?4?4t?4t?4t ?t?1 3 ②当PB?QB时 得4?4t?5t ?t?4 9 ③当PQ?QB时，如图

解法一：过Q作QD?BP，又PQ?QB

BP5 则BD??t

22 又△BDQ∽△BOC

C P D O Q

B

?

BDBQ ?BOBC5t4?4t2 ? ?4532 ?t?

57解法二：作Rt△OBC斜边中线OE

BC5 则OE?BE，BE??，

22 此时△OEB∽△PQB

C P BEOB ? ?BQPBE 54 ?2?

4?4t5t32 ?t?

572O Q B

解法三：在Rt△PHQ中有QH?PH?PQ C ?(8t?4)?(3t)?(4?4t) ?57t2?32t?0 ?t?22222P O 32，t?0（舍去） 57 又?0?t?1

1432 ?当t?或或时，△PQB为等腰三角形．

3957HQ B

解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有

时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析

Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直

接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的0?t?1矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线y??11，B两点． x与抛物线y??x2?6交于A24，B两点的坐标； （1）求A（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；

，B两处．用铅笔拉着这（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． y y

P B B

x O O

A A

图1 图2

x

12?y??x?6??x1?6?x2??4?4 ?[解] （1）解：依题意得?解之得?

?y1??3?y2?2?y??1x??2 ?A(6 ，?3，)B?(，4 2（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1） 由（1）可知：OA?35 OB?25 y ?AB?55

?OM?15 AB?OB?22B C Ｅ O D 图1

过B作BE⊥x轴，E为垂足

M A x

OCOM5 由△BEO∽△OCM，得：?，?OC?，

OBOE4 同理：OD?，?C?，0?，D?0，? 设CD的解析式为y?kx?b(k?0)

52?5?4????5?? 2?第26题

5?0?k?b?k?2???4 ?? ??5

5b?????b??2??25． 2（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交

1点的直线y??x?m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．

2 ?AB的垂直平分线的解析式为：y?2x?1?y??x?m??2 ??

1?y??x2?6??4 ?121x?x?m?6?0 422 ?抛物线与直线只有一个交点，

1?1? ?????4?(m?6)?0，

4?2??m?25?23? ?P?1，? 4?4? 在直线GH：y??125x?中， 24?25??25??G?，0?，H?0，?

?2??4?y H P B G 255 4 设O到GH的距离为d，

?GH?11?GH?d??OG?OH22125512525??d??? 24224

5?d?52?AB∥GH，?P到AB的距离等于O到GH的距离d．

O A x

图2

另解：过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h

与PC 夹角固定），则S△PBA最大 → 问题转化为求PC最大值，设P（x,

）,C

（x, ）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。

最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

10?，4?，顶点C，D在第一象4.如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为?0，?8，0?出发，沿限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E?4，x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时

间为t秒．

（1）求正方形ABCD的边长．

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P，Q两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．

（4）若点P，Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ?90的点P有 个．

??b4ac?b2?，（抛物线y?ax?bx?c?a?0?的顶点坐标是???． 2a4a??2

y D s 28 C A P B 20 O E Qx O 10 图②

t 图①

[解] （1）作BF?y轴于F．

?A?0，10?，B?8，4?，

?FB?8，FA?6．

?AB?10．

（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒． 又?AB?1010，?10?1．

?P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG?y轴于G，则PG∥BF．

?GAFA?APAB，即GA6?t10．

?GA?35t．

?OG?10?35t．

?OQ?4?t，

?S?12?OQ?OG?12?t?4????10?35t???．

即S??310t2?195t?20． 19??b2a??5?19，且0≤19≤102???3?33， ??10???当t?193时，S有最大值． 此时GP?45t?7615，OG?10?3315t?5，

?点P的坐标为??7631??15，5??．

方法二：当t?5时，OG?7，OQ?9，S?12OG?OQ?632．设所求函数关系式为S?at2?bt?20．

?抛物线过点?10，28?，??63??5，2??，

?100a?10b?20?28，?????25a?5b?20?63

2.8分）（

3?a??，??10 ???b?19.?5??S??3219t?t?20． 10519b19195?????，且0≤≤10， 2a3?3?32?????10??当t?19时，S有最大值． 37631此时GP?，OG?，

155?7631??点P的坐标为?，?．

?155?（4）2．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

． 5. 如图①，Rt△ABC中，?B?90?，?CAB?30?．它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点

53)，AB?10，点P从点A出发，沿A?B?C的方向匀速运动，同B的坐标为(5，时点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）求?BAO的度数．

（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P的运动速度．

（3）求（2）中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标． （4）如果点P，Q保持（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，?OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点

P沿这两边运动时，使?OPQ?90?的点P有几个？请说明理由．

y C 30 S B Q P D 10 O x O 5 t （第29题图①）A （第29题图②）

解: （1）∠BAO?60?．

（2）点P的运动速度为2个单位/秒． （3）P(10?t，3t)（0≤t≤5）

?S?12(2t?2)(10?t)

2?????t?9?2?121??4． ?当t?91212时，S有最大值为4， 此时P??1193??2，2??． ??（4）当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90?的点P有2个． ①当点P与点A重合时，∠OPQ?90?，

