(06)第6章统计量及其抽样分布

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第 6 章 统计量及其抽样分布

6-1

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第 6 章 统计量及其 抽样分布统计量 关于分布的几个概念 由正态分布导出的几个重要分布 样本均值的分布与中心极限定理 样本比例的抽样分布 两个样本平均值之差的分布 关于样本方差的分布

§6.1 §6.2 §6.3 §6.4 §6.5 §6.6 §6.76-2

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学习目标

1. 理解统计量与分布的几个概念 2. 掌握Z、t、卡方、F四大分布 掌握Z 卡方、 3. 掌握单总体参数(均值/比例/方差)推断 掌握单总体参数(均值/比例/方差) 时样本统计量的分布 4. 掌握双总体参数(均值差)推断时样本统 掌握双总体参数(均值差) 计量的分布6-3

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§6.1 统计量

一. 二. 三. 四.

样本统计量 常用统计量 次序统计量 充分统计量

6-4

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样本统计量的概念

1. 设X1,X2,…,Xn是从总体中抽取的容 量为n的一个样本。 量为n的一个样本。如果由此样本构造出 一个函数T ),不依 一个函数T( X1,X2 ,…, Xn ),不依 赖于任何未知参数，则称函数T 赖于任何未知参数，则称函数T是一个统 计量。 计量。 2. 样本统计量示例：如样本均值、样本比例 样本统计量示例：如样本均值、 、样本方差6-5

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统计学(第三版) 1. 样本均值 X = 1 n X 第三版) ∑in i=1

2. 样本方差 S = 1 ∑( Xi X )2 , S为样本标准差 n 1 i=12

n

3. 样本矩

k阶矩：Ak = 1 ∑ X ik n i =1n

n

( k = 1, 2,L ) > ( k = 2,L )

k阶中心矩：Bk = 1 ∑ ( X i X ) k n i =1n n

当获得样本X1,…, Xn的观察值x1,…, xn后，上述统计量的观察值记为 x = 1 ∑ xi,s2 = 1 ∑(xi x )2, n i=1 n 1 i=1 ak = 1 ∑ x , = 1,2, ), bk = 1 ∑(xi x )k,( k = 2, ) (k n i=1 n i=1k i n n

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样本统计量的概念(例题分析) 例题分析) 1 n 1 n X = ∑Xi , S 2 = ( Xi X i )2 ∑ n i=1 n 1 i=1

【例6.1】设X1~ Xn为样本。 为样本。 解 ： (1)

都是统计量 (2)

T1 = ∑[Xi E(X )] , T2 = [X i E(X )] / D(X )2 i=1

n

都不是统计量6-7

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统计学(第三版) 第三版)思考题：设在总体N ( µ,σ 2 )中抽取样本( X1, X2 , X3 ) , 其中µ已知，σ 2未知 指出在 (1) X1 + X2 + X3 ( 2) X2 + 2µ ( 3) max ( X1, X2 , X3 )

( 4)为什么？

σ

1

Xi2 ( 5) X3 X1 中哪些是统计量，哪些不是统计量， 2∑i=1

3

答：只有(4)不是统计量。例1 设X 1 , X 2 ,..., X n是总体X 的样本，若

µ D( X ) = σ E ( S 2 ) = σ 2 . 则E ( X ) = __, ___, __n

E ( X ) = µ , D( X ) = σ 2, 2

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统计学(第三版) 第三版)1. 样本均值： 样本均值： 2.

常用统计量1 n x = ∑xi n i=1(xi x)2 ∑i=1 n

样本方差s 或标准差S 样本方差s2(或

标准差S):

S2 =

n 1

3. 样本变异(离散)系数V: 样本变异(离散)系数V x

V=

S

4. 样本K阶矩mk:均值为样本1阶矩 样本K阶矩m 均值为样本1 5. 样本K阶中心矩vk: 样本K阶中心矩v 6. 样本偏度α3、样本峰度α4 样本偏度α 样本峰度α6-9

x

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次序统计量

1. 定义：对x1~xn排序，x(1)≤…≤x(n), 排序， 定义： 称x(i)为次序统计量X(i)的观测值。 为次序统计量X 的观测值。 这里：X(1)、X(n)——最小、最大次序统计量 这里： ——最小、 x 最小

