2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题
更新时间:2024-05-15 01:54:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题
一、填空题
1.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a+4},A∩B={3},则实数a=______ ________ 【答案】1 【解析】略
2.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______ ________ 【答案】 【解析】略
3.盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ __ 【答案】1/2 【解析】略
4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有____根在棉花纤维的长度小于20mm。 【答案】30 【解析】略
5.设函数f(x)=x(e+ae),x∈R,是偶函数,则实数a=________________
x
-x
2
【答案】-1 【解析】略
6.在平面直角坐标系xOy中,双曲线线右焦点的距离是__________ 【答案】4 【解析】略
上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲
7.右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______ _______
【答案】63 【解析】略
8.函数y=x(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+bk为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____ _____ 【答案】21 【解析】略
9.在平面直角坐标系xOy中,已知圆1,则实数c的取值范围是______ _____ 【答案】(-39,+39) 【解析】略 10.定义在区间
上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x
上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为
2
轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为____________ 【答案】2/3 【解析】略 11.已知函数【答案】(-1,-1) 【解析】略 12.设实数x,y满足3≤【答案】27 【解析】略
13.在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,【答案】4 【解析】略
14.将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=
,则S的最小值是_______ _______
,则
__
≤8,4≤
≤9,则
的最大值是_____ ____
,则满足不等式
的x的范围是____ ____
【答案】32/3 【解析】略 二、解答题
1.(14分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足(【答案】(1)求两条对角线长即为求由由(2)∵(易求所以由(【解析】略
2.(14分)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,
0
∠BCD=90
)·
,)·
, =0得
。
,得,得,
, )·
=0,求t的值
与, 。
,
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离 【答案】(1)∵PD⊥平面ABCD,∴(2)设点A到平面PBC的距离为, ∵容易求出【解析】略
,∴
,又
,∴
面
,∴
。
3.(14分)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值
(2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大 【答案】(1)∵(2)略 【解析】略
4.(16分)在平面直角坐标系为F,设过点T(
中,如图,已知椭圆
的左右顶点为A,B,右顶点,
,其中m>0,
,
,∴
)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M
①设动点P满足②设③设
,求点P的轨迹
,求点T的坐标
,求证:直线MN必过x轴上的一定点
(其坐标与m无关) 【答案】
直线,
化简得令
,解得
,即直线
过轴上定点
。
【解析】略
5.(16分)设各项均为正数的数列为的等差数列. ①求数列
的通项公式(用
的前n项和为
,已知
,数列
是公差
表示)
的任意正整数
,不等式
都成立。求证:
②设为实数,对满足的最大值为 【答案】
【解析】略
6.(16分)设使定义在区间其中对任意的都有
. (1)设函数①求证:函数②求函数(2)已知函数
具有性质
上的函数,其导函数为>0,使得
.如果存在实数和函数,则称函数具有性质
,
,其中为实数
的单调区间 具有性质
,且
,给定,若|
,
|<|
|,求的取值范围 ,则有如下解答:
【答案】(1)估计该问题目有错,似乎为①∵
时,
具有性质
恒成立, ;
∴函数
【解析】略
7.21(从以下四个题中任选两个作答,每题10分) (1)几何证明选讲
AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证AB=2BC
(2)矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中,A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0,k∈R,M=
,N=
,点A、B、C
在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求实数k的值 (3)参数方程与极坐标
在极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值 (4)不等式证明选讲 已知实数a,b≥0,求证:
【答案】 【解析】略
8.(10分)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立
(1)记x(单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求x的分布列 (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 【答案】(1) X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 (2)依题意,至少需要生产3件一等品
答:………… 【解析】略
9.(10分)已知△ABC的三边长为有理数 (1)求证cosA是有理数
(2)对任意正整数n,求证cosnA也是有理数 【答案】(1)设三边长分别为(理数 (2)∵当
时,∵
,∴
也是有理数,
为互质的整数)形式∴
,
,∵
是有理数,
均可表示为
必能表示为(为互质的整数)形式,∴cosA是有
∴∵cosA,
,
是有理数,∴是有理数,∴是有理数,……,依次类推,当为有理数时,必为有理数。
【解析】略
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