当点P运动到与点B重合时，OQ的长是12单位长度， 作∠OPM?90?交y轴于点M，作PH?y轴于点H，

由△OPH∽△OPM得：OM?2033?11.5， 所以OQ?OM，从而∠OPQ?90?．

所以当点P在AB边上运动时，∠OPQ?90?的点P有1个．

②同理当点P在BC边上运动时，可算得OQ?12?1033?17.8．yQ M BC H(P)D O A x 第29题图①

而构成直角时交y轴于?0，????353?353，?20.2?17.8， ??3?3?所以∠OCQ?90，从而∠OPQ?90的点P也有1个． 所以当点P沿这两边运动时，∠OPQ?90的点P有2个．

?6. （本题满分14分）如图12，直线y??4x?4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已3知二次函数的图象经过点A、C和点B??1,0?.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒

3个单位长度的速度沿折线OAC 2按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→

当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒A的路线运动，

时，?ODE的面积为S .

①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = .

解：（1）令x?0，则y?4；

0?．C?0，4? 令y?0则x?3．∴A?3，4?， ∵二次函数的图象过点C?0，∴可设二次函数的关系式为

y?ax2?bx?4

0?．B??1，0? 又∵该函数图象过点A?3，∴??0?9a?3b?4，

?0?a?b?4．48，b?． 33解之，得a??∴所求二次函数的关系式为y??428x?x?4 33428x?x?4 334162=??x?1??

33（2）∵y??∴顶点M的坐标为?1，? 过点M作MF?x轴于F

∴S四边形AOCM?S△AFM?S梯形FOCM

yM??16?3?CE1161?16?=??3?1?????4???1?10 232?3?∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC

BOFDAx∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1?t?2，在Rt△AOC中， AC?5．

y1?∴设点E的坐标为?x1，∴

x13?4t?412t?12，∴x1? ∵DE∥OC， 5512t?1238?t ∴t?

3528∵t?>2，不满足1?t?2．

3∴不存在DE∥OC．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

3?4?524（秒） ?311?42现分情况讨论如下： ⅰ）当0?t≤1时，S?13?t?4t?3t2； 22y2? ⅱ）当1?t≤2时，设点E的坐标为?x2，∴

y24?5??4t?4?36?16t，∴y2? 55

（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为y??(x?3)(x?4)??213121x?x?4 33解法二：设抛物线的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，

1?a????9a?3b?4?0?3依题意得：c=4且? 解得?

16a?4b?4?01??b??3? 所以 所求的抛物线的解析式为y??

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB?121x?x?4 33AO2?BO2?32?42?5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

DQCDDQ210 即??,DQ?

ABCA57710252525所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，t? ?1?777725所以t的值是

7（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x??b1? 2a21对称 2所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线x?连接AQ交直线x?1于点M，则MQ+MC的值最小 2过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO

10QEDEQEDQDE 即 ???7?BOABAO453所以QE=

86620208，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）

777777设直线AQ的解析式为y?kx?m(k?0)

8?20?k?m?则?77 由此得 ???3k?m?08?k???41 ?24?m???411?x??824?2所以直线AQ的解析式为y? x? 联立?8244141?y?x???41411?x??128?2由此得? 所以M(,)

241?y?8x?24??4141则：在对称轴上存在点M(

10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝

2128,)，使MQ+MC的值最小。 2411． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

yy

AOBxAOBEx

GCD图 9CD图 10

（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?1分

?a?b?c?0?将A、B、C三点的坐标代入得?9a?3b?c?0 ????????2分

?c??3??a?1?解得：?b??2 ????????3分

?c??3?所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ????????3分 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） ?????????1分 设该表达式为：y?a(x?1)(x?3) ????????2分 将C点的坐标代入得：a?1 ????????3分 所以这个二次函数的表达式为：y?x?2x?3 ????????3分 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） ????????4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

∴E点的坐标为（－3，0） ????????4分 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） ????????5分 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y??x?3

∴E点的坐标为（－3，0） ?????????4分 ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3） ?????????5分 （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得R?221?17 ????6分 2y1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），

?1?17代入抛物线的表达式，解得r? ???7分 2AMO1rrNBx∴圆的半径为

1?17?1?17或． ?????7分

22（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为y??x?1．?????8分 设P（x，x2?2x?3），则Q（x，－x－1），PQ??x2?x?2．

S?APG?S?APQ?S?GPQ?当x?1(?x2?x?2)?3 ????????9分 21时，△APG的面积最大 2?1?2此时P点的坐标为?,?2715??，S?APG的最大值为． ????????10分 4?811．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得

??0＝36a－6b＋8

? 解得?0＝4a＋2b＋8?

?

?8?b＝－3

2a＝－

3

28

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8

33（3）∵AB＝8，OC＝8

1

∴S△ABC ＝×8×8=32

2

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴

40－5mEFBEEF8－m

＝ 即＝ ∴EF＝ ACAB1084

4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

5∴

FG4440－5m＝ ∴FG＝·＝8－m EF554

11

∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

22111

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由：

111

∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，

222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

12.（12分）已知：如图14，抛物线y??相交于点B，点C，直线y??

323点B，与直线y??x?bx?3与x轴交于点A，

443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积． （3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）在y??32x?3中，令y?0 4C E y 3??x2?3?0

4?x1?2，x2??2

·················································· 1分 ?A(?2，0)，B(2，0) ·

A N M D O P B x

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