2.样本极差R是次序统计量：R= X(n)- X(1) 2.样本极差 是次序统计量： 样本极差R 3.其他次序统计量：如中位数M e、(四)分位数 3.其他次序统计量 如中位数M 、(四 其他次序统计量：

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充分统计量

在实际统计推断中，是用统计量的值进行推 在实际统计推断中， 而不是由样本观测值进行推断。 断，而不是由样本观测值进行推断。即经过 加工之后，有了统计量的值即可。 加工之后，有了统计量的值即可。 统计量加工过程中一点信息都不损失的统计 量通常称为充分统计量。 量通常称为充分统计量。

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充分统计量

例：某电子元件厂欲了解其产品的不合格 质检员抽检了100个电子元件 个电子元件， 率p,质检员抽检了100个电子元件，检 查结果是，除前3个是不合格品( 查结果是，除前3个是不合格品(记为 x1=1, x2=1 , x3=1 ),其它都是合格 =1, ),其它都是合格 品(记为xi=0,i=4,5,…100)。当 记为x =0,i=4, …100)。当 )。 企业领导问及抽样结果时，质检员给出 企业领导问及抽样结果时， 如下两种回答； 如下两种回答；6 - 12

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充分统计量100

(1)抽检的100个元件中有3个不合格(记为 ∑Xi = 3 抽检的100个元件中有 个不合格( 个元件中有3 i= 1 ) 抽检的100个元件中前 个不合格( =1, 个元件中前3 (2)抽检的100个元件中前3个不合格(x1=1, x2=1 , x3=1 ) 这两种回答反映了质检员对样本的两种不同处理思想。 这两种回答反映了质检员对样本的两种不同处理思想。 这两种回答所用的统计量分别为： 这两种回答所用的统计量分别为：

T = ∑Xi 1i= 1

100

T = X1 + X2 + X3 26 - 13

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§6.2 关于分布的几个概念

一. 抽样分布 抽样分布 二. 渐近分布 三. 随机模拟获得的近似分布

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关于分布的几个概念 关于分布的几个概念

1、抽样分布 :指样本统计量的概率分布精确的抽样分布：在正态总体条件下，主要有t、 精确的抽

样分布：在正态总体条件下，主要有t χ2、F分布

2、渐近分布：在样本量n无限增大时，统计量T的 渐近分布：在样本量n无限增大时，统计量T 极限分布样本均值(服从t分布) 样本均值(服从t分布)的渐近分布为正态分布

3、近似分布：根据N次抽样(可用计算机模拟)得 近似分布：根据N次抽样(可用计算机模拟) 到的N个观测值，可做其经验分布函数。 到的N个观测值，可做其经验分布函数。由此 得到的统计量的分布就是随机模拟法所获得的 近似分布6 - 15

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统计学(第三版) 第三版)总体

抽样分布(sampling distribution) distribution)

样 本 6 - 16

计算样本统计 量 例如：样本均 值、比例、方 差

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§6.3 由正态分布导出的几个重要分布

一. χ2分布二. t分布 三. F分布

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统计学由正态分布导出的几个重要分布χ 分布则称 χ = ∑ X i22 n i =1 n

定义：设随机变量X 1 , X 2 , X n 相互独立，X i ～ N ( 0,1) ( i = 1, 2, , n )

(1)

服从自由度为n的χ 2分布，记为χ 2 ～ χ 2 ( n )

自由度指 (1) 式右端包含的独立变量的个数.

f (x)

n =1n = 4 n = 10

0

χ 2分 布 的 概 率 密 度 函 数

x

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χ 2分布的一些重要性质：1. 设χ 2 ～ χ 2 ( n ) , 则有E ( χ 2 ) = n, D ( χ 2 ) = 2n2. 设 1 ～χ2 ( n1) ,Y2 ～ χ2 ( n2 ) ,且 1,Y2相 独 ， 有 1 +Y2 ～χ2 ( n1 +n2 ) Y Y 互 立 则 Y

性质2称为χ 2分布的可加性，可推广到有限个的情形： m 设Yi ~ χ ( ni ) , 且Y1,Y2 , ,Ym相互独立，则∑Yi ~ χ ∑ni i=1 i=1 m 2 2

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