高一数学（实验体系）期中答题卡 - 3

2011年深圳市第二届“启智杯”数学思维能力竞赛

初中组试题参考答案及评分标准

考试时间：2011年12月3日（周六) 下午15∶00—17∶00

说明：请将答案或解答过程直接写在各题的填空处.本卷共13题，每题10分，满分130分.

1. 观察下列代数式: 尽可能多地写出它们的共同特点.

(1) x2?2x?2; (2) 2x2?3x?2; (3) x2?3x?3;(4) 5x2?8x?4.

答案: 都是三项式; 系数和都是1; 二次项系数都是正数,一次项系数都是负数;常数项都是正数;都是整式. 注：写出一个给3分，写出两个给6分，写出三个给9分，写出四个以上给10分。

2.已知：? + Δ= □ ? = Δ + ?

□ + □ = ? + ? + ? 那么一个?等于____个Δ.

答案: ?=5Δ。

3．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如9+8=17，也可写成9(10)?8(10)?17(10)；在四进制加法中，逢四进一，如3(4)?2(4)?11(4),那么在n进制中有等式55(n)?43(n)?142(n)，则n? . 答案: 6.

4.把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上,使得四个啤酒瓶底中相等.请写出摆法关键步骤(可画图辅助说明): .

解答：先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心P的位置，保持中心P移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，成四个边长相等的“正三角形”如图.

注：答案不唯一，如果学生表述不到位，但只要给出方法即算全对.

5．所有分母大于2006不超过2011的真分数的和等于

答案: 5020。

12320061???????2006 解析：分组计算

20072007200720072 ……..

12320101???????2010

201120112011201121 总和(2006?2007?2008?2009?2010)?5020。

2

心的距离两两

的位置，再将一个的位置不变，适当可使瓶底中心构存在实现可能性，

______.

6．自然数1，2，3，?，按下表规律排列.横排为行，记数据1，2，3，4的那一行为第一行，依次记下面的

各行为分别是第2行，第3行，?.试问2011位于该表的第 行，并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字: . 启 智 杯 竞 赛 有 趣 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 14 13 12 15 16 17 18 ? ? ? ? ? ? ? 答案：575；杯.

解析：因为表中每两行有7个数字，2011被7除得商287（为奇数），余数2，所以2011在287?2?1?575行，第三列，对应“杯”字.

注：每空5分.

7．一半径为1的圆作滚动运动（如图），它从A位置开始，滚过与它半径相同的其它六个圆的上部，到达B位置，则该圆圆心行使的路程为 . （用分数表示） ? ? ? ? ? ? ? ? B A

1116答案：2??2??2?4??2??2??.

363

8．在“非常6+1”的现场，台上有标号1、2、3、4四个悬挂着的金蛋，其中两个里面分别是价值2000元手机，另外两个里面分别是价值3500元的笔记本电脑和价值500元的移动硬盘，一位幸运观众上台抽奖，他选择了1号金蛋，但主持人在准备砸蛋时，不小心碰碎了2号金蛋，发现是手机，于是，主持人做出了一个决定：给这位幸运观众一个重新选择的机会，如果你是这位幸运观众，你是继续选1号还是选其他号金蛋以获取最大的奖励，说明你选择的理由.

答案：应该变，这样你获取最大的奖励的概率会由四分之一提高一到八分之三。

开始，你选择四个鸡蛋中任意一个的可能性是一样的,均为四分之一，即选到电脑的可能性是四分之一。但到了第二阶段，根据你是否改变选择，情况变成了下图情况，显然，改变初始选择后，出现八种情况，其中三种情况抽到电脑，即抽到电脑的可能变成八分之三。

硬盘

电脑 手机 变 不变 变 不变 手机 电脑 电脑 硬盘 手机 电脑 硬盘 手机 手机 电脑 硬盘 手机 硬盘 变 不变 变 不变

注：指出变的学生给5分，能从可能性或概率角度解释原因可给8分。从可能性或概率大小变化角度定量正确解释给10分。

9．我们知道等腰直角三角形就是有两条边相等的直角三角形.如图，能否把一个边长为7的正方形纸片裁成7个等腰直角三角形纸片，其中任意两个三角形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形），请在所给图中画出裁剪方法.

