北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试

数学试卷（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

i3

1. 复数等于（ ）

1 i

A.

11 i 22

B.

11

i 22

C.

11 i 22

D.

11 i 22

32

2. A4＝（ ） C4

A. 6 B. 12 C. 18 D. 20

3. 计算定积分A. 2

2

xdx＝（ ）

B. 1

C. 4

D. －2

4. 已知从A口袋中摸出一个球是红球的概率为

12

，从B口袋中摸出一个球是红球的概率为。现35

3

5

从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是（ ）

A.

2 15

B.

2 5

C.

7 15

D.

5. 从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（ ） A. 24个

B. 20个

C. 18个

D. 15个

6. 如果用反证法证明“数列{an}的各项均小于2”，那么应假设（ ） A. 数列{an}的各项均大于2

B. 数列{an}的各项均大于或等于2 C. 数列{an}中存在一项ak,ak 2 D. 数列{an}中存在一项ak，ak 2

7. 已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（ ）

21A. C3C98

21

B. A3A98

21

C. C3C97

21

D. A3A97

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

8. 由直线x

3

,x

2

,y 0与曲线y sinx所围成的封闭图形的面积为（ ） 31 2

C.

A. 1 B.

2

D.

9. 若5个人站成一排，且要求甲必须站在乙、丙两人之间，则不同的排法有（ ） A. 80种

B. 40种

C. 36种

D. 20种

10. 函数f(x) ax3 bx2 cx的图象如图所示，且f(x)在x x0与x 1处取得极值，给出下列判断：

①c 0；

②f(1) f( 1) 0；

③函数y f (x)在区间(0, )上是增函数。 其中正确的判断是（ ） A. ①③

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 11. 已知函数f(x) sinx，则f ()＝____________。

B. ②

C. ②③

D. ①②

2

12. 已知某一随机变量X的分布列如下：

X P

3 0.2

b 0.5

8 a

且E(X) 6，则a＝__________；b＝__________。 13. 曲线y

2

在点（1，2）处切线的斜率为__________。 x

1x

6

14. 二项式(3x )的展开式中，常数项等于__________；二项式系数和为__________。 15. 抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

__________。

16. 已知函数f(x) xlnx x2，且x0是函数f(x)的极值点。 给出以下几个问题： ①0 x0

11

；②x0 ；③f(x0) x0 0；④f(x0) x0 0 ee

其中正确的命题是__________。（填出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分13分）

已知数列{an}中，a1 1,an 1 2an 4n 7，其中n 1,2,3,（Ⅰ）计算a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。 18. （本小题满分14分）

已知函数f(x) x3 3ax2 4，其中a 0。 （Ⅰ）若a 1，求函数f(x)的极值点和极值； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0, )上的最小值。

。

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

19. （本小题满分13分）

某企业主要生产甲、乙两种品牌的空调，由于受到空调在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每台空调的利润与该空调首次出现故障的时间有关，甲、乙两种品牌空调的保修期均为3年，现从该厂已售出的两种品牌空调中各随机抽取50台，统计数据如下：

品牌 首次出现故障时间 x年 空调数量（台）

每台利润（千元）

1

2

1

2

0 x

甲 乙

1 x 22 x 3x 0 x 22 x 3x 3

4 2 3 45

2.5 1.5 2.6 2.8

将频率视为概率，解答下列问题：

（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌空调中随机抽取一台，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （Ⅱ）若该厂生产的空调均能售出，记生产一台甲品牌空调的利润为X1，生产一台乙品牌空调的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；

（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌空调销量相当，但由于资金限制，只能生产其中一种品牌空调，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的空调？说明理由。 20.（本小题满分13分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球。

（Ⅰ）求取出的4个球中没有红球的概率；

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设 为取出的4个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望。 21. （本小题满分13分） 已知函数f(x)

x

m,m R。 xe

（Ⅰ）当m 0时，求f(x)的单调区间、最大值；

（Ⅱ）设函数g(x) |lnx| f(x)，若存在实数x0使得g(x0) 0，求m的取值范围。 22. （本小题满分14分）

已知f(x) ax blnx 1，设曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线为y 0。 （Ⅰ）求实数a,b的值；

x2

mx，其中1 m 3。 （Ⅱ）设函数g(x) mf(x) 23e2

2。 求证：当x [1,e]时， (1 ln3) g(x)

22

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。 1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11. 0 15.

12. 0.3，6 16. ①③

13. －2

14. －540，64

2 9

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分； 16题，仅选出①或③得3分；错选得0分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。 17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）根据已知，a2 2a1 4 1 7 2 1 4 7 5；

