2018年华罗庚金杯少年数学邀请赛香港赛区决赛初中一年级组试题答

初中一年级组试题

一、 填空题（每小题 10 分, 共 80 分）

1.

?3.875 ? ?0.775 ? 10.3? ?

31837??? 83115

2. 已知 x2 ? y2 ? 4 ? 2x ? xy ? 2 y , 那么 x3 ? x2 y ? xy2 ? y3 的值是 32 .

3. 长方形的长和宽分别是 20 厘米和 10 厘米，如

右图所示，有两个扇形，那么阴影部分的扇形 的面积是 78.5 3.14） 平方厘米．（? 取

4. 网上书店的会员可以享受原价 8 折的会员价，

寒假时促销活动又给每位会员赠送了每满 100 元减 50 元的优惠券，优惠券 可以单独使用也可以和会员价叠加使用.大明在买书时发现，单独使用优惠券 9 元，那么他购买的书原价 竟然比和会员价叠加使用优惠券更划算，节省了 是 205 元.

5. 一个口袋里有三种球，分别标有数字 2，5 和 7. 小王从中摸出 15 个球，它

63. 则小王最多摸出 们的数字之和是

8 2 的球. 个标有数字

6. 已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积分别为

2018 和 1984，B 在 EF 上，则三角形 ABE 的面积是

17

. .

7. 整数 a, b, c 为三角形的三边，且满足 a＞b＞c，a + c=2b，a2 ? b2 ? c2 ? 1947 ；

b= 25 则

.

a?b?c28. 设 a, b, c 是从 1 到 9 的互不相同的正整数，abc的最大值是：21

10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 二、解答下列各题（每题

9. 有两个盒子 A、B 中分别装着不同数量的两种小球，两盒子小球的总重量是

A、B 盒子中拿出一个小球，放入 C 盒子中，记为一次操作. 一样的. 同时从

C 盒子开始为空，50 次操作后，B 盒子一样. 又经 经过 其中小球的总重量与 25 次操作，C 盒子小球的总重量与 A 盒子一样. 继续操作直到 A、B 盒子 过

中有一个为空时停止操作，A、B 盒子中剩余的小球总重量为 48 克，那么此 C 盒子中的小球总重量为多少克？ 时

答案: 80

m ，A 盒子中单个小球重量为 1，B 盒子中单个小球重量 理由:设 A 盒子的小球数量为

B 盒子小球轻）.当 C 盒子与 B 盒子一样 为 k. 根据题目，可以判断 k ? 1 （A 盒子小球比

重时，B 盒子的重量为 m ? 50k . 当 C 盒子与 A 盒子一样重时，A 盒子的重量为 m ? 75 .所

以

? m ? 75? ? ? m ? 50k ? ? 25 ? k ? 1??

解方程得 k ? 4 . 所以 A、B 盒子中的单个小球重量是 1 比 4，数量是 4 比 1.

B 盒子中的小球取光时，A 盒子还剩下四分之三的小球，此时 A 盒子与 C 盒子的重 当

量比为 3 比 5，所以 C 盒子中的小球重量为 48 ?? ? 80 克.

3

5

, 30 中选出一些数，使得其中任意两个整数，它们的和 10. 从 30 个整数1, 2, 3,

3 倍的倍数，至多可以选出多少个整数？ 不是它们差（大减小）的

答案：16

, 30 分成如下 30 个整数1, 2, 3, 16 组： 理由：将

{1,2}, {4,5}, {7,8}, {10,11}, {13,14}, {16,17}, {19,20}, {22,23}, {25,26}, {28,29}, {3,6}, {9,18}, {12,24}, {15,30}, {21}, {27}

, 30 中任选 16 个抽屉，若从1, 2, 3, 17 个，则必有 2 个选自同一组，它们的和是 相当于有

3 倍的倍数. 差的

若选出 16 个整数是 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,3,9,12,30,21,27, 其中任意 2 个，其和不是

3 倍的倍数. 所以，至多可以选出 16 个. 其差

11. 一个四位数，分成 2 个两位数，1 个是千位和百位，另一个是十位和个位，

这两个二位数的乘积的 2 倍等于原四位数.这个四位数是多少？ 答案：1352

解答：此两个两位数设为 x 和 y

2xy=100x+y，(2x?1)y=100x. 因为 x 与 2x?1 互素，故 x 只能除尽 y，令

y=ax，则(2x?1)a=100.2x?1 是奇数，只能是 25 的因子 1，5，25 这三者之

一，即 x 是 1，3，13 这三者之一.于是 a 是 100，20，4 这三者之一，即 y

是 100，60，52 这三者之一.第一个当然不可能，第三个结果就是 1352.y 是

60，x 不是两位数.

三角形 12. 右图中，ABCD 是平行四边形，AE=2EB，EBF

的面积是 1，则平行四边形 ABCD 的面积是多少？

答案：24

ABCD 的面积是 6x. 解答：设行四边形

DE，三角形 EBD 面积= x，三角形 CBE 面积= x，三角形 CBD 面积 连接

=3x. 应用“共边定理”，列解方程： S?CBDS?EBDDB?? S?EBFS?CBE?S?EBFFBx3x? ,x ? 4. 1x?1

ABCD 的面积是 24. 所以，平行四边形

三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）

13. 某工厂每天用于生产甲产品和乙产品的全部劳动力为 90 个工时，原料为 80

个单位.生产甲产品需要 2 个工时和 4 个单位的原料，生产乙产品需要 3 个 工时和 1 个单位的原料.则每天生产甲、乙产品的总数最多是( ). 答案：35

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