答案：能，如图所示（答案不唯一）。 注；判断正确给4分，正确画出裁剪方式给10分。注意答案可能不唯一。

12410．密码的使用对现代社会是极其重要的.有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数1，2，3，?，25，26对应（见下表）, 设明文的任一字母对应的自然数为x，通过某种规定的对应运算把x转化成对应的自然数x?，x?对应的字母为密文.

Q W E R T Y U I O P A S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 F G H J K L Z X C V B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

例如，有一种译码方法按照以下变换实现：

x?x?，其中x?是(3x?2)被26除所得的余数与1之和(1?x?26).

则x?1时，x??6，即明文Q译为密文Y； x?10时，x??7，即明文P译为密文U.

现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?：x?x?，x?为(3x?m)被26除所得余数与1之和(1?x?26, 1?m?26).

已知运用此变换，明文H译为密文T，则密文QI(启的汉语拼音)的明文是字母是 .

答案：YJ

解答：由于H和T对应的数字分别为16和5，按照明密文变换的规则可知：(3?16?m)被26除所得余数与1之和为5，所以3?16?m?52?4,m?52?4?48?8.因此该变换将明文字母对应的自然数x变换为密文字母相应的自然数x?的规则是：x?为?3x?8?被26除所得余数与1之和。

因为密文Q对应于x?=1，设其明文对应的数字为x，则x满足?3x?8?被26除所得余数为0，x = 6，对应的字母为Y。

因为密文I对应于x?= 8，设其明文对应的数字为x，则x满足?3x?8?被26除所得余数为7，即?3x?1?被26整除，得x = 17，对应的字母为J。 因此，密文QI对应的明文是YJ。

11．一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的.P为上底面ABCD的中心，如果挖去（如图）的阴影部分的四棱锥，剩下的部分还包括 个完整的棱长是1厘米的小正方体.

答案：56. 解析：剩下的部分：从上往下，第一层有25-1=24个；第二层有25-9=16个；第三层有25-9=16个；第四层、第五层有0个，故共有56个完整的棱长是1厘米的小正方体. 12．深圳世界大学生运动会大型团体操排练时，各排都有240名队员面向主席台站好，指挥发出指令:第一步,各排自左向右按1、2、3、4、5、?、240报数；第二步:报数是3的倍数者向后转；第三步,报数是5的倍数者向后转；第四步,报数是7的倍数者向后转.做完这一系列动作后，各排面对主席台自左至右第61位队员所报的数是 。 答案：106.

解析：用?x?表示x的整数部分，则

240?3?80,240?5?48,?240?7??34，240?15?16,?240?21??11,?240?35??6,?240?105??2， 此时面对主席台的队员人数为240?(80?48?34)?2(16?11?6)?4?2?136；

同理可以计算出自左至右第1位至第105位队员中，面对主席台的队员人数有60名，因为所报数字不是3、5、7的倍数的队员没有转动，所报数字是3、5、7中两个数字的倍数的队员转动两次也面对主席台，其余转动1次或3次，一定背对主席台，因此从106开始考虑符合条件的队员所报数字：应该是106、107、109、113、116、118、120、?，因此，第61位队员所报数字是106. 13．下面是一个除法竖式，请把它补充完整 .

□ 7 □ □ □

□□□ □ □ □ □ □ □ □ □

□ □ □ □

□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

□ □ □ □ □ □ □ □

0 答案：补充竖式：

9 7 8 0 9

7 8 3 1 6 1 2 4 1 2 1 2 1 1 1 9 6 6 8

0

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