§14.4 圆锥曲线的应用

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

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圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的方程．

分析 设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则有

1 S?ABF?S?AOF?S?BOF=(|y1|+|y2|)OF2．

2222 又OF2=半焦距，所以只需求出y1、y2．又因为交点A、B的坐标取决于直线AB的斜率k，因此由上式中y1、y2与k之间的关系可求得k．

解 由椭圆方程可知，a2=45， b2=20，c2=a2-b2=25．所以

OF2=c=5．

设直线AB的斜率为k，则AB的直线方程为y=kx．设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

? F2 B 图14-15

4 2 y A x O 2 4 6 ? F1 x2y2 ??1； 从联立方程组 45 20 中消去x，得 y=kx

(9k2+4)y2＝180k2，

解出 |y1|=|y2|=|180k2|4?9k2?65k4?9k2．

又S?ABF2?S?AOF2?S?BOF2=

1(|y1|+|y2|)OF2=20，即 25?65|k|=20，

4?9k2解得 k=?

所以所求的直线方程为y=?

4． 34x． 3 63

例2 已知等轴双曲线x2-y2=4和直线l： y=k(x-1)． (1) 当k取何值时，直线l与双曲线有两个公共点？ (2) 当k取何值时，直线l与双曲线有且仅有一个公共点？ (3) 当k取何值时，直线l与双曲线没有公共点？

x2-y2=4，

解的分析 直线与双曲线的公共点的个数取决于联立方程

y=k(x-1)

个数．

解 将y=k(x-1)代入x2-y2=4，得

1-k2)x2+2k2x-k2-4=0． (＊)

当1-k2=0，即k=?1时，方程(＊)可化为2x-5=0，此时方程只有一个实数解．

当1-k2?0，即k??1时，(＊) 的判别式

?=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2)．

4-3k2>0，

2323当 2 即-

1-k?0， 33同的实数解；

4-3k2=0， 23当 即k=?时，方程(＊) 有两个相同的实数解;

231-k?0， 4-3k2<0，

2323当 2 即k<-或k>时，方程(＊)无实数解．

1-k?0， 332323

32323 (3)当k<-或k>时，直线与双曲线没有公共点． 33

注意 双曲线的渐近线是y=?x，所以情况(2)还可以细分为两种情况：

综上，(1)当-当k=?1，l平行于渐近线，l与双曲线相交于一点；当k=?双曲线相切于一点(如图14-16)．

从上面两例可见，求直线与圆锥曲线的交点，就是要求由一个二元二次方程和一个二元一次方程联立的方程组的解．若有两解，则直线与圆锥曲线相交．若有一解，则在椭圆情况，直线必定与之相切；在双曲线或抛物线情况，则可能相交，也可能相切．若无解，则直线与圆锥曲线相离．

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y ? x 23时，l与3图14-16

课内练习1

1．直线y=kx+1 (k>0)与椭圆x2?求k．

2. 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围．

2. 圆锥曲线相交

圆锥曲线相交，一般要涉及解两个二元二次方程组的问题，因此目前只能解决一些较特殊的情况．

例4 14-17)，

(1) 求b；

(2) 如果P是两条曲线的交点，且F1为椭圆的另一个焦点，求?PF1F2

的面积．

解 (1)由抛物线方程可知，其与椭圆的公共焦点坐标为F2(1，0)，所以

b2=9-1=8，b=22．

? F2 O 1 3 2 6y2B两点，|AB|=2，?1相交于A、

52已知抛物线y2=4x和椭圆方程为

x2y2??1有共同焦点F2(如图9by P ? x ? F1 P1 2 3 x2y2所以椭圆方程为??1．

98(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，点P坐标为(x，y)满足方程组

图14-17

x2y2 ??1，

98 y2=4x，

消去y，得2x2+9x-18=0，解得x1=

3， x2=-6(舍去)． 2代回方程组可得y=±6，从而|PM|=6．

S?PF1F2=1|F1F2||PM|=1?2?6=6．

22

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课内练习2

1．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴负半轴上，与椭圆x2y24?3?1有

相同的焦点，求抛物线和椭圆的交点坐标．

2．已知椭圆x22?y2?1及点B(0，-2)，过椭圆的左焦点F1与B的直线

交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求?CDF2的面积．

3．简单实际应用

圆锥曲线在生活和生产实际中也有很多应用，下面举一些简单的实例． (1)抛物线光学性质的应用

能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物线，它有一个特性：从置放在抛物线焦点的点光源发出的光线，经抛物线反射后的光线都是平行的；反之，入射的平行光线经抛物线反射后的光线都经过焦点(如图14-18)．这种性质在光学上叫做聚焦性质．抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等的反射镜面，像碗碟一样卫星通讯接收或发射天线以及太阳能热水器等，都是利用这个聚能特性设计的．