a3 2a2 4 2 7 2 5 8 7 9； a4 2a3 4 3 7 2 9 12 7 13。

（Ⅱ）猜想an 4n 3。

3分 5分

7分

证明：①当n 1时，由已知，等式左边＝1，右边＝4 1 3 1，猜想成立。 ②假设当n k(k N)时猜想成立，即ak 4k 3， 8分 则n k 1时，

*

ak 1 2ak 4k 7 2(4k 3) 4k 7 4k 1 4(k 1) 3，

所以，当n k 1时，猜想也成立。

*

12分

13分

综合①和②，可知an 4n 3对于任何n N都成立。 18. （本小题满分14分）

322解：（Ⅰ）当a 1时，f(x) x 3x 4,f (x) 3x 6x。 2分

令f (x) 0，得x 0或x 2。

所以，在区间( ,0)上，f (x) 0，函数f(x)是增函数；在区间(0,2)上，f (x) 0，函数

f(x)是减函数；在区间(2, )上，f (x) 0，函数f(x)是增函数。 4分

所以，函数f(x)的极小值点为x 2，极小值为f(2) 0；极大值点为x 0，极大值为

f(0) 4。

8分

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

（Ⅱ）当a 0时，f(x) x3 4是R上的增函数， 在区间[0, )上的最小值为f(0) 4。 当a 0时，f (x) 3x(x 2a)。

在区间(0,2a)上f (x) 0,f(x)是减函数，在区间(2a, )上f (x) 0，f(x)是增函数。

10分

12分

所以，在区间[0, )上f(x)的最小值为f(2a)，

13分

f(2a) 8a3 12a3 4 4 4a3。

14分

综上，函数f(x)在区间[0, )上的最小值为4 4a3

。 19. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“甲品牌空调首次出现故障发生在保修期内”为事件A， 则P(A)

1 2 450 7

50

。 4分

（Ⅱ）依题意X1的分布列如下：

X1 1

2

2.5

P

1

1250

25

25

X2的分布列如下：

X2 1.5

2.6

P

1 325

50

（Ⅲ）由（Ⅱ）得

E(X11) 1

50 2 125 2.5 243

25 2.7 50 2.622（千元）； E(X12) 1.5

25 2.6 350 2.8 9

10

2.736（千元）。

所以E(X1) E(X2)， 故应生产乙品牌空调。 13分

20. （本小题满分13分）

2.7

4350

2.8

910

11分

12分

7分

9分

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

解：（Ⅰ）设“取出的4个球中没有红球”为事件A。

C32C321则P(A) 22 ，

C4C610

所以取出的4个球中没有红球的概率为

1。 10

4分

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件B，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C。由于事件B，C互斥，

且P(B) C211

3C3 C3133

C2 2

10， 6分

4C625P(C) C123C3111

C2 2 。

8分

4C62510

所以，取出的4个球中恰有1个红球的概率为

P(BC) P(B) P(C)

310 12

10 5

。 9分 （Ⅲ）解： 可能的取值为0，1，2，3。

10分

由（Ⅰ）（Ⅱ）知P( 0)

110,P( 1) 2

5

。 C111

2P( 2) 3C3C3C3C233 3 33 32

C2 2 C2 2 15 6 15 5。

4C64C66 C12P( 3) 3C3111

C2 2 2 5 10

，

4C6所以， 的分布列为：

0

1

2

P

1 2210

5

5

所以 的数字期望E 0 110 1 22135 2 5 3 10 2

。 21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当m 0时，f (x) (xe x

) e x

xe x (1 x)e x。3

110

13分

4分

分

12

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

当x 1时，f (x) 0，函数f(x)在区间( ,1)上是增函数； 当x 1时，f (x) 0，函数f(x)在区间(1, )上是减函数； 所以f(x)的最大值为f(1)

5分 6分

1

。 e

7分

故函数f(x)的单调递增区间为( ,1)，单调递减区间为(1, )，最大值为（Ⅱ）由已知x 0。

当0 x 1时，g(x) lnx f(x)，

1。 e

1

g (x) (x 1)e x 0，函数g(x)在区间(0,1)上是减函数；

x

当x 1时，g(x) lnx f(x)，

9分

g (x)

1

(x 1)e x 0，函数g(x)在区间(1, )上是增函数； x

1

m。 e

1e

12分

11分

所以g(x)的最小值为g(1)

若存在实数x0，使得g(x0 0)，则 m 0，解得m 所以m的取值范围为( , )。 22. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）f (x) a

1

。 e

1e

13分

b， x

2分

3分

依题意f(1) 0，且f (1) 0。 所以a 1 0,a b 0。 解得a 1,b 1。

4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x) x lnx 1,x 0。

x2

mlnx m,x 0。 所以g(x) 2mx2 m

g (x) x 。

xx

6分

当m 0时，由g (x)

0得x ，由g (x)

0得0 x

所以g(x

)在区间

上是减函数，在区间

)上是增函数，x 是g(x)的极小

北京市西城区2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试卷

值点。 8分

当1 m 3，x

[1,e][1,e]，

所以g(x

)的最小值为g，最大值为max(g(1),g(e))。 设h(m) g

9分

mm1

lnm，则h (m) 1 lnm， 222

因为1 m 3，所以lnm 0,h (m) 0。 所以h(m)在1 m 3上单调递减， 所以，h(m) h(3)

333

ln3 (1 ln3)。 222

11分

所以，当1 m 3，x [1,e]时，g(x)

3

(1 ln3)。 2

12分

e2e2

2m 2， 又因为1 m 3，g(e) 221e2

g(1) m 0 2。

22

13分

e2

2。 所以当1 m 3,x [1,e]时，g(x) 2

14分

3e2

2。 综上，当1 m 3，x [1,e]时， (1 ln3) g(x)

22

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jyij.html