第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2014高考数学---新东方内部

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第十一章排列、组合和二项式定理

1.排列数公式

mAn?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)?n!n(m?n)；An?n!?n(n?1)(n?2)?2?1。

(n?m)! 如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?N*）的个位数字为；（答：3） ②满足A8x?6A8x?2的x＝（答：8）组合数公式

mAnn?(n?1)???(n?m?1)n!0C?m??(m?n)；规定0!?1，Cn?1.

Amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知Cn?Cm?1?An?6，求 n，m的值 .（答：m＝n＝2） (了解)排列数、组合数的性质

①Cnm?Cnn?m；

1②Cnm?Cnm?1?Cnm??1；

kk?1③kCn； ?nCn?1?1④Crr?Crr?1?Crr?2???Cnr?Cnr?； 1⑤n?n!?(n?1)!?n!；

n11??⑥. (n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：

分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），

分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），

有序排列，无序组合．

如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35） ②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）

③从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系

中能确定不同点的个数是_ ；（答：23） ④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12） ⑤?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的

A 顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成___ __个三角形；（答：

C B 90）

⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同

一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 D 种不同涂法；（答：480）

⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）

⑧f是集合M??a,b,c?到集合N???1,0,1?的映射，且f(a)?f(b)

?f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）

3. 解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如①用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个；（答：156）

②某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____；（答：6）

（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____。（答：15）

（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____；（答：2880）

②某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为___；（答：20）

③把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是___ __（答：144）

（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。

如3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有___种；（答：24）（5）定序排列用除法

如①书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有种不同的放法；（答：20）

②某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新

节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。（答：42）

（6）多元问题分类法。

如①某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种；（答：15）

②某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；（答：36）

③9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种；（答：90）

④如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1?a2且a3?a2，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____；（答：240）（7）选取问题先选后排法。

如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是__。（答：576）（8）至多至少问题间接法。

如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）

（9）相同元素分组（指标分配）可采用隔板法。

如①10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；）

②某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。

如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；

5.二项式定理：

r0n1rn?rrnna?Cn1an?b???Cnab???Cnb，其中组合数Cn叫做第r+1项 (a?b)n?Cnrn?rr的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项Tr?1?Cnab(r?0,1,2,?,n)称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项. 特别提醒：

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在(ax?b)n的展开式中，第r+1项的二项式系数为

1rrn?rrCn，第r+1项的系数为Cn ab；而(x?)n的展开式中的系数就是二项式系数；

x17)的展开式中常数项是_ ___；如①(2x3?（答：14） x②(1?x)3?(1?x)4???(1?x)10的展开式中的x3的系数为_____ ；（答：330） ③数11100?1的末尾连续出现零的个数是_ ___；（答：3） 6、二项式系数的性质：

mn?m （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn； ?Cn （2）增减性与最大值：二项式系数Crn在中间取得最大值。当n为偶数时，中

n间一项（第＋1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第

2n?1n?1和＋1项）的二项式系数相等并同时取最大值。 22 如①在二项式(x?1)11的展开式中，系数最小的项的系数为_____；

（答：－462）

②在(1?x)n的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n＝___ _。（答：17,18或19）（3）二项式系数的和：

n01r0213???Cn?2n；CnCn?Cn???Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1。

7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和 929 如①已知(1?3x)??|a9|等于?a0?a1x?a??a2x?9x，则a0?a1?|a2|?__ ；（答：49）

②(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2???a2004x2004，则(a0?a1)?(a0?a2)＋

（答：2004） ??(a0?a2004)＝_ ____；

③设(1?x?x2)n?a0?a1x?a2x2???a2nx2n,则a0?a2???a2n?_____。

3n?1（答：）

2?A?Ar?18、系数最大项的求法：设第r项的系数Ar最大，由不等式组?r确定r。

?Ar?Ar?113 如求(x?x)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。

2139105（答：系数绝对值最大的项为?15x2，系数最大的项为x3）

第十二章概率

1.随机事件A的概率0?P(A)?1，其中当P(A)?1时称为必然事件；当P(A)?0时称为不可能事件P(A)=0；

m2.古典概型（等可能事件的概率）： P(A)=。理解这里m、ｎ的意义。

n如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个

3数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：）；

8 （2）(理科)设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3

21044件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；

125152110④） 21 3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、或体

构成事件A的区域的几何度量（长度、面积或体积）积成比例。公式是p(A)=.