例5 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图14-19(1)，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线的设计尺寸如图14-19(2) (单位cm)．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？(精确到0.1cm) F y 5 85 x O 40

图14-19(1)

图14-19(2) 解 以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标系如图14-19(2)，则内壁抛物线方程为y2=2px．

据所示尺寸，抛物线过坐标为(40，85)的点，所以 852=2p?40=80p，p?90.3．

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? 图14-18

加热点F应置于抛物线的焦点，而焦点坐标为 (45.2，0)，所以F应距碟底约45.2cm．

(2)圆锥曲线在建筑中的应用

圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不乏应用，特别是当前流行的大型薄壳顶棚建筑，其纵剖线很多都是圆锥曲线．

例6 以石油作为主要原料的合成化工厂的巨大反应塔或燃油发电厂的大型通风冷却塔等，因塔身巨大，为减小建筑成本和自重，需要将其设计成所谓等压力体，即塔身每点处承受相同的压力．经力学分析发现，以纵剖线近似为双曲线的塔身(也即塔的外形是双曲线的一段绕虚轴旋转所得到的曲面)能满足要求．现有一如图14-20(1)所示等压力结构的反应塔，其高为55m，塔的底部直径为27m，上口直径为14m，最细的腰部直径为12m，请据此算出它的外形是怎样的双曲线的一段绕虚轴旋转得到的．

解 在纵的总剖面上，以旋转轴为y轴，旋转轴与腰部最细处的横截面的交点为原点，建立如图14-20(2) 所示的坐标系，则塔身在此面上成为实轴在x轴上的双曲线的一段．用C、A、B三点分别表示塔底部、腰部、上口部，易知它们的坐标分别为A(6，0)， B(7，yB)，C(13.5，yC)，其中C、B的纵坐标还满足 yB=55+yC．

12 27 图14-20(1)

y ? B 6 7 13.5 ? x A O 55 14 xy=1． ?22ab因为A是双曲线的顶点，所以a=6．

又因为B、C在双曲线上，所以

22设双曲线的方程为

55 22(55?y)7C =1， (1) ?226b? C 图14-20(2)

213.52yC ?2=1． (2) 26b36362由(1)解出b2=(55+yC)2，由(2)解出b2=；由此得到 yC146.251336362 ( yC +55)2=． yC146.2513化简，并取两位小数，得到yC的方程：

2 yC+120.73yC+3320.12=0，

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解出 yC=

1(-120.73?35.99)． 2因为yB=55+yC>0，因此应取正号，所以yC?-42.37； b2=

36(-42.37)2， b?21.02， 146.25yB=55-42.37=12.63．

22xy 所以塔身系上述坐标系中方程似为=1的双曲线上在点B(7，?3644112.63)、C(13.5，-42.37)之间的一段绕y轴旋转而得．

例 7 日本大坂机场以建造在填海而成的人造岛上闻名于世，并且就其建筑本身而言，日本大坂机场也是人类建筑史上的奇迹．为了解决地面建筑必须有一定的高度，但高度又会导致负荷过重使地面下沉的矛盾，并考虑到因人造岛基础沉降需要随时调节建筑支柱高度的需要，建筑师们采用了薄壳顶棚结构．日本大坂机场整个屋面的纵断面是一条巨大的椭圆曲线，其几何中心在地下20 km的深处(如图14-21(1)，其中呈轴对称的AB曲线段即为纵剖面上的椭圆段)．请根据图上设计尺寸(单位：m)求出椭圆的方程．

解 以曲线段AB的对称轴为y轴，距顶棚最高点20092处为原点，建立坐标系(如图14-21(1) )，则

A(900，20060)，B(-900，20060)， C(0，20092)，

B ? 1800 图14-21(1)

y C ? ? B A x ?A 92 xy=1． ?22mn因为C是椭圆在y轴上的顶点，所以n=20092．

2260 设椭圆方程为

9002200602再以点A的坐标代入，得2?=1，解得m?15952.8． 2m20092x2y2所以椭圆方程为=1． ?215952.8220092

(3)圆锥曲线与天文计算

因为太阳系中天体运动轨道几乎都是圆锥曲线，古代人们为了占卜及预报日食、月食等需要，对圆锥曲线作了大量研究，不但使圆锥曲线成为最早认识的非圆曲线，也促进了数学本身的发展．

人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道．

例8 我国发射的一颗通讯地球卫星的运行轨道，是以地心C为一个焦

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O 图14-21(2) y B ? ? ? O C ? x A 图14-22

点的椭圆，近地点A距地面为439km，远地点 B距地面为2384km，且A、C、B在同一直线上．地球半径为6371km，求卫星的运行轨道方程．(精确到1km)

解 以AB为x轴，AB的中点为原点建立如图14-22所示的直角坐标系．设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则 a-c=CA=6371+439=6810， a+c=BC=6371+2384=8755，

解得 a=7782.5，c=972.5，b=a2?c2?7721.5．

22xy所以椭圆轨道近似为=1． ?(7783)2(7722)2

课内练习3

1. 碟形卫星通讯天线的外形示意图如图14-23(1)，碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以厘米为单位的设计尺寸如图14-23(2)所示．为了达到最佳接收效果，应把接收器F置于距碟底多少厘米的地方？

图14-23(1)

90 图14-23(2)

285 F 2. 学校里要建立一座标志性雕塑建筑，在同学中征集设计方案．有一位同学的设计主体是由四条粗大的管形曲线组成的支架，其上顶托一个圆球(如图14-24)．他在设计说明中指出，这个建筑总体外形如同一个宝瓶，形象简洁美观．从每个角度看过去，像一个“人”字，比喻教育树人；又像一个英文字母“x”，含探索未知世界的志向；圆球象征地球，表明背负保护、改造地球的重任．他的设计方案中选．施工单位提出，为了节省成本，采用薄形钢管为支架主材，因此宜用等压力结构，要求设计者提出钢管曲线数据．在这位同学的设计中，只标明了正方形边长7m，钢管高度8.5m，钢管上顶组成的正方形边长2.5m，而最细的腰部的正方形边长1.5m．到底是什么曲线

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图14-24

4

他也说不清．你能助他一臂之力吗？

3. 我国发射的第一颗科学试验卫星的轨道参数为：近地点182.6km，远地点266.0km，其余条件同例8，求该卫星的运行轨道方程．

阅读材料

圆锥曲线的力学背景

椭圆、双曲线的名称可以说根据各自图象的形状得到的，那么为什么把离心率等于1的圆锥曲线与物理味道很浓的抛物线联系在一起呢？这是因为当以一定的仰角?和初速度v抛射一个有一定质量的物体(例如一个球)时，在初速度不太大及理想情况下，物体由于地球引力作用，在空中飞行的路线正好是一条以到达的最高点为顶点，离心率为1的圆锥曲线(如图1)，因此自然地把它命名为抛物线．此时抛物线的焦点是地心．

如果初速度v能达到略超过9.8km/s，那么球就不会回落到地面上来了，而是在引力作用下，成为围绕地球运行的一颗“卫星”，运行轨道恰好是以地心O1作为一个焦点的椭圆(如图2中l1)．9.8km/s的速度叫做第一宇宙速度．

如果初速度v再大一些，能达到第二宇宙速度11.3km/s，那么球还能脱离地球的引力，进入太阳引力范围，成为围绕太阳运行的“行星”，它的运行轨道仍然是一个椭圆(如图2中l2)，太阳O是椭圆的焦点之一．初速度v越大，轨道椭圆就越“扁”，椭圆的离心率e就越接近1，也即椭圆的另一个焦点离太阳越远，此时球有点像“彗星”了――彗星通常在很“扁”的椭圆轨道上绕太阳运行．

设想物体的初速度能达到16km/s的第三宇宙速度，那么物体还能挣脱太阳的引力，这时物体的运行轨道将是一条以太阳为焦点的抛物线(如图2中l3)，也就是说物体将离太阳而去，永远不会回来了．

如果球的初速度超过了第三宇宙速度，则物体将沿以太阳作为一个焦点的双曲线轨道(如图2中l4)离太阳而去，成了茫茫宇宙中的一个“旅行者”． 人们在古代就因为农耕、占卜等的需要而关心天空中天体的运行，特别是太阳系中行星的运行，发现它们的运行轨道似圆非圆，很难精确地描述规律．人们直到对数学、力学的研究有了一定的建树，才得以在黄道面上精确地建立起它们的方程，发现所有行星运行轨道是以太阳为一个焦点，离心率各不相同的椭圆，从而可以精确地预测它们在天空中出现的位置，预报日食、月食的精确时间．近代，在力学进一步发展后人们发现，运行轨道之所以不同，全在于速度．现代数学、力学的成果，让人们知道了不同宇宙速度对天

图2

? v O ? 图1

l4 l3 l2 O l1 O1 ? 70

体运动的影响，掌握了捉摸不定的彗星的运行轨道，同时也为人类的太空探索奠定了基础．因此，古老的圆锥曲线对数学及人类科技文明的发展是功不可没的．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jyt7.html