实验的全部结果构成的区域几何度量如：在面积为10cm2的?ABC内任取一点P，求所得的ΔPBC面积小于5cm23的概率。（答案：）

44.互斥事件：A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。

如（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，

8）； 21 （2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；

（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统

??1?n?n?5???P?0?,1计得到 P?n???? ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里2???0,n?6?32一个人也没有的概率P（0）的值是（答：）

635.对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A?B)＝P(A) ? P(B) 。提醒：

（1）如果事件A、B独立，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是独立事

（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A?B）＝1－P(A)P(B)；

（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（A?B）＝1－P(A)P(B)。

1如（1）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B

92发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是______（答：）；

3 （2）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：0.228；0.564）；

（3）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球

1的颜色全相同的概率是________（答：）；

9 （4）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前二关的概率是________

25（答：）；

366.（理科）独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了的．．．．．k次．从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：概率Pn(k)?Cnp(1?p)(是二项展开式[(1?p)?p]n的第k+1项)，其中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

kkn?k

1如:小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获

34得通过的概率是_______（答：）；

9提醒：

概率问题的解题规范：①先设事件A=“?”， B=“?”；②列式计算；③作答。 7.条件概率：在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫作条件概率.其

P(AB)公式为：P(B/A)?．如：①一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则

P(A)212先摸出1个白球后放回，再摸出一个白球的概率是（）A. B. C.

3451D.（答案：C） ②已知男人中有5℅患色盲，女人中0.25℅有患色盲．从1005个男人和100个女人中任选一人，（1）求此人患色盲的概率；（2）若此人是色盲，

2120求此人是男人的概率（答案：（1），（2））

80021 统计

一.抽样方法：

(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；

(2)系统抽样，常常用于总体个数较多时,主要特征是先分组，从每组中按规定抽取一个；

(3)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要用于总体中的个体有明显差异。

n共同点：每个个体被抽到的概率都相等。

N如（1）从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为______；

（2）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= _______；

（3）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______；

二.总体分布的估计：用样本估计总体，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)“表”(频率分布表)；（2）“图”(频率分布直方图)。提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。如（1）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： (10,20],2；(20,30],3；

(30,40],4；(40,50],5；(50,60],4；(60,70],2；则样本在区间(?50,50]上的频率为（）

A．5% B．25%

频率/组距 C．50% D．70%；（2）如图2是一次数学考试成绩的样本频率分布直方0.018 图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则0.012 0.009 0.006 0.005 分数

0 图2

60 80 100

样本中的及格人数是_____；

三．n个实数的样本平均数：

11n x?(x1?x2???xn)??xi。

nni?11样本方差：s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]；

n四．（理科学生阅读）设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,? ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

? x1 p1 x2 p2 P … … xi pi … …

性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.

③称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值. ④随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b

⑤二项分布：E??np 其分布列为?～B(n,p).（P为发生?的概率）五．方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，

则称D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)2pn??为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．六．方差的性质.

(1)随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） (2)二项分布：D??npq

七．正态分布.（理科，需要了解）

八．(1)正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12??e?(x??)22?2.

（x?R,?,?为常数，且??0），称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?2)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

(2)正态分布的期望与方差：若?～N(?,?2)，则ξ的期望与方差分别为：

E???,D???2.

(3)正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.

(4) 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(ξ?k)?Cnpqk?0,1,?,n,q?1?p]

kkn?k[其中

提醒：若x1,x2,?,xn的平均数为x，方差为s2，则ax1?b,ax2?b,?,axn?b的平均数为ax?b，方差为a2s2。

如①已知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

3x1?7,3x2?7,?,3xn?7的平均数和标准差分别为